Uncategorized

দ্বিপদী বিস্তৃতি ও প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্র

মূল আলোচনায় যাওয়ার আগে চলো আমরা কয়েকটি বিষয় সম্পর্কে জেনে নিই।

(+) চিহ্নিত স্থানে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

ফারহান খুব মেধাবী ছাত্র কিন্তু ক্লাশে সে অনেক অমনোযোগী। সে সারা ক্লাশ তার বন্ধু রাজুর সাথে বসে গল্প করে। একদিন অঙ্ক ক্লাশে অঙ্ক স্যার এদসে বললো, “আজ তোমাদের কীভাবে দ্বিপদী বিস্তৃতি করতে হয় তা শেখাবো।“ স্যার প্রথমে বোর্ডে \((a + b)^{2}\) দ্বিপদী বিস্তৃতি করে দেখালেন। ফারহান মনে মনে ভাবলো, “এটা তো খুব সহজ। ফাংশনের ঘাতকে গুণাকারে লিখে গুণ করলেই তো বিস্তার করা যায়।“ এই চিন্তা করে সে আর ক্লাশে মনোযোগ না দিয়ে আবার রাজুর সাথে গল্প করা শুরু করলো।
ক্লাস শেষে স্যার পরদিন \((a + b)^{10}\) এর দ্বিপদী বিস্তৃতি করার হোমওয়ার্ক দিলেন।
ফারহান বাসায় গিয়ে হোমওয়ার্ক করা শুরু করলো। সে \((a + b)^{20}\) কে দশটি (a + b) এর গুণ আকারে লিখে সমাধান করার চেষ্টা করলো। সে দুই ঘন্টা চেষ্টা করেও সমাধান করতে পারলো না। সে তার বন্ধু রাজুকে ফোন দিয়ে এ ব্যাপারে বলার পর রাজু বললো, “এই সমস্যার সমাধান তো আমি ৫ মিনিটেই করে ফেলেছি দ্বিপদী উপপাদ্য দিয়ে।“
ফারহান ফোন রেখে টেন মিনিট স্কুলের ওয়েবসাইটে ঢুকে এই টপিকের ভিডিও লেকচার দেখে দ্বিপদী উপপাদ্যটি শিখে নিলো এবং এই সূত্রের সাহায্যে \((a + b)^{10}\) এর দ্বিপদী বিস্তৃতি করে ফেললো।
চলো, এবার আমরা দ্বিপদী রাশিকে বিস্তার করার সূত্রটি শিখে নিই।


দ্বিপদী উপপাদ্য


যে বীজগণিতীয় সূত্রের সাহায্যে কোন নির্দিষ্ট ঘাতের দ্বিপদ রাশিকে বিস্তার করা যায় তাকে দ্বিপদী উপপাদ্য বলে।
দ্বিপদী উপপাদ্যটি হলো:

\((a + x)^{n} = a^{n}+ n_{C_1}\ a^{n – 1}x+ n_{C_2}\ a^{n – 2}x^{2}+ n_{C_3}\ a^{n – 3}x^{3}+ ……… + n_{C_r}\ a^{n – r}x^{r}+ ……. + x^{n}, n \epsilon N\)

আমরা জানি,

\(n_{C_0}= 1\)

\(n_{C_1}= \frac{n}{1!}\)

\(n_{C_2}= \frac{n(n – 1)}{2!}\)

\(n_{C_3}= \frac{n(n – 1)(n – 2)}{3!}\)
.
.
\(n_{C_n}= 1\)

তাহলে দ্বিপদী উপপাদ্যকে নিম্নোক্তভাবেও লেখা যায়,

\((a + x)^{n} = a^{n}+ \frac{n}{1!}a^{n – 1}x+ \frac{n(n – 1)}{2!}a^{n – 2}x^{2}+ \frac{n(n – 1)(n – 2)}{3!}a^{n – 3}x^{3}+ ……… + \frac{n(n – 1)(n – 2)….(n – r +1)}{2!}a^{n – r}x^{r}+ ……. + x^{n}, n \epsilon N\) (এই সূত্রটি কেবল n এর মান ধনাত্মক ও পূর্ণসংখ্যা হলে সত্য)


দ্বিপদী উপপাদ্যের বৈশিষ্ট্য:


১/ দ্বিপদী উপপাদ্যের ঘাত যত হবে তার পদ সংখ্যা তার চেয়ে ১ বেশী।

\( (a+b)^{3}= a^{3}+ 3a^{2}b + 3ab^{2}+ b^{3}\)

দেখা যাচ্ছে, এখানে দ্বিপদীর ঘাত ৩ কিন্তু পদসংখ্যা ১ বেশী।

২/ দ্বিপদী বিস্তৃতিতে প্রথম ও শেষ হতে সমদূরবর্তী পদ গুলোর সহগগুলি সমান।

\((a+b)^{3}= a^{3}+ 3a^{2}b + 3ab^{2}+ b^{3}\)

দেখা যাচ্ছে, ১ম ও ৪র্থ পদ এবং ২য় ও তয় পদের সহগগুলো সমান।

৩/ দেখা যাচ্ছে, a এর সহগ ক্রমাগত কমে শূন্য হয়েছে এবং b এর সহগ ক্রমাগত বেড়েছে

\((a+b)^{3}= a^{3}+ 3a^{2}b + 3ab^{2}+ b^{3}\)

\(= a^{3}b^{0}+ 3a^{2}b + 3ab^{2}+ b^{3}a^{0}\)


গাণিতিক সমস্যা – ১

সমস্যা: \((x +3y)^{4}\) কে বিস্তৃত করো।
সমাধান:

\((x+3y)^{4}\)

\(= x^{4}+ 4_{C_1}x^{4 – 1}(3y)+ 4_{C_2}x^{4 – 2}(3y)^{2}+ 4_{C_3}x^{4 – 3}(3y)^{3} + (3y)^{4}\)

\(= x^{4}+ 4x^{3}(3y)+ 6x^{2}(3y)^{2}+ 6x(3y)^{3} + (3y)^{4}\)

\(= x^{4}+ 12x^{3}y+ 54x^{2}y^{2}+ 108xy^{3} + 81y^{4}\)


গাণিতিক সমস্যা – ২:

সমস্যা: \((x -3y)^{4}\)কে বিস্তৃত করো।
সমাধান:

\((x-3y)^{4}\)

\(= (x +(-3y))^{4}\)

\(= x^{4}+ 4_{C_1}x^{4 – 1}(-3y)+ 4_{C_2}x^{4 – 2}(-3y)^{2}+ 4_{C_3}x^{4 – 3}(-3y)^{3} + (-3y)^{4}\)

\(= x^{4}+ 4x^{3}(-3y)+ 6x^{2}(-3y)^{2}+ 6x(-3y)^{3} + (-3y)^{4}\)

\(= x^{4}- 12x^{3}y+ 54x^{2}y^{2}- 108xy^{3} + 81y^{4}\)



ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


দ্বিপদী উপপাদ্যের প্রমাণ


আমরা ইতিমধ্যে গাণিতিক আরোহ বিধি কী তা শিখেছি। এবার আমরা এই পদ্ধতি ব্যবহার করে দ্বিপদী উপপাদ্যের প্রমাণ করবো।
দ্বিপদী উপপাদ্যটি হলো:

\((a + x)^{n} = a^{n}+ n_{C_1}a^{n – 1}x+ n_{C_2}a^{n – 2}x^{2}+ n_{C_3}a^{n – 3}x^{3}+ ……… + n_{C_r}a^{n – r}x^{r}+ ……. + x^{n}, n \epsilon N\)

প্রমাণ:

n = 1 হলে,

বামপক্ষ = a + x

ডানপক্ষ \(= a + 1_{C_1}a^{0}x^{1} = a + x\)

অর্থাৎ n = 1 এর জন্য গাণিতক উক্তিটি সত্য।

ধরা যাক, \(n = m ∈ N\) এর জন্য গাণিতিক উক্তিটি সত্য। তাহলে লেখা যায়,

\((a + x)^{m} = a^{m}+ m_{C_1}a^{m – 1}x+m_{C_2}a^{m – 2}x^{2}+ m_{C_3}a^{m – 3}x^{3}+ ……… + m_{C_r}a^{m – r}x^{r}+ ……. + x^{m}\) ….(i)

এখন যদি (i) ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারি \(n = m + 1 ∈ N\) এর জন্য উক্তিটি সত্য অর্থাৎ

\((a + x)^{m + 1} = a^{m + 1}+ {m + 1}_{C_1}a^{m – 1}x+ {m + 1}_{C_2}a^{m – 2}x^{2}+ {m + 1}_{C_3}a^{m – 3}x^{3}+ ……… + {m + 1}_{C_r}a^{m + 1 – r}x^{r}+ ……. + x^{m + 1}\)

তাহলে সকল n ∈ N এর জন্য উক্তিটি সত্য হবে।

এখন (i) এর উভয়পক্ষে (a + x) গুণ করে পাই,

\((a + x)^{m + 1}\)

\(= (a + x)(a^{m}+ m_{C_1}a^{m – 1}x+m_{C_2}a^{m – 2}x^{2}+ m_{C_3}a^{m – 3}x^{3}+ ……… + m_{C_r}a^{m – r}x^{r}+ ……. + x^{m})\)

\(= a^{m + 1}+ m_{C_1}a^{m}x+m_{C_2}a^{m – 1}x^{2}+ m_{C_3}a^{m – 2}x^{3}+ ……… + m_{C_r}a^{m – r + 1}x^{r}+ ……. + ax^{m} + a^{m}x + m_{C_1}a^{m – 1}x^{2}+m_{C_2}a^{m – 2}x^{3}+ m_{C_3}a^{m – 3}x^{4}+ ……… + m_{C_r}a^{m- r}x^{r + 1}+ ……. + x^{m + 1}\)

\(= a^{m + 1}+ (m_{C_1} + 1)a^{m} +(m_{C_2} + m_{C_1})a^{m – 1} x^{2}+ ….. + (m_{C_r}+ m_{C_r – 1})a^{m – r + 1}x^{r}+ ……. + x^{m + 1}\)

\(= a^{m + 1}+ (m_{C_1} + m_{C_0})a^{m} x+(m_{C_2} + m_{C_1})a^{m – 1} x^{2}+ ….. + (m_{C_r}+ m_{C_r – 1})a^{m – r + 1}x^{r}+ ……. + x^{m} + 1\)

\(= a^{m + 1}+ {m + 1}_{C_1}a^{m – 1}x+ {m + 1}_{C_2}a^{m – 2}x^{2}+ {m + 1}_{C_3}a^{m – 3}x^{3}+ ……… + {m + 1}_{C_r}a^{m + 1 – r}x^{r}+ ……. + x^{m + 1}\) ( যেখানে, \(n_{C_r} + n_{C_r – 1}= n_{C_r+1})\)

অর্থাৎ \((a + x)^{m + 1} = a^{m + 1}+ {m + 1}_{C_1}a^{m – 1}x+ {m + 1}_{C_2}a^{m – 2}x^{2}+ {m + 1}_{C_3}a^{m – 3}x^{3}+ ……… + {m + 1}_{C_r}a^{m + 1 – r}x^{r}+ ……. + x^{m + 1}\)

সুতরাং সকল n = m + 1 ∈ N এর জন্য উক্তিটি সত্য।

যেহেতু n = 1 এর জন্য গাণিতিক উক্তিটি সত্য এবং গাণিতিক উক্তিটি n = m ∈ N এর জন্য সত্য ধরে n = m + 1 ∈ N এর জন্য গাণিতিক উক্তিটি সত্য প্রমাণ করা যায় তাহলে আমরা বলতে পারি সকল n ∈ N এর জন্য দ্বিপদী উপপাদ্যটি সত্য প্রমাণিত হলো।


প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্র


ইতিমধ্যে আমরা কীভাবে দ্বিপদী উপপাদ্যের মাধ্যমে কোন বহুঘাতী দ্বিপদীকে বিস্তৃত করা যায় তা শিখেছি। দ্বিপদী বিস্তৃতিতে পদগুলোর সহগ কী হবে তা নির্ণয় করার জন্য বিজ্ঞানী প্যাসকেল একটি সূত্র আবিষ্কার করেন। এই সূত্রটি প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্র নামে পরিচিত। চলো এবার আমরা প্যাসকেলের ত্রিভুজ কী ও কীভাবে এটি কীভাবে গঠণ করা যায় তা সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নিই।

n এর মান (a + b)ⁿ (a + b)ⁿ এর বিস্তৃতি পদসংখ্যা
0 \( (a + b)^{0}\) 1 1
1 \( (a + b)^{1}\) a + b 2
2 \( (a + b)^{2}\) \(a^{2} + 2ab + b^{2}\) 3
3 \( (a + b)^{3}\) \( a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\) 4
4 \( (a + b)^{4}\) \(a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}\) 5

এখন যদি আমরা উপরের দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগগুলোকে আলাদা করে লিখি তাহলে দাঁড়ায়,

দেখা যাচ্ছে, সহগগুলো একটি ত্রিভুজের আকার ধারণ করেছে। এই ত্রিভুজটি প্যাসকেলের ত্রিভুজ নামে পরিচিত। যদি আমরা n এর যেকোন মানের জন্য ত্রিভুজটি গঠণ করতে পারি তাহলে দ্বিপদীর সহগগুলোর সহজেই পাবো।


প্যাসকেলের ত্রিভুজ গঠণের পদ্ধতি


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের উপরে পাবে আলাদা একটি বাটন।


গাণিতিক সমস্যা – ৩

সমস্যা: প্যাসকেলের সূত্রের সাহায্যে \((1+3x)^{4}\) কে বিস্তৃত করো।
সমাধান:

\((1+3x)^{4}\)

\(= 1 + 4.3x + 6.(3x)^{2}+ 4.(3x)^{3}+ (3x)^{4}\)

\(= 1 + 12x + 54x^{2}+ 81x^{3}+ 81x^{4}\)


সত্য মিথ্যা যাচাই করো




আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা দ্বিপদী বিস্তৃতি ও প্যাসকেলের ত্রিভুজ সূত্র সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।