তত্ত্বীয় অংশ (৮.১)

একদিন নিশান টিভিতে সিডনী হার্বোর ব্রীজ নির্মানের উপর একটি প্রামাণ্য চিত্র দেখছিলো। হঠাৎ সে চিন্তা করলো একটি ব্রীজ কীভাবে সবসময় স্থির অবস্থায় থাকে! এর উপর তো প্রতিক্ষণই বল প্রয়োগ ঘটছে তাই বলের সংজ্ঞানুযায়ী তো ব্রীজের অবস্থানের পরিবর্তন ঘটার কথা কিন্তু এটি সবসময় একই অবস্থায়ই থাকছে। সে এই ব্যাপারে তার গৃহশিক্ষককে জিজ্ঞেস করায় তার গৃহশিক্ষক উত্তর দিলেন, “ব্রীজে অনেকগুলো বল ক্রিয়া করে ব্রীজটিকে সাম্যবস্থায় রেখেছে। এসব বিষয়ে বলবিদ্যার একটি শাখা স্থিতিবিদ্যায় আলোচনা করা হয়।”

“স্থিতিবিদ্যা” শব্দটি তোমাদের কাছে নতুন লাগতে পারে। স্থিতিবিদ্যা হচ্ছে বলবিদ্যার একটি শাখা যেখানে বল ক্রিয়াধীন বস্তুর স্থিতিশীল অবস্থা নিয়ে আলোচনা করা হয়। স্থিতিবিদ্যার ব্যবহার রয়েছে নির্মিত কাঠামোর বিশ্লেষণে, যেমন – স্থাপতবিদ্যা ও কাঠামো নির্মাণ প্রকৌশলে।

এই স্মার্টবুকটিতে আমরা স্থিতিবিদ্যার দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান বল সংযোজন ও বলের বিভাজন সম্পর্কেন জানবো।


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


বলের সামন্তরিক সূত্র


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

বলের সামন্তরিক সূত্রটি হচ্ছে, “যদি কোন কণার উপর একই সময় ক্রিয়ারত দুইটি বল একটি সামন্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু দ্বারা মানে ও দিকে সূচিত হয়, তবে এদের লব্ধির মান ও দিক সামন্তরকটির ঐ সন্নিহিত বাহু দুইটির ছেদবিন্দুগামী কর্ণ দ্বারা সূচিত হবে।”

মনে করি, P ও Q দুটি সমবিন্দু বল এবং তাদের লব্ধি R। ধরা যাক, O বিন্দুতে P ও Q বল দুইটি ক্রিয়ারত। এখন OA ও OB দুইটি রেখা আঁকি যা P ও Q কে মানে ও দিকে প্রকাশ করে। এখন OA ও OB কে সন্নিহিত বাহু ধরে OACB সামন্তরিক আঁকি। O, C যোগ করি। তাহলে সামন্তরিক সূত্র অনুযায়ী আমরা বলতে পারি, OC কর্ণ দ্বারা P ও Q এর লব্ধি R দ্বারা সূচিত হয়।

এখন আমরা কোন নির্দিষ্ট কোণে ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধির মান ও দিক কীভাবে সামন্তরিক সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায় তা শিখবো।


একটি কণার উপর α কোনে ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধির মান নির্ণয়


মনে করি, O বিন্দুতে একটি কণার উপর কোণে একই সময় কার্যরত P ও Q বল দুইটির মান ও দিক যথাক্রমে OACB সামন্তরিকের OA ও OB সন্নিহিত বাহুদ্বারা সূচিত হলো। তাহলে OC কর্ণ দ্বারা বল দুইটির লব্ধি মানে ও দিকে প্রকাশিত হবে। P ও Q বল দুইটির লব্ধি R।

সুতরাং ভেক্টরের সাহায্যে আমরা পাই,

\(OC = OA + OB\)

\(R = P + Q\) … (i)

এখন,

\(R = P + Q\)

বা, \(R.R = (P + Q).R\)

বা, \(R.R = (P + Q).(P + Q)\) ((i) থেকে প্রাপ্ত মান বসিয়ে)

বা, \(R^{2} = P^{2} + 2.P.Q + Q^{2}\)

বা, \(R^{2} = P^{2} + 2PQcosα + Q^{2}\)

অতএব, \(R = \sqrt{P^{2} + 2PQcosα + Q^{2}}\)


(+) চিহ্নিত স্থানে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


একটি কণার উপর α কোণে ক্রিয়ারত দুইটি বলের লব্ধির দিক নির্ণয়


মনে করি, O বিন্দুতে একটি কণার উপর α কোণে একই সময় কার্যরত P ও Q বল দুইটির মান ও দিক যথাক্রমে OACB সামন্তরিকের OA ও OB সন্নিহিত বাহুদ্বারা সূচিত হলো। তাহলে OC কর্ণ দ্বারা বল দুইটির লব্ধি মানে ও দিকে প্রকাশিত হবে। P ও Q বল দুইটির লব্ধি R।

সুতরাং ভেক্টরের সাহায্যে আমরা পাই,

\(OC = OA + OB\)

\(R = P + Q \)… (i)

এখন,

\(R = P + Q\)

বা, \(P.R = (P + Q).P\) (উভয়পক্ষে P কে ডট গুণণ করে)

বা, \(PRcosθ = P.P + Q.P\)

বা, \(PRcosθ = P^{2} + PQcosθ\)

অতএব, \(Rcosθ = P + Qcosα\) … (ii)

\( R = P + Q\)

বা,\( P×R = (P + Q) ×P\) (উভয়পক্ষে P কে ক্রস গুণণ করে)

বা, \(PRsinθ \hat{n} = P×P + Q×P\)

বা, \(PRsinθ \hat{n} = PPsin0 \hat{n} + PQsinα \hat{n}\)

বা, \(PRsinθ \hat{n} = 0 + PQsinα \hat{n}\)

অতএব, \(Rsinθ = Qsinα\) … (iii)

(iii) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(tanθ = \frac{Qsinα}{P + Qcosα}\)

\(θ = tan^{-1}( \frac{Qsinα}{P + Qcosα})\)

এখানে, θ এর মান লব্ধিটি P বলের সাথে কত ডিগ্রী কোণ করে আছে তা প্রকাশ করছে।



সত্য মিথ্যা যাচাই করো





বলের সাইন সূত্র


বলের সাইন সূত্রটি হচ্ছে, “যদি কোন বিন্দুতে দুটি বল ক্রিয়া করে ও তাদের লব্ধি একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত থাকে তাহলে প্রত্যেকটি বলের মান অপর দুটি বলের মধ্যবর্তী কোণের সাইনের সমানুপাতক।”
এবার চলো উদাহরণের সাহায্যে সাইন রুলটি বোঝার চেষ্টা করি।

মনে করি, O বিন্দুতে P ও Q দুটি বল ক্রিয়ারত ও তাদের লব্ধি হচ্ছে R। R বলটি P এর সাথে α কোণ উৎপন্ন করে ও Q এর সাথে β কোণ উৎপন্ন করে।

দেখা যাচ্ছে,

P ও R এর মধ্যবর্তী কোণ \(α\)

Q ও R এর মধ্যবর্তী কোণ \(\beta\)

P ও Q এর মধ্যবর্তী কোণ \(α+ \beta\)

তাহলে বলের সাইন সূত্র অনুযায়ী লিখতে পারি,

\(P ∝sin\)

বা, \( P = k\ sin \beta\)

বা, \( \frac{P}{sinβ} = k\) … (i)

\(Q ∝sin\alpha\)

বা, \(Q = ksin \alpha\)

\( \frac{Q}{sin \alpha} = k\) … (ii)

\(R ∝sin( \alpha+ \beta)\)

বা, \(R =ksin(\alpha + \beta )\)

বা, \(\frac{R}{sin( \alpha + \beta)}= K\) … (iii)

(i), (ii) ও (iii) হতে লেখা যায়,

\( \frac{P}{sinβ}= \frac{Q}{sin \alpha}= \frac{R}{sin( \alpha + \beta )}\)

প্রমাণ:

মনে করি, O বিন্দুতে একটি কণার উপর কোণে একই সময় কার্যরত P ও Q বল দুইটির মান ও দিক যথাক্রমে OACB সামন্তরিকের OA ও OB সন্নিহিত বাহুদ্বারা সূচিত হলো। তাহলে OC কর্ণ দ্বারা বল দুইটির লব্ধি R মানে ও দিকে প্রকাশিত হবে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে,

\(∠AOC= \alpha; ∠ACO= ∠BOC= β; ∠CAO= π-( \alpha + \beta )\)

এখন, AOC ত্রিভুজ হতে ত্রিভুজের সাইন সূত্র অনুযায়ী পাই,

\( \frac{OA}{sin∠ACO}= \frac{AC}{sin∠AOC}= \frac{OC}{sin∠CAO}\)

বা, \(\frac{OA}{sin∠BOC}= \frac{AC}{sin \alpha}= \frac{OC}{sin(π-( \alpha+ \beta)}\)

বা, \( \frac{P}{sinβ}= \frac{Q}{sin \alpha}= \frac{R}{sin( \alpha + \beta )}\)

বা, \( \frac{P}{sinβ}= \frac{Q}{sin \alpha}= \frac{R}{sin(\alpha +\beta }\)(প্রমাণিত)


বলের বিভাজন


আমরা ইতিমধ্যে শিখেছি কীভাবে দুইটি বলকে সংযোজন করে তাদের লব্ধি নির্ণয় করা যায়। একইভাবে আমরা একটি নির্দিষ্ট বলকে দুটি বলে বিভাজিত করতে পারি। বিভাজিত বল দুইটিকে ঐ নির্দিষ্ট বলের অংশক বা উপাংশ বলে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে, R বলকে \(\alpha\) ও \(\beta\) কোণে P ও Q বলে বিভাজিত করা হয়েছে। P ও Q বল দুটি হচ্ছে R বলের অংশক।


নির্দিষ্ট দিকে প্রদত্ত বলের অংশক নির্ণয়


মনে করি, প্রদত্ত বলটি R যা OC রেখাংশ দ্বারা সূচিত সূচিত হলো। OC এর উভয় পার্শ্বে নির্দিষ্ট ও কোণে আনত দুইটি রেখায় OX ও OY অঙ্কন করি। C বিন্দু দিয়ে OY ও OX এর সমান্তরাল করে যথাক্রমে AC ও BC অঙ্কন করে OACB সামন্তরিকটি পূর্ণ করি। তাহলে R বলটির অংশকদ্বয় হচ্ছে OA ও OB।

ধরি, \(OA = P\) এবং \(OB = Q\)

তাহলে বলের সাইন সূত্র অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি,

\( \frac{P}{sinβ}= \frac{Q}{sin}= \frac{R}{sin(\alpha + \beta )}\)

তাহলে,

\( \frac{P}{sinβ}= \frac{R}{sin(\alpha + \beta )}\)

বা, \(P =\frac{Rsinβ}{sin( \alpha+ \beta )}\)

আবার,

\( \frac{Q}{sin \alpha}= \frac{R}{sin( \alpha + \beta )}\)

বা, \(Q = \frac{Rsin \alpha}{sin( \alpha + \beta )}\)

সুতরাং OX ও OY বরাবর R বলের অংশক যথাক্রমে \( \frac{Rsinβ}{sin( \alpha + \beta )}\) ও \(\frac{Rsin \alpha}{sin( \alpha + \beta )}\)।


নির্দিষ্ট দিকে বলের লমাংশ নির্ণয়



যখন কোন বলের অংশক দুইটি পরস্পর লম্ব হয় অর্থাৎ অংশক দুইটির মধ্যবর্তী কোণ 90° হয় তখন অংশক দুইটিকে লম্বাংশ বলে।

চিত্রে হতে দেখা যায়, R বলের অংশক P ও Q পরস্পর লম্ব। তাই এরা R বলের লম্বাংশ।

\(P = \frac{Rsinβ}{sin( \alpha + \beta )}\)

\(= \frac{Rsinβ}{sin90°}\)

\(= sinβ= sin(90°- \alpha)= cos \alpha\)

\(Q = \frac{Rsin \alpha}{sin( \alpha + \beta)}\)

\(= \frac{Rsin \alpha}{sin90°}\)

\(= sin \alpha\)

অর্থাৎ ভূমি (OX) বরাবর লম্বাংশ = বল × \(cos \alpha\)

লম্ব (OY) বরাবর লম্বাংশ = বল × \(sin \alpha\)


লম্বাংশের উপপাদ্য


লম্বাংশের উপপাদ্যটি হচ্ছে, “কোন নির্দিষ্ট দিকে এক বিন্দুতে কার্যরত দুইটি বলের লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি একই দিকে এদের লব্ধির লম্বাংশের সমান।”
চলো এবার একটু উদাহরণের মাধ্যমে উপপাদ্যটি বুঝতে চেষ্টা করি

মনে করি, O বিন্দুতে পরস্পর \(\alpha\) কোণে হেলানো OA ও OB বরাবর যথাক্রমে ক্রিয়ারত P, Q মানের বলদ্বয়ের লব্ধির মান R, যা OA এর সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।

OA বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P\ cos0°= P\)

OA বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= R\ cos \theta\)

OA বরাবর Q বলের লম্বাংশ \(= Q\ cos \alpha\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা পাই, \(R\ cos \theta= P + Q\ cos \alpha\)

OB বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P\ sin0°= 0\)

OB বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= R\ sin \theta\)

OB বরাবর Q বলের লম্বাংশ \(= Q\ sin \alpha\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্যের সাহায্যে আমরা পাই, \(R\ sin \theta = Q\ sin \alpha\)

প্রমাণ:

মনে করি, O বিন্দুতে একই সময়ে ক্রিয়াশীল P ও Q বল দুইটি মানে ও দিকে যথাক্রমে OA ও OB দ্বারা সূচিত এবং OX রশ্মিটি নির্দিষ্ট দিক নির্দেশ করে, অর্থাৎ OX বরাবর বলগুলির লম্বাংশ নির্ণয় করতে হবে। OACB সামন্তরিকটি অঙ্কন করে O, C যোগ করি। তাহলে OC কর্ণটি বল দুইটির লব্ধির মান ও দিক সূচিত করবে। ধরি, বল দুইটির লব্ধির মান R।

A, B ও C বিন্দু থেকে OX এর উপর যথাক্রমে AL, BM, CN লম্ব অঙ্কন করি।

OB = AC ও OB।।AC বলে, OX এর উপর এদের লম্ব অভিক্ষেপ সমান, অর্থাৎ OM = LN.

১ম চিত্রে, OX বরাবর সকল লম্বাংশই ধনাত্মক।

সুতরাং, OX বরাবর P ও Q বলের লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি = OL + OM = OL + LN = ON

= OX বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ

২য় চিত্রে, OX বরাবর P ও R এর লম্বাংশ ধনাত্মক কিন্তু Q এর লম্বাংশ ঋণাত্মক।

সুতরাং, OX বরাবর P ও Q বলের লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি = OL – OM = OL – LN = ON

= OX বরাবর লব্ধি R এর লম্বাংশ

অতএব, যেকোনো দিকে দুইটি বলের লম্বাংশের বীজগণিতীয় সমষ্টি একই দিকে লব্ধির লম্বাংশের সমান।


লম্বাংশের সাহায্যে সমতলীয় যেকোন সংখ্যক বলের লব্ধি নির্ণয়


আমরা দুইটি বলের লব্ধি সামন্তরিক সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করতে পারি। কিন্তু যখন বলের সংখ্যা দুই এর বেশী হয় তখন আমরা সামন্তরিক সূত্রের সাহায্যে লব্ধি নির্ণয় করতে পারি না। এরকম ক্ষেত্রে লব্ধি নির্ণয় করতে আমরা লম্বাংশের উপপাদ্য ব্যবহার করি। চলো এবার লম্বাংশের উপপাদ্যটি আমরা শিখে নিই।

মনে করি, O বিন্দুতে কার্যরত n সংখ্যক বল \(P_{1}, P_{2}, P_{3}… P_{n}\) এবং এদের লব্ধি R যেকোন সমতলীয় রেখা OX এর সাথে যথাক্রমে \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}… \alpha_{n}\) এবং \(\theta\) কোণউৎপন্ন করে।

OX বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= Rcos \theta\)

OX বরাবর \(P_{1}, P_{2},P_{3}…, P_{n}\) বলের লম্বাংশ যথাক্রমে \(P_{1}cos \alpha_{1}, P_{2}cos \alpha_{2}, P_{3}cos \alpha_{3}, … , P_{n}cos \alpha_{n}\)

তাহলে লম্বাংশ উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,
\(Rcos \theta= P_{1}cos \alpha_{1}+P_{2}cos\alpha_{2}+ P_{3}cos \alpha_{3}+ … + P_{n}cos \alpha_{n}\)

OY বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= Rsin \theta\)

OY বরাবর \(P_{1}, P_{2},P_{3}…, P_{n}\) বলের লম্বাংশ যথাক্রমে \(P_{1}sin \alpha_{1}, P_{2}sin\alpha_{2}, P_{3}sin \alpha_{3}, … , P_{n}sin\alpha_{n}\)

তাহলে লম্বাংশ উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,

\(Rsin \theta= P_{1}sin \alpha_{1}+P_{2}sin\alpha_{2}+ P_{3}sin\alpha_{3}+ … + P_{n}sin\alpha_{n}\)

ধরি,

\(X = P_{1}cos \alpha_{1}+P_{2}cos \alpha_{2}+ P_{3} cos \alpha_{3}+ … + P_{n}cos \alpha_{n}\)

\(Y = P_{1}sin \alpha_{1}+P_{2}sin \alpha_{2}+ P_{3} sin \alpha_{3}+ … + P_{n}sin \alpha_{n}\)

তাহলে,

\(R cos \theta= X \)… (i)

\(R sin \theta= Y\) … (ii)

(i) ও (ii) কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

\(R^{2}cos^{2} \theta + R^{2}sin^{2} \theta = X^{2}+ Y^{2}\)

বা, \(R^{2}(cos^{2} \theta + sin^{2} \theta ) = X^{2}+ Y^{2}\)

বা, \(R^{2} = X^{2}+ Y^{2}\)

বা,\( R = \sqrt{X^{2}+ Y^{2}}\)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac{Rsin \theta}{Rcos \theta}= \frac{Y}{X}\)

বা, \(tan \theta = \frac{Y}{X}\)

অতএব, \( \theta= tan^{-1}( \frac{Y}{X})\)

অতএব, লব্ধির মান ও দিক যথাক্রমে \( \sqrt{X^{2}+ Y^{2}}\) ও \(tan^{-1}(\frac{Y}{X})\)।

আমরা \(X(P_{1}cos \alpha_{1}+P_{2}cos \alpha_{2}+ P_{3} cos \alpha_{3}+ … + P_{n}cos \alpha_{n})\) ও \(Y(P_{1}sin \alpha_{1}+P_{2} sin \alpha_{2}+ P_{3} sin \alpha_{3}+ … + P_{n}sin \alpha_{n})\) এর মান এই সূত্রগুলোতে বসালেই লব্ধির মান ওদিক পেয়ে যাবো।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা তত্বীয় অংশ (৮.১) সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।