তরঙ্গ সংক্রান্ত কয়েকটি রাশি, \(v=f × \lambda\), রিলেটেড ম্যাথ

বন্ধুরা, তোমরা সবাই কি এই ছবিটার সাথে পরিচিতি?

অনেক সময়ে আবহাওয়া ভালো না থাকলে বা অন্য কোন কারণে টিভির পর্দায় তোমরা এমনই হিজিবিজি কিছু দেখতে পারো, তাইনা? আসলে “নো সিগনাল” জিনিসটা কী? সিগনালই বা কী? যেকোন সিগনাল আসলে একটা রাশি যেটাকে অবশ্যই সনাক্ত করা সম্ভব হতে হবে, অনেক ক্ষেত্রেই তা তরঙ্গের মত। তরঙ্গ তাহলে কী? চলো এবার তরঙ্গের সংজ্ঞাটা দেখে নিই:

ড্রপ ডাউনটিতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

তোমরা এবার একটু ওপরের নীল রঙে লেখা শব্দগুচ্ছগুলোর দিকে তাকাও। আন্দোলন শব্দটার ইংরেজি হল disturbance। এই শব্দটার সাথে তোমরা হয়ত বেশি পরিচিত। আন্দোলন বা disturbance বলতে আসলে স্বাভাবিক স্থিতির কোন পরিবর্তনকেই বোঝায়। যেমন ধরো পুকুরের পানিতে একটা ছোট পাথর ছুঁড়ে মারলে তোমরা কি এমন কিছু দেখতে পাও:

এখানে স্পষ্ট দেখা যাচ্ছে পুকুরের পানিতে একটা আলোড়নের সৃষ্টি হয়েছে। কণাগুলো নিশ্চয়ই আর আগের মত নেই। পাথরটা যেখানে গিয়ে পরলো তার আশেপাশের স্থানে আর পুকুরের বাকি এলাকার পানির মধ্যে এই আলোড়নের পার্থক্যটা আছে। তাহলে এই যে পাথরের কারণে পানিতে একটা আন্দোলন সৃষ্ট হল, এটা কিন্তু যে স্পটে পাথরটা পরলো সেখানে বসে থাকে না, পানির যে কণাগুলো প্রথমে আন্দোলিত হয় তারা এই আন্দোলন পাশের কণায় পৌঁছায়, এই কণাগুলো আবার তার পাশের কণাগুলোকে আলোড়িত করে। এভাবে এই আন্দোলন কণা থেকে কণায় ছড়িয়ে পড়ে আর মাধ্যম অর্থাৎ পানির মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হয়।

এই কণাগুলো এভাবে কতক্ষণ পর্যন্ত কাপতে থাকে বলতে পারো? ততক্ষণ পর্যন্ত থাকে যতক্ষণ পর্যন্ত ঐ আন্দোলনটা থাকে।


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

যতক্ষণ পর্যন্ত আন্দোলন থাকে ততক্ষণ পর্যন্ত কণাগুলো পর্যাবৃত্ত কম্পন প্রদর্শন করে। অনেকটা এভাবে:


এখন নিশ্চয়ই তোমরা বুঝতে পারছ যে আন্দোলনটা মাধ্যমের মধ্য দিয়ে প্রবাহিত হচ্ছে। কিন্তু এটা কি লক্ষ করেছ যে পানির কণাটি কিন্তু স্থায়ীভাবে স্থানান্তরিত হচ্ছে না বরং সাম্যাবস্থানের একবার এ পাশে, অন্যবার ও পাশে যাচ্ছে।

এই আন্দোলনটাই তরঙ্গ। এই আন্দোলনটা শক্তি প্রবাহের সাথে তাহলে কিভাবে জড়িত? পানির তরঙ্গের কথা তো বললাম, এরকম ঢেউ বা তরঙ্গ তোমরা নিশ্চয়ই সমুদ্রেও দেখেছ। অনেক দেশে সমুদ্রের পানিতে অনেকে সার্ফিং করে থাকে। সার্ফিং জিনিসটা এরকম:

এরকম সার্ফিং এ বা কখনো নৌকা বা স্পিডবোটে চড়লে খেয়াল করবে এই ঢেউগুলো কিন্তু সেই নৌকা বা স্পিডবোটকেও তার সাথে নড়তে বাধ্য করে। তাহলে এই ঢেউ বা তরঙ্গ সরণ ঘটানোর বা কাজ করার ক্ষমতা রাখে। তাহলে নিশ্চয়ই তাদের শক্তি আছে, তাইনা? তরঙ্গ তাহলে মাধ্যমের মধ্য দিয়ে শক্তির প্রবাহ ঘটাচ্ছে।

তড়িৎ চুম্বকীয় তরঙ্গে তড়িৎ ও চুম্বকীয় ক্ষেত্রের কম্পনের মাধ্যমে শক্তি প্রবাহিত হয়। আবার শব্দের ক্ষেত্রে শক্তির প্রবাহ হয় বায়ু বা যে মাধ্যমের মধ্য দিয়ে শব্দ যাচ্ছে তার কণার কম্পনের মধ্য দিয়ে।
তরঙ্গ নিয়ে আসলে জানার শেষ নেই। তরঙ্গ নিয়ে যতই জানবে আরও জানতে চাইবে। বিভিন্ন ধরনের তরঙ্গ নিয়ে জানার আগে তোমাদের তরঙ্গ সম্পর্কিত কিছু রাশি সম্পর্কে আগে জেনে নিতে হবে। নিচে এমন কিছু রাশি নিয়েই আলোচনা করা হয়েছে।

নিচের চিত্রে তোমরা একটা লম্বিক তরঙ্গ আর একটা আড় তরঙ্গ দেখতে পারছো:

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

ওপরের চিত্রগুলো আমাদের পরবর্তী আলোচনায় কাজে আসবে।


তরঙ্গ সংক্রান্ত কয়েকটি রাশি


ড্রপ ডাউনটিতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

যেকোন মূহুর্তে দশা জানা থাকলে গাণিতিকভাবেই সরণ, বেগ, ত্বরণ, ইত্যাদি নির্ণয় করা যায়, কণাগুলো যেহেতু সরল ছন্দিত গতি প্রদর্শন করে তাই সরল ছন্দিত গতি সম্পর্কিত এই ভিডিওটি থেকে তোমরা সরণ, বেগ, ত্বরণের সমীকরণগুলো দেখে নিলে বুঝতে পারবে কিভাবে তা সম্ভব:

দশা একটা কোণ আর একটা পূর্ণ কম্পনের ফলে দশার পরিবর্তন হয় 2π। জিনিসটা এভাবে চিন্তা করতে পারো যে একটা বৃত্তের পরিধি তার কেন্দ্রে 2π কোণ উৎপন্ন করে অর্থাৎ একটা কণা যদি একটা বৃত্ত বরাবর চলতে চলতে বৃত্তের পরিধি ঘুরে এসে আবার ঐ একই জায়গায় ফিরে আসে তাহলে তার কৌণিক সরণ হয় 2π অর্থাৎ তা কেন্দ্রে 2π কোণ উৎপন্ন করে।

সরল ছন্দিত গতি আর বৃত্তীয় গতির মধ্যকার সম্পর্ক থেকে, একটা কণা যদি একটা বৃত্ত বরাবর চলতে চলতে বৃত্তের পরিধি ঘুরে আসে তাহলে ব্যাসের উপর তার ছায়ার কিন্তু একটা পূর্ণ কম্পন সম্পন্ন হয় এভাবে:

তাহলে ছায়ার দশার পরিবর্তন হয় 2π। এইজন্য 2π দশা পার্থক্য বিশিষ্ট দুটো কণাকে সমদশাসম্পন্ন বলা হয়।

ড্রপ ডাউনটিতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

এর আগে কণার কম্পনের যে চিত্রটা দেখেছিলে সেটাতে ধরো একটা কণা সাম্যাবস্থান থেকে একবার ডানে যায়, সাম্যাবস্থানে ফিরে আসে, এরপর বামে যায় আবার সাম্যাবস্থানে ফেরত আসে, এতে তার একটা পূর্ণ কম্পন সম্পন্ন হয়। ততক্ষণে তরঙ্গ একটা দূরত্ব অতিক্রম করে যাকে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য বলে।

তবে অন্য কোন ক্ষেত্রে কণাগুলো ওপরে নিচেও কম্পিত হতে পারে। একটা পূর্ণ কম্পন শেষে যেকোন কণা আবার একই দশায় ফিরে আসে। (দশা কি তা জানতে নিচে স্ক্রল করো) তাহলে কি বলা যায় না যে মাধ্যমের যেকোন কণা একই দশায় ফিরে আসতে আসতে তরঙ্গ যে দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য বলে?

একই কথা অন্যভাবে বললে, তরঙ্গ দৈর্ঘ্য হল যেকোন কণা আর তার সমদশাপন্ন পরবর্তী কণার মধ্যবর্তী দূরত্ব। নিচের চিত্রে তা-ই দেখানো হয়েছে।


এখানে A,A’(শীর্ষবিন্দু); B,B’(পাদবিন্দু); C,C’(শূণ্য বিন্দু) বিন্দুগুলোর কণাগুলো সমদশাসম্পন্ন, তাই তাদের মধ্যকার দূরত্ব তরঙ্গ দৈর্ঘ্য।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


তরঙ্গ মুখ


তোমরা একদম প্রথমে দেখেছ তরঙ্গ প্রবাহিত হয় মাধ্যমের কণার সরল ছন্দিত গতির মধ্য দিয়ে। প্রথমত মাধ্যমের একটা অংশের কণা আন্দোলিত হয় আর এই আন্দোলনকে পার্শ্ববর্তী কণায় পৌঁছে দেয়। এভাবে এক কণা থেক আরেকটায় আন্দোলন প্রবাহিত হয়।

তরঙ্গ এভাবে সমবেগে চতুর্দিকে অগ্রসর হতে থাকে। তরঙ্গ যেহেতু সমবেগে অগ্রসর হয় তাই আন্দোলন যেখানে শুরু হয়েছে সেখান থেকে একই দূরত্বে যত কণা আছে তারা একই দশায় থাকে।

এবার যদি তাহলে একই দশার এই কণাগুলোকে join করে দাও তাহলে কি পাবে? একটা বৃত্ত। অন্যভাবে যদি উৎস কণা অর্থাৎ যাতে আন্দোলন সবার আগে পৌঁছায় তাকে কেন্দ্র ধরে একটা বৃত্ত আঁক তাহলে এই বৃত্তের উপর সকল কণা একই দশাসম্পন্ন হবে। এরকম কোণ তরঙ্গের ওপর অবস্থিত সম দশাসম্পন্ন কণাগুলোর গতিপথকে তরঙ্গমুখ বলে।

তাহলে এবার চলো তরঙ্গ মুখের কিছু দপ্রকার সম্পর্কে জেনে নেই। একটু আগে যে তরঙ্গ মুখের কথা বললাম সেটা আসলে একেবারে বৃত্তাকার নয়, গোলকীয় পৃষ্ঠের মত। অনেকটা এরকম:

এখানে দেখ, গোলকের কেন্দ্রে লাল রঙের একটা উৎস দেখা যাচ্ছে আর গোলকীয় কিছু পৃষ্ঠের মত সেই কেন্দ্র থেকে বের হচ্ছে। এই গোলকীয় পৃষ্ঠগুলোই তরঙ্গ মুখ।

তাহলে দেখ, এরকম গোলকীয় তরঙ্গ মুখের একটা কেন্দ্র থাকে, অর্থাৎ বিন্দু উৎস প্রয়োজন হয়। তাহলে, যদি বিন্দু উৎস না হয় তাহলে কি ধরনের তরঙ্গ মুখ হবে?

যদি রেখার মত উৎস হয় তাহলে তরঙ্গ মুখ হবে চোঙ্গাকৃতির। এরকম:

এটা ব্যাখ্যা করার আগে তোমাদের এটা জানিয়ে দিতে হবে যে তরঙ্গ মুখ যেমনই হোক না কেন, তা সবসময় তরঙ্গের প্রবাহের দিকের সাথে লম্ব হয়। এই তাহলে এবার নিচের চিত্রে দেখ:

এখানে, AB হল রেখা উৎস আর তা থেকে যে কালো রঙের রেখাগুলো বের হয়েছে তা হল তরঙ্গ রেখা। তরঙ্গ রেখাগুলো টিয়া রঙের তরঙ্গ প্রবাহের দিক নির্দেশ করে। রেখা গুলো বরাবর তরঙ্গগুলোর সমদশায় অবস্থিত কণাগুলো নিয়ে এবার তোমরা চোঙ্গাকৃতির তরঙ্গ মুখ পাবে। চিত্রে তা-ই দেখানো হয়েছে।

অনেক সময় তরঙ্গ মুখ গোলকীয় বা চোঙ্গাকৃতির বা হয়ে সমতল পৃষ্ঠের মতও হতে পারে। এমন হয় যদি উৎস দূরে থাকে। আসলে তখন গোলকীয় বা চোঙ্গাকৃতির তরঙ্গ মুখের একটা ছোট অংশ বিবেচনা করলে সমতল মনে হয়। অনেকটা এরকম:

সমতল তরঙ্গ মুখকে দেখো কিভাবে গোলকীয় তরঙ্গমুখে পরিণত করা হচ্ছে:

আলো সম্পর্কিত বিভিন্ন ঘটনা পরলে তোমরা এ বিষয়ে আরো জানতে পারবে।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

বন্ধুরা আশা করি তরঙ্গ সম্পর্কিত বিভিন্ন রাশি নিয়ে তোমাদের আর সন্দেহ নেই, এবার আমরা এর মধ্যে থেকেই তিনটা রাশি- বেগ, কম্পাঙ্ক ও তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের মধ্যে কোণ সম্পর্ক আছে কিনা তা দেখব।

তরঙ্গ অনেক ধরনের হতে পারে। একটা নির্দিষ্ট মাধ্যমে একটা নির্দিষ্ট তরঙ্গের বেগ একই থাকে। যেমন ধরো, আলো একটা তরঙ্গ, শূণ্য মাধ্যমে আলোর বেগ সবসময়ই \(3×10^{8}ms^{-1}\) ।

এখন ধরো, কোন মাধ্যমে তরঙ্গের বেগ v অর্থাৎ ঐ মাধ্যমে 1 সেকেন্ডে তরঙ্গ v দূরত্ব অতিক্রম করে। তরঙ্গ উৎসের কম্পাঙ্ক f অর্থাৎ এক সেকেন্ডে কম্পনের সংখ্যা f আর তরঙ্গ দৈর্ঘ্য \( \lambda\)।

আবার একটা পূর্ণ কম্পনে তরঙ্গ দূরত্ব অতিক্রম করে \(\lambda\)

তাহলে f পূর্ণ কম্পনে তরঙ্গ দূরত্ব অতিক্রম করে \(f \lambda\)

অর্থাৎ 1 সেকেন্ডে দূরত্ব অতিক্রান্ত হয় \(f \lambda\)

আবার একটু আগেই বললাম সেকেন্ডে তরঙ্গ দূরত্ব অতিক্রম করে v
তাহলে, \(v=f \lambda\)

এবার চলো, এই সম্পর্কটা ব্যবহার করে কিছু অংক করার চেষ্টা করি।


১। 256 Hz কম্পাঙ্ক বিশিষ্ট একটি সুরশলাকা হতে উৎপন্ন শব্দ বাতাসে 3 সেকেন্ডে 996 m দূরত্ব অতিক্রম করে। বাতাসে শব্দের তরঙ্গ দৈর্ঘ্য বের কর।

সমাধান:

প্রথম কাজ হল দেখে নেয়া কি কি দেওয়া আছে আর কি বের করতে হবে। এখানে সব রাশির নামের জায়গায় একটু আগে আলোচিত প্রতীক ব্যবহার করা হয়েছে।

দেওয়া আছে, সরণ 996 m আর সরণের সময় 3 সেকেন্ড। এখান থেকে v=সরণ /সময়

\(= \frac{996}{3}\)

\(=332ms^{-1}\)

দেওয়া আছে, \(f= 256 Hz\)

আর বের করতে হবে,

দেখতেই পারছ এখানে \(v=f \lambda\) সমীকরণ থেকে সহজে বের হয়ে যাচ্ছে।

তাহলে, \( \lambda = \frac{v}{f}= \frac{332 ms^{-1}}{256s^{-1}}\)

\(=1.30 m\)

২। একটি সুরশলাকা কর্তৃক সৃষ্ট তরঙ্গের দৈর্ঘ্য একটি মাধ্যমে 10 cm এবং অন্য মাধ্যমে 15 cm। প্রথম মাধ্যমে শব্দের বেগ 3 m/s হলে দ্বিতীয় মাধ্যমে 5 সেকেন্ডে শব্দ কত দূরত্ব অতিক্রম করে?

সমাধান:

1 এবং 2 সাবস্ক্রিপ্ট দ্বারা প্রথম ও দ্বিতীয় মাধ্যমকে বোঝানো হয়েছে।

দেওয়া আছে, \( \lambda_{1}=10 cm, \lambda_{2}=15 cm, v_{1}=3 m/s\)

বের করতে হবে, দ্বিতীয় মাধ্যমে 5 সেকেন্ডে শব্দ কত দূরত্ব অতিক্রম করে। সেজন্য আগে বেগ বের করতে হবে অর্থাৎ \(v_{2}\)

একটা জিনিস মনে রাখবে, একটা নির্দিষ্ট উৎসের জন্য কম্পাঙ্ক সব মাধ্যমে একই থাকে অর্থাৎ কম্পাঙ্ক উৎসের বৈশিষ্ট্য, মাধ্যমের নয়।

অর্থাৎ, \(f_{1}=f_{2}\)

\( \Rightarrow \frac{v_{1}}{\lambda_{1}}= \frac{v_{2}}{\lambda_{2}}\)

\( \Rightarrow v_{2}= \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} × v_{1}\)

\(= \frac{0.15m}{0.10m} × 3ms^{-1}\)
তাহলে,

\(s=vt\)

\(=(4.5ms^{-1})×(5s)\)

\(=22.5m\)

৩। কোন মাধ্যম A তে শব্দের বেগ B মাধ্যমে শব্দের বেগের 5 গুণ। মাধ্যম দুটিতে একটি শব্দের তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের পার্থক্য 4 m। B মাধ্যমে শব্দের বেগ 380 m/s হলে শব্দের উৎসের কম্পাঙ্ক নির্ণয় কর।

সমাধান:

যেহেতু কম্পাঙ্ক মাধ্যমের বৈশিষ্ট্য নয়,

\(f_{A}=f_{B}\) হবে

ধরি, \(f_{A}=f_{B}=f\)

দেওয়া আছে, \(v_{A}=5v_{B}\),

আমরা জানি, \(v=f \lambda\) তাহলে যেহেতু \(v_{A}>v_{B}\) আর \(f_{A}=f_{B}\) নিশ্চয়ই \(\lambda_{A} > \lambda_{B}\)। সুতরাং,

\(\lambda_{A}-\lambda_{B}=4m\)

\( \Rightarrow \frac{v_{A}}{f}- \frac{v_{B}}{f}=4m\) \([ v=f \lambda]\)

\( \Rightarrow \frac{1}{f}(v_{A}-v_{B})=4m\)

\(\Rightarrow \frac{1}{f} (5v_{B}-v_{B})=4m\)

\( \Rightarrow f=380 Hz\)

৪। তিনটি সুরশলাকার কম্পাঙ্ক যথাক্রমে \(123, 369\) ও \(615s^{-1}\) । এরা বায়ুতে যে তরঙ্গ সৃষ্টি করে তাদের তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধান:

১ম ও ২য় সুরশলাকার জন্য,

\(v_{1}=v_{2}\)

\(f_{1} \lambda_{1}=f_{2}\lambda_{2}\)

\( \lambda_{1}: \lambda_{2} = \frac{f_{2}}{f_{1}}=3:1\)…..(১)

একইভাবে ১ম ও ৩য় সুরশলাকার জন্য,

\(\lambda_{1}:\lambda_{3}=3: \frac{3}{5}\)………(২)

(১) ও (২) থেকে,

\(\lambda_{1}:\lambda_{2}:\lambda_{3}=3:1: \frac{3}{5}=15:5:3\)

অনুশীলনের জন্য আরো কিছু অংক:


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো






আশা করি এই স্মার্টবুকের মাধ্যমে তোমরা তরঙ্গ সম্পর্কে যা শিখলে তা শিখে মজা পেয়েছ। তরঙ্গ নিয়ে আসলে জানার শেষ নেই, এখন তো এমনও বলা হয় যে সৃষ্টির সবকিছুই নাকি তরঙ্গ! তরঙ্গ নিয়ে যতই জানবে ততই জানতে চাইবে আর পদার্থবিজ্ঞানের অনেক গুরূত্বপূর্ণ ঘটনার সাথেও পরিচিত হবে। তোমাদের সবার জন্য রইলো 10 Minute School এর পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা!