Uncategorized

দুইটি ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরজ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

গম থেকে আটা বানানো হয় এটা আমরা সবাই জানি। এই প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করা হয় একটি মেশিনে। মেশিনের একদিকে ইনপুটের স্থান থাকে যাতে গম ধালা হয়। মাঝে থাকে একটি যন্ত্র বা চাকা যা প্রবেশকৃত গম চূর্ণ করে, গুঁড়া গুঁড়া করে আটায় রূপান্তর করে। মেশিনের অপরদিকে থাকে আউটপুটের স্থান যাতে আমরা চূর্ণকৃত গম, অর্থাৎ আটা পাই। এই সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াকে বলে “গম ভাঙানো”।

এই সমগ্র প্রক্রিয়াটিকে আমরা অন্তরীকরণের সাথে তুলনা করতে পারি। তোমরা আমাদের পূর্বের স্মার্টবুকে অন্তরীকরণের সংজ্ঞা জেনেছ। যারা এখনো বইটি পড় নি, তারা দ্রুত একবার বইটির উপর চোখ বুলিয়ে এসো: 

বইটি দেখতে এখনে ক্লিক করো।

আচ্ছা, সহজ কথায় আমরা অন্তরীকরণ বলতে কি বুঝি? অন্তরীকরণ হল মূলত বড় কোন জিনিস (যেমন ফাংশন) কে একটি অপারেটর (Operator) ব্যবহার করার মাধ্যমে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অঞ্চলে বিভক্ত করে এই ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অঞ্চলের মধ্যে একটি রাশির সাপেক্ষে আরেকটি রাশির বৃদ্ধির হার নির্ণয় করা; আউটপুট হিসেবে আমরা যা পাই, তাকে অন্তরজ (Derivative) বলি (এ সম্পর্কে তোমরা আমাদের আগের স্মার্টবুকটিতে বিস্তারিত জানতে পারবে) । এই প্রক্রিয়া সম্পন্ন করতে যেই অপারেটর ব্যবহার করা হয়, তাকে সাধারণত \(\frac{d}{dx}\) লিখে প্রকাশ করা হয় (x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা হলে)।

তাহলে, গম ভাঙানোর মেশিনে প্রদত্ত ইনপুট গমকে আমরা x চলকের ফাংশন ধরলে মেশিনের চাকাকে আমরা \(\frac{d}{dx}\) অপারেটর ধরতে পারি। এই চাকার মাধ্যমে ফাংশন ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অঞ্চলে বিভক্ত হয়। অতঃপর আউটপুটের আটাকে ঐ ফাংশনের অন্তরজ (Derivative) ধরা যায়। তাহলে, সামগ্রিকভাবে এই গম ভাঙানোর মেশিনটিকেই আমরা অন্তরীকরণ বলতে পারি।

Image: MAT-1.9.4.1

মনে করি, গম ভাঙানোর মেশিনটিকে একটু উন্নত করা হল, কিছু নতুন জিনিস সংযোজন করা হল। এর ফলে এখন যন্ত্রটি একসাথে দুইটি প্রজাতির গম ইনপুট হিসেবে নিতে পারে। আগেরমতই চাকা গমকে পিষ্ট ও চূর্ণ করে আটায় রূপান্তর করে, তবে এবার দুইটি ইনপুট একত্রে দেয়ার কারণে আউটপুটের আটাও একটু অন্যরকম পাওয়া যায়। চাকায় পিষ্ট করার পর আউটপুটের আটায় দুই প্রজাতির আটার বৈশিষ্ট্য মিশ্রিত থাকে। তবে কোনটি নির্দিষ্ট করে কোন গমের আটা, এটা পৃথক করা যায় না।

এই উন্নত বৈশিষ্ট্যপূর্ণ মেশিনটিকেও আমরা অন্তরীকরণের একটি বিশেষ অংশ হিসেবে কল্পনা করতে পারি। মেশিনের চাকাকে আমরা আগেরমতই x এর সাপেক্ষে \(\frac{d}{dx}\) অপারেটর হিসেবে ধরব। x এর দুইটি ফাংশন f(x) ও g(x) ধরি, যাদেরকে আমরা দুইটি ভিন্ন প্রজাতির গম কিসেবে কল্পনা করব। তাহলে ফাংশন দুইটি গুণ অবস্থায় একত্রে মেশিনের মধ্যে যাবে, চাকার মাধ্যমে ক্ষুদ্র ক্ষুদ্র অংশে বিভক্ত হবে এবং আমরা আউটপুট হিসেবে এমন এক ধরণের অন্তরজ পাব, যার মধ্যে f(x) ও g(x) উভয়ের বৈশিষ্ট্য একত্রে নিহিত থাকবে, তবে ফাংশন দুটির পৃথক (individual) অন্তরজের কোন অস্তিত্ব থাকবে না।

দুইটি ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্র


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


লগারিদম সম্পর্কিত গুরুত্বপূর্ণ কিছু সূত্রাবলী


লগারিদমের কিছু সূত্র অন্তরীকরণের অংক করার সময় প্রয়োজন হতে পারে। তোমাদের সুবিধার্থে এমন কিছু সূত্র এখানে দেওয়া হল:

\(log_{a} (x.y) = log_{a} x + log_{a} y \)

\(log_{a} \frac{x}{y}= log_{a} x – log_{a} y\)

\(log_{a} x^{n} = n log_{a} x\)

\(log_{a} b = \frac{1}{log_{b} a}\)

\(log_{a} x = log_{b} x . log_{a} b \)

\( = log_{b} x . \frac{1}{log_{b} a}\)

\(log_{a} x = \frac{log_{b} x }{ log_{b} a}\)

শেষ সূত্রটিকে বলে ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র।   

থিওরি নিয়ে তো অনেক আলোচনা করা হল, চল এখন কিছু অংক কষা যাক!


নিচের ফাংশনগুলির অন্তরজ বের করো


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো

অন্তরজ বের করো


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা দুইটি ফাংশনের গুণফল ও ভাগফলের অন্তরজ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।