নির্ণায়ক এর ধর্মাবলী ও নির্ণায়কের ম্যাথ

আমাদের বাস্তব জীবনের বিভিন্ন ঘটনার সমাধান সমীকরণ জোটের সমাধানের মাধ্যমে করা যায়। সমীকরণ জোটে চলকের সংখ্যা কম হলে আমরা সহজেই প্রতিস্থাপন, অপনয়ন ইত্যাদি বিভিন্ন পদ্ধতিতে করতে পারি। কিন্তু সমীকরণ জোটে চলকের সংখ্যা বেশী হলে এসব নিয়মে সমাধান করা কষ্টসাধ্য। এরকম ক্ষেত্রে নির্ণায়কের ধারণা ব্যবহার করে সমীকরণ জোট সমাধান করা যায়। আমরা ইতিমধ্যে জেনেছি কীভাবে বিস্তার করে সহজে নির্ণায়ক এর মান বের করা যায়। কিন্তু সবসময় নির্ণায়ক সরল আকারে নাও থাকতে পারে সেক্ষেত্রে বিস্তার করে নির্ণায়ক এর মান বের কর বেশ কষ্টসাধ্য। তখন যদি আমরা নির্ণায়কের ধর্মাবলী ব্যবহার করি তাহলে নির্ণায়ক সহজাকারে এসে যায় এবং আমরা বিস্তার করে খুব সহজভাবেই নির্ণায়কের মান বের করতে পারি।

চলো এবার আমরা নির্ণায়ক এর ধর্মাবলী ও তা ব্যবহার করে কীভাবে সহজে নির্ণায়কের মান বের করা যায় তা দেখে নিই।


নির্ণায়কের ধর্মাবলী


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


নির্ণায়কের মান নির্ণয়ের কৌশল


নিচে নির্ণায়কের মান নির্ণয়ের একটি কৌশল দেখানো হয়েছে। এই পদ্ধতি ব্যবহার করে বেশীরভাগ নির্ণায়কের মান সহজে বের করা যায়।


নির্ণায়ক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যাবলি


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

সমস্যা নং ১:

প্রমাণ কর,

\(\begin{vmatrix} a×a & ab & b×b \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(a-b)^{3}\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} a×a & ab & b×b \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} a×a-ab & ab-b×b & b×b \\ a-b & a-b & 2b \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\) (c1’ = c1 – c2 , c2’ = c2 – c3)

= \(1{(a×a – ab)(a – b) – (ab – b×b)(a – b)}\)

\(= {a(a – b)(a – b) – b(a – b)(a – b)}\)

\(= (a – b)(a – b)(a – b) = (a – b)3 =\) ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ২:

প্রমাণ কর, বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b \end{vmatrix} = (a + b + c)^{3}\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} 3 & a & b+c \\ 3 & b & c+a \\ 3 & c & a+b \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 3 & a & a+b+c \\ 3 & b & a+b+c \\ 3 & c & a+b+c \end{vmatrix}\) (c3’ = c1 + c2 + c3)

= \(3( a+b+c ) \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & c & 1 \end{vmatrix}\)

= 0 = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৩:

প্রমাণ কর, =\(\begin{vmatrix} 1+a & b & c \\ a & 1+b & c \\ a & b & 1+c \end{vmatrix} = 1 + a + b + c\)

সমাধান:

বামপক্ষ: = \(\begin{vmatrix} 1+a & b & c \\ a & 1+b & c \\ a & b & 1+c \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 1+a+b+c & b & c \\ 1+a+b+c & 1+b & c \\ 1+a+b+c & b & 1+c \end{vmatrix}\) (c3’ = c1 + c2 + c3)

= \((1+a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & 1+b & c \\ 1 & b & 1+c \end{vmatrix}\) (r1’ = r1 – r2, r2’ = r2 – r3)

=\((1+a+b+c) \begin{vmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & b & 1+c \end{vmatrix}\)

= \(1 + a + b + c 11-0\)

\( = 1 + a + b + c =\) ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৪:

প্রমাণ কর,\(\begin{vmatrix} a & b & c \\ a×a & b×b & c×c \\ a×a×a & b×b×b & c×c×c \end{vmatrix} = abc(a – b)(b – c)(c – a)\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} a & b & c \\ a×a & b×b & c×c \\ a×a×a & b×b×b & c×c×c \end{vmatrix}\)

= \( abc \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a×a & b×b & c×c \end{vmatrix}\)

= \(\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ a-b & b-c & c \\ a×a-b×b & b×b-c×c & c×c \end{vmatrix}\)(r1’ = r1 – r2 , r2’ = r2 – r3)

\(= abc{(a – b)(b2 – c2) – (b – c)(a2 – b2)}\)

\(= abc{(a – b)(b + c)(b – c) – (b – c)(a – b)(a + b)}\)

\(= abc(a – b)(b – c)(b + c – a – b)\)

\(= abc(a – b)(b – c)(c – a)\) = ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৫:

প্রমাণ কর, \(\begin{vmatrix} x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \\ x×x×x-1 & y×y×y-1 & z×z×z-1 \end{vmatrix} = xyz( x- y)( y – z )( z – x)\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \\ x×x×x-1 & y×y×y-1 & z×z×z-1 \end{vmatrix}\)

\(\begin{vmatrix} x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \\ x×x×x & y×y×y & z×z×z \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)

\(= xyz \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)

\(= xyz \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \end{vmatrix} – \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \end{vmatrix} \)

\(= ( xyz – 1 ) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x×x & y×y & z×z \end{vmatrix}\)

\(= ( xyz – 1 ) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ x-y & y-z & z \\ x×x-y×y & y×y-z×z & z×z \end{vmatrix}\) (r1’ = r1 – r2 , r2’ = r2 – r3)

= \((xyz – 1)\left\{(x – y)(x^{2} – y^{2}) – (y – z)(y^{2} – z^{2})\right\}\)

\(= (xyz – 1)(x – y)(y – z)( y + z – x – y)\)

\(= (xyz – 1)(x – y)( y – z)(z – x)\)

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৬:

প্রমাণ কর,

\(\begin{vmatrix} 1+a×a-b×b & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a×a+b×b & 2a \\ 2b & -2a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}=(1 + a×a + b×b)^{3}\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} 1+a×a-b×b & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a×a+b×b & 2a \\ 2b & -2a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\)

=\(\begin{vmatrix} 1+a×a-b×b+2b×b & 2ab & -2b \\ 2ab & 1-a×a+b×b & 2a \\ 2b & -2a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\) (c1’ = c1 – bc3)

=\(\begin{vmatrix} 1+a×a+b×b & 2ab & -2b \\ 0 & 1-a×a+b×b & 2a \\ b(1+a×a+b×b) & -2a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\)

\(= (1 + a×a + b×b) \begin{vmatrix} 1 & 2ab & -2b \\ 0 & 1-a×a+b×b & 2a \\ b & -2a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\) (c1’ = c1 – bc3)

\(= (1 + a×a + b×b) \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2b \\ 0 & 1+a×a+b×b & 2a \\ b & -a(1+a×a+b×b) & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\) (c2’ = c2 + ac3)

\(= (1 + a×a + b×b)^{2} \begin{vmatrix} 1 & 0 & -2b \\ 0 & 1 & 2a \\ b & -a & 1-a×a-b×b \end{vmatrix}\)

\(= (1 + a×a + b×b)^{2}[1\left\{1 – a×a – b×b – a(-2a)\right\} – 0 -2b\left\{0 – b\right\}]\)

\(= (1 + a×a + b×b)^{2}\left\{1 – a×a – b×b + 2a×a + 2b×b\right\}\)

\(= (1 + a×a + b×b)^{2}(1 + a×a + b×b)\)

\(= (1 + a×a + b×b)^{3}\)

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৭:

বিস্তার না করে প্রমাণ কর,

\(\begin{vmatrix} 1 & x-a & p-b \\ 1 & y-a & q-b \\ 1 & z-a & r-b \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}\)

সমাধান:

বামপক্ষ = \(\begin{vmatrix} 1 & x-a & p-b \\ 1 & y-a & q-b \\ 1 & z-a & r-b \end{vmatrix}\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p-b \\ 1 & y & q-b \\ 1 & z & r-b \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 1 & a & p-b \\ 1 & a & q-b \\ 1 & a & r-b \end{vmatrix}\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 1 & x & b \\ 1 & y & b \\ 1 & z & b \end{vmatrix} – a \begin{vmatrix} 1 & 1 & p-b \\ 1 & 1 & q-b \\ 1 & 1 & r-b \end{vmatrix}\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 1 & x & b \\ 1 & y & b \\ 1 & z & b \end{vmatrix} – a.0\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}- \begin{vmatrix} 1 & x & 1 \\ 1 & y & 1 \\ 1 & z & 1 \end{vmatrix} – 0\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}– b.0 – 0\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}– 0\)

\(= \begin{vmatrix} 1 & x & p \\ 1 & y & q \\ 1 & z & r \end{vmatrix}\)

= ডানপক্ষ (প্রমাণিত)


সমস্যা নং ৮:

সমাধান কর, \(= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x×x & a×a & b×b \end{vmatrix} =0\)

সমাধান:

\(= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & a & b \\ x×x & a×a & b×b \end{vmatrix} =0\)

বা,\(= \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ x-a & a-b & b \\ x×x -a×a & a×a-b×b & b×b \end{vmatrix} =0\)

বা, \((x-a)(a×a-b×b)-(x×x-a×a)(a-b)=0\)

বা, \( (x-a)(a+b)(a-b) – ( x – a)(x – b)(a – b) = 0\)

বা, \((x-a)(a-b)(a + b – x – a) = 0\)

বা, \((x-a)(a-b)(x – b) = 0\)

বা, \((x-a)(x – b) = 0\) \( (a-b ≠ 0 )\)

অতএব, \(x = a, b\) (Ans)


সত্য মিথ্যা যাচাই করো





সঠিক উত্তরে ক্লিক করো






আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা নির্ণায়ক এর ধর্মাবলী ও নির্ণায়কের ম্যাথ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।