নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত উদাহরণ ও অনুশীলনী
হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।
নিতু এইচ.এস.সি পরীক্ষার্থী। আজকে তার উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্র পরীক্ষা। নিতু পড়াশুনায় বরাবরই বেশ ভালো, তাই চিন্তামুক্ত হয়ে সে পরীক্ষা দিতে বসলো। নৈব্যত্তিক প্রশ্ন দিয়ে পরীক্ষা শুরু হল। প্রথম কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর ঝটপট দিয়ে ফেলার পর একটি প্রশ্নে সে আটকিয়ে গেল। প্রশ্নটি ছিল এরকম:“\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\) উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?” প্রশ্নটির উত্তর সে পারতো, বাসায় সূত্রটি অনেকবার ব্যবহার করেছে, তারপরও কিছুতেই সূত্রটি মনে আসলো না। অত্যন্ত দুঃখজনক ব্যাপার! আচ্ছা যাই হোক, সে ঐ প্রশ্নটি বাদ রেখে বাকিগুলির উত্তর করা শুরু করলো। ঐ উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার প্রশ্নটি বাদে বাদবাকি সব কয়টি প্রশ্নের উত্তর শেষে সে খেয়াল করে দেখল এখনও নৈব্যত্তিক পরীক্ষার সময় তিন-চার মিনিটের মতো বাকি আছে।
আশেপাশে তাকিয়ে দেখলো সবার তখনও বেশ কিছু প্রশ্নের উত্তর করা বাকি। তো কী করা যায়? উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার সূত্র যে কিছুতেই মাথায় আসছে না! হঠাৎ তার মাথায় একটি বুদ্ধি খেলে গেল। সে তো ক্যাল্কুলাসের যোগজীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করার মাধ্যমেই এই প্রশ্নের উত্তর বের করে ফেলতে পারে। যেমন ভাবা, তেমন কাজ। হাতে তেমন সময় নেই। ঝটপট করে সে খাতায় রাফ করার অংশে নির্দিষ্ট যোগজীকরণ করার মাধ্যমে খুব সহজেই উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল বের করে ফেলল। আর ব্যাস, প্রশ্নের উত্তর দাগানোও হয়ে গেল।
এই গল্প থেকে কি বুঝলে বন্ধুরা? নির্দিষ্ট যোগজীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা যেকোনো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করতে পারি। এবং এই পদ্ধতি আমাদের বিপদের বন্ধু হিসেবেও কাজ করতে পারে, যেমনটি হয়েছে নিতুর ক্ষেত্রে। তবে মজার ব্যাপার কী জানো? নৈব্যত্তিক পরীক্ষার সময় শেষ হওয়ার সাথে সাথেই নিতুর উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করার আসল সূত্র টি মনে পড়ে গিয়েছে!
যাইহোক, এখন কাজের কোথায় আসি। আশা করি আমাদের আজকের এই স্মার্টবুকটি পড়ার পরে তোমরা যেকোনো বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নিমিষের মধ্যে বের ওরে ফেলতে পারবে। তাহলে জলদি খাতা-কলম নিয়ে বসে পড়ো এবং ধৈর্য ধরে তোমরা আমাদের এই স্মার্টবুকটি পড়ে ফেলো।
ক্ষেত্রের পরিমাপকে আমরা ক্ষেত্রফল বলি। ক্ষেত্রফল যেহেতু পরিমাপ বা বিশুদ্ধ সংখ্যা, সুতরাং ক্ষেত্রফল সর্বদা ধনাত্মক হবে। ক্ষেত্রফল যদি কখনও ঋণাত্মক হয়, তবে তার মাধ্যমে বুঝানো হয় যে, সেই ক্ষেত্রটি X-অক্ষের নিচের অংশের ক্ষেত্রফল।
যোগজীকরণ বা সমাকলন (Integral Calculus) হল অন্তরীকরণের বিপরীত প্রক্রিয়া। কোনো বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় অথবা বক্ররেখা এবং সরলরেখার মিলিত প্রভাবে যদি কোনো সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র গঠিত হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা হয় যোগজীকরণ দ্বারা। কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু হতে আরেকটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যে অবস্থিত কোনো ফাংশন দ্বারা যেই আবদ্ধ ক্ষেত্রের সৃষ্টি হয়, তা যে পদ্ধতিতে নির্ণয় করা হয়, তাকে নির্দিষ্ট যোগজীকরণ বলে। সমাকলন এর ধারণার প্রতিষ্ঠাতারা একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র প্রস্থ এর বর্গক্ষেত্র অসীম সমষ্টি হিসাবে কল্পনা করেন। এই সমষ্টির মাধ্যমে এককভাবে একটি বৃহৎ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।
রেখা বা বক্ররেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ তলকে ক্ষেত্র বলে। ক্ষেত্র দুই প্রকার:
সুষম ক্ষেত্র: সরলরেখার দ্বারা সীমাবদ্ধ তলকে সুষম ক্ষেত্র বলে। যেমন- বর্গক্ষেত্র, আয়তক্ষেত্র, ত্রিভুজ ইত্যাদি। অসম ক্ষেত্র: শুধুমাত্র বক্ররেখা অথবা বক্ররেখা এবং সরলরেখার দ্বারা গঠিত সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে অসম ক্ষেত্র বলে। অসম ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আমরা নির্ণয় করি ক্যালকুলাস এর মাধ্যমে।
কোনো উপবৃত্তের সমীকরণ দেওয়া থাকলে একটি সূত্রের সাহায্যে খুবই সহজে উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল বের করা যায়। সূত্রটি নিচে দেয়া হল: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) আকারের একটি উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল \(= π .ab\) বর্গএকক। যেমন: \(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\) বা \(\frac{x^{2}}{5^{2}}+ \frac{y^{2}}{4^{2}}=1\) সমীকরণ বিশিষ্ট কোনো উপবৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = \(π×5×4= 20π\) বর্গএকক।
নির্দিষ্ট যোগজ ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল (Area using the Concept of Definite Integration)
(a,b) ব্যবধিতে \(y = f(x)\) ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হলে y = f(x) ফাংশন, X-অক্ষ এবং x = a ও x = b রেখাদ্বয় দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= \int_{a}^{b}f(x) dx\)
মনে করি, x = a ও x = b বিন্দুর কোটি যথাক্রমে \(y_{1} = AB\) ও \(y_{2} = DC\) .
\(y = f(x)\) বক্ররেখাকে A ও D বিন্দুকে ছেদ করে। ABCD দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
ধরি, AD বক্ররেখার উপর P(x, y) এবং \(Q(x+δx, y+δy)\) দুইটি নিকটবর্তী বিন্দু।
অর্থাৎ, \(δx → 0\) হলে, \(δy → 0\) হয়। X-অক্ষের উপরে PM ও QN লম্ব টানি। QN এর উপর PR এবং MP এর বর্ধিতাংশের উপর QS লম্ব টানি।
\(∴ OM = x ; ON = x + δx ; PM = y ; QN = y + δy\)
অতএব, \(MN = (x + δx) – x = δx\)
চিত্র থেকে পাই, MNRP আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = y .δx
এবং, MNQS আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (y + δy) .δx
ABMP এবং ABNQ এর ক্ষেত্রফল যথাক্রমে A এবং A + δA হলে, PMNQ এর ক্ষেত্রফল = . তাহলে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, ক্ষেত্র δA ক্ষেত্র y .δx এর থেকে বৃহত্তর কিন্তু ক্ষেত্র \((y + δy) .δx\) এর চেয়ে ক্ষুদ্রতর।
অর্থাৎ, \(y .δx < δA < (y + δy) .δx ⇒ y < \frac{δA}{δx} < (y + δy)\) [অসমতাটিকে δx দ্বারা ভাগ দিয়ে পাই ]
এখন অসমতায় লিমিট নিয়ে এসে পাই,
\(lim_{δy→0} y < lim_{δx→0} \frac{δA}{δx} < lim_{δy→0} (y + δy)\)
\( ⇒ y < \frac{dA}{dx} < y\)
\(∴ \frac{dA}{dx} = y\)
এখান থেকে আবার আমরা স্বাধীন চলক ও অধীন চলকের অন্তরকের ধারণাটি প্রয়োগ করে পাই,
\(dA = y. dx\)
এখন যোগজীকরণ বা সমাকলন করে পাই, \(\int dA= \int y. dx\)
\(⇒ A = F(x) + c … … (i) [ \(\int y. dx = F(x)\) ধরি, \(y. dx\) এর যোগজকে অর্থাৎ একটি নতুন ফাংশন ধরি ]
\(x = a\) হলে, A = 0 [কারণ x = a বিন্দু থেকে ক্ষেত্রফল গণনার শুরু।]
\(∴ 0 = F(a) + c\) [ (i) নং এ x = a এবং A = 0 বসানো হল ]
তাহলে আমরা বুঝতে পারলাম যে, নির্দিষ্ট যোগজ \(\int_{a}^{b}f(x) dx\) বা \(\int_{a}^{b} y dx , y = f(x)\) বক্ররেখা, X-অক্ষ এবং x = a ও x = b রেখাদ্বয়ের উপর অবস্থিত দুইটি নির্দিষ্ট কোটি দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। [proved]
Remark:ঠিক একইভাবেই আমরা প্রমাণ করতে পারি যে, \(\int_{a}^{b}x dy\) নির্দিষ্ট যোগজটি y = f(x) একটি বক্ররেখা, Y-অক্ষ এবং y = a ও y = b রেখাদ্বয়ের মাধ্যমে নির্দেশিত দুইটি ভুজ দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। এখানে আমরা যে অক্ষ পরিবর্তন করে যোগজীকরণ করছি, একে বলা হয় Axis Altering.
(a,b) বা ]a,b[ দ্বারা খোলা ব্যবধি বুঝানো হয়। আমরা এই সম্পর্ককে সেটের মাধ্যমে দেখাতে পারি। a থেকে b পর্যন্ত খোলা (Open) ব্যবধি: ]a,b[ = (a,b) = {x∣x ∈ R এবং a < x <b} অর্থাৎ, a থেকে b পর্যন্ত খোলা (Open) ব্যবধি বলতে বুঝায় যে সংখ্যারেখায় a এবং b এর মাঝে অবস্থিত সকল সংখ্যার সেট; কিন্তু এই সেটের মধ্যে a ও b সংখ্যাদ্বয় নিজেরাই অবস্থান করবে না। যেমন: (5,6) দ্বারা বুঝানো হয় 5 এবং 6 এর মধ্যে অবস্থিত সকল সংখ্যার সেট।
মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের উপরে পাবে আলাদা একটি বাটন।
এতক্ষণ তো আমরা থিওরি বুঝলাম। এখন চলো আমরা স্মার্টবুকের শুরুতে নিতুর গল্পের উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় সহ বিভিন্ন বক্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় সংক্রান্ত কিছু সমস্যার সমাধান দেখি।
তবে এসব সমাধান দেখার আগে তোমাদেরকে কিছু বিশেষ ধরণের বক্র (যেমন: কনিক) সম্পর্কে কিছু প্রাথমিক ধারণা দেই, যাতে তোমরা খুব সহজেই সমস্যাগুলি বুঝতে পারো এবং সমাধান করতে পারো।
ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত
তোমরা আমাদের গণিত দ্বিতীয় পত্রের কনিক সংক্রান্ত স্মার্টবুকে এগুলি সম্পর্কে আরও বিস্তারিত জানতে পারবে।
এখন তাহলে চলো, আমরা গাণিতিক কিছু সমস্যার সমাধান দেখে বুঝার চেষ্টা করি:
ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত
p>সমস্যা: \(\frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}=1\) বক্ররেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
(i) নং সমীকরণে আমরা উপবৃত্তের কোটির দুইটি মান পাই: ধনাত্মক ও ঋণাত্মক। উপবৃত্তটি চারটি সমানভাগে বিভক্ত। এই চারটি সমান ভাগের একটির ক্ষেত্রফল আমরা হিসাব করবো এবংপরিশেষে নির্ণেয় ক্ষেত্রফলের সাথে 4 গুণ করে সম্পূর্ণ উপবৃত্তের ক্ষেত্রফলটি বের করবো।
তাহলে আমরা এখন উপবৃত্তের OAB ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করবো। OAB অংশটি যেহেতু Y-অক্ষের ধনাত্মক দিকে আছে, তাই আমরা ঋণাত্মক চিহ্ন (-) পরিহার করে (i) নং সমীকরণ থেকে হিসাব করবো।
সীমা: \(\frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}=1\) সমীকরণকে আদর্শ উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+ \frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) এর সাথে তুলনা করে পাই, a = 3 এবং b = 2 . তাই, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(OC = 2a = 2×3 = 6 \)
∴ OA = 3
x = 0 এবং x = OA = 3 কোটির মধ্যে যোগজীকরণ করবো।
কিন্তু \(y= \frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}}\) সমীকরণটি যে অবস্থায় আছে, তাতে যোগজীকরণ করে তেমন সুবিধা পাওয়া যাবেনা। তাই একে আমরা আমাদের সুবিধামত প্রতিস্থাপন করে নিব।
ধরি, \(x = 3 sin θ\)
\(∴ dx = 3 cos θ dθ\)
যখন, \(x = 0\) তখন \(θ = 0\)
যখন, x = 3 তখন \(θ = sin^{-1} \frac{3}{3}= sin^{-1} 1 = \frac{π}{2}\)
তাহলে এই সীমার মধ্যে সমাকলন করে পাই,
OAB এর ক্ষেত্রফল \(= \int_{0}^{3} y dx\)
\(= \int_{0}^{3} \frac{2}{3} \sqrt{9-x^{2}} dx\)
\(= \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2}{3} \sqrt{9-(3 sin θ)^{2}} 3 cos θ dθ\) [x এবং dx কে প্রতিস্থাপিত করে এবং যথাযথ মিলিট বসিয়ে ]
\(= 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{9 – 9 sin^{2}θ}\ cos θ dθ\)
\(= 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 – sin^{2}θ}\ cos θ dθ\)
\(= 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{cos^{2}θ}\ cos θ dθ\)
\([ ∵ 1 – sin^{2} θ = cos^{2} θ ]\)
\(= 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}}3 cosθ .cos θ dθ\)
\(= 3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 cos^{2} dθ\)
\(= 3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1+cos 2θ) dθ\)
\(= 3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 .dθ+3 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos 2θ dθ\)
\(= 3 \frac{π}{2}+ \frac{3}{2} sin – \frac{3}{2}sin 0\)
\(= \frac{3}{2}π\) বর্গএকক
∴ OAB অংশের ক্ষেত্রফল \(= \frac{3}{2}π\) বর্গএকক
∴ উপবৃত্তটি দ্বারা আবদ্ধ সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(= 4×\frac{3}{2}π\) বর্গএকক
\(= 6𝜋\) বর্গএকক। [Ans]
Remark: এই অংক পরীক্ষায় আরও দ্রুত করা সম্ভব। তোমাদের বুঝানোর সুবিধার্থে অনেক লাইন এখানে লেখা হয়েছে যেগুলি তোমরা পরীক্ষায় বাদ দিতে পারো। তাহলে, এখন বুঝলে তো, নিতু কীভাবে তার প্রশ্নের সমাধান করেছিল?
সমস্যা (ক): \(x^{2} + y^{2} = 25\) বক্র এবং \(x = 3\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো
সমাধান:
দেওয়া আছে,
\(x^{2}+y^{2}=25\)………(i)
\(x=3\)………(ii)
চিত্রের সবুজ রঙের ছায়া ঘেরা অঞ্চলই (i) নং বক্ররেখা এবং (ii) নং সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষুদ্রতর ক্ষেত্র। ক্ষেত্রফল =\(2 \int_{2}^{5} \sqrt{25-x^{2}}dx\)
বিকল্প সমস্যা: \(x^{2} + y^{2} = 25\) বক্র এবং \(x = 3\) রেখা দ্বারা আবদ্ধ বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো সমাধান: এই সমাধানটি তোমরা নিজেরা করবে।
Clue: বৃহত্তর অংশের ক্ষেত্রফল \(=2 \int_{-5}^{3} \sqrt{25-x^{2}}\)
সমস্যা (খ): y² = 16x পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: (উপকেন্দ্রিক লম্ব কী, তা গাণিতিক সমস্যাবলীর উপরে বুঝানো হয়েছে। ভুলে গেলে আরেকবার উপরে গিয়ে চোখ বুলিয়ে আসো)
y²=4.4x ⇒ y=±4√x
∴ a=4
∴ আমরা পাই, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ,
x=4
চিত্রের গাঢ় অংশটিই হচ্ছে \(y^{2} = 16x\) পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব \(x = 4\) দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্র।
∴ ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল
\(= 2 \int_{0}^{4}(4√x-0)dx\)
\(=8× \frac{2}{3}[x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}\)
\(=\frac{16}{3}×8\)
\(=\frac{128}{3}\) বর্গএকক [Ans]
সমস্যা (ক): \(y^{2}=16x\) পরাবৃত্ত এবং \(y=x\) রেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।
সমাধান: [এই অংকটিতে Axis Altering করে, অর্থাৎ dy এর সাপেক্ষে সমাকলন করা হয়েছে। তোমরাও নিজেদের সুবিধামতো যেকোনো ক্ষেত্রফল নির্ণয় সংক্রান্ত অংক Axis Alter করে করতে পারো। তবে অবশ্যই মাথায় রাখবে, dy এর সাপেক্ষে সমাকলন করলে অবশ্যই ফাংশনের x এর মানকে সমাকলন করতে হবে, অর্থাৎ \(\int_{a}^{b}x.dy\) করতে হবে, যেখানে ক্ষেত্রটি \(y = a\) ও \( y = b\) রেখার মধ্যে সীমাবদ্ধ।]
আশা করি তোমরা এপর্যন্ত সকল সমস্যা ও তার সমাধান বুঝেছ। যদি সত্যই সব বুঝে থাকো, তবে তোমরা এইচ.এস.সি লেভেলের সব রকম যোগজীকরণ সংক্রান্ত সমস্যারই সমাধান নিজে থেকে করতে পারবে বলে আশা করছি।
