পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্নয়

স্নেহা ও সীমান্ত দুইজনই ফুটবল খেলা দেখতে খুব পছন্দ করে। স্নেহার প্রিয় খেলোয়াড় হলো মেসি আর সীমান্তের রোনালদো। সীমান্ত স্নেহাকে বললো, “রোনালদো গত পাঁচ ম্যাচটি আন্তর্জাতিক ম্যাচে মেসি ও রোনালদো দুজনই সমান ভালো খেলেছে কারণ প্রতি ম্যাচে রোনালদো ও মেসির গোল গড় একই।” তখন স্নেহা বললো, “গত পাঁচ ম্যাচে দুজনের গোল গড় সমান থাকলেও মেসি ম্যাচগুলোতে বেশী ধারাবাহিক ছিল কারণ মেসি প্রতি ম্যাচেই নিয়মিত গোল করেছিল, কিন্তু রোনালদো এক ম্যাচে হ্যাট্রিক করে ও দু ম্যাচে কোন গোলই করেনি । তাই মেসি ধারাবাহিক এবং মেসির প্রতি ম্যচের গোলসংখ্যার সেটের পরিমিত ব্যবধান রোনালদোর চেয়ে কম।”
এখন আমরা শ্রেণিকৃত ও অশ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে কীভাবে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় করা যায় তা শিখব।


অশ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

আমরা ইতিমধ্যে জেনেছি অশ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে, \(\frac{\sum_{i=1}^{i = n} (x_{i}- \overline{x})^{2}}{n}\) ও \(\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{i = n} (x_{i}- \overline{x})^{2}}{n}}\) ; যেখানে \(x_{i}\) হচ্ছে প্রত্যেকটি উপাত্ত, n হচ্ছে মোট উপাত্তের সংখ্যা এবং \(\overline{x}\) হচ্ছে উপাত্তগুলোর গাণিতিক গড়।

কিন্তু এই সূত্র ব্যবহার করে পরিমিত ব্যবধান বের করা বেশ জটিল। তাই এই পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের সূত্রকে ভেঙে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়,

ভেদাঙ্ক \(= \frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}^{2}}{n}- (\frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}}{n})^{2}\)

পরিমিত ব্যবধান \(= sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}^{2}}{n}- (\frac{\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}}{n})^{2}}\)

এই সূত্রগুলোতে \(\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}^{2}\)\(\sum_{i=1}^{i=n}x_{i}\) এর মান বসালে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের মান বের হবে।


অশ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের পদ্ধতি


এখন আমরা নিচের ধাপগুলোর মাধ্যমে {100, 0, 50, 30, 20, 10, 15, 40} এই উপাত্ত সেটের পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


উদাহরণ ১:

-5, 0, 7, 2, -9, 4 এই সংখ্যাগুলির পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় করো।

সমাধান:

এখানে, \( \sum_{i=1}^{i = 7} x_{i}\)

\(= -5 + 0 + 7 + 2 -9 + 4\)

\(= 11\)

\( \sum_{i=1}^{i = 7} x_{i}^{2}= (-5)^{2}+ 0^{2}+7^{2}+2^{2}+(-9)^{2}+4^{2}\)

\(= 319\)

ভেদাঙ্ক \(= \frac{ \sum_{i=1}^{i = n} x_{i}^{2}}{n} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n} x_{i}}{n})^{2}\)

\(= \frac{319}{7} – ( \frac{11}{7})^{2}\)

\(= 45.57 – 2.47\)

\(= 43.10\)

পরিমিত ব্যবধান \(= \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^{i = n} x_{i}^{2}}{n} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n} x_{i}}{n})^{2}}\)

\(= \sqrt{ \frac{319}{7} – ( \frac{11}{7})^{2}}\)

\(= \sqrt{45.57 – 2.47}\)

\(= \sqrt{43.10}\)

\( =6.57\)


শ্রেণিকৃত উপাত্তের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়


টাইপ-১: বিরত নিবেশনের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়

যখন শ্রেণিকৃত উপাত্তগুলো বিরত নিবেশনে থাকবে সেক্ষেত্রে ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে, \( \frac{ \sum_{i=1}^{i = n}f_{i}×(x_{i}- \overline{x} )^{2}}{N}\) ও \( \sqrt{\frac{ \sum_{i=1}^{i = n}f_{i}×(x_{i}- \overline{x} )^{2}}{N}}\) ; যেখানে \(x_{i}\) হুচ্ছে প্রত্যেকটি শ্রেণিমান, N হচ্ছে মোট গণসংখ্যার সংখ্যা, \(f_{i}\) হচ্ছে প্রত্যেকটি শ্রেণির গণসংখ্যা এবং x হচ্ছে উপাত্তগুলোর গাণিতিক গড়।
কিন্তু এই সূত্র ব্যবহার করে পরিমিত ব্যবধান বের করা বেশ জটিল। তাই এই পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের সূত্রকে ভেঙে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়।
ভেদাঙ্ক = \( \frac{ \sum_{i=1}{i = n}f_{i}x_{i}^{2}}{N} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n}f_{i}x_{i}}{N})^{2}\)

পরিমিত ব্যবধান \( \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}{i = n}f_{i}x_{i}^{2}}{N} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n}f_{i}x_{i}}{N})^{2}}\)

এই সূত্রগুলোতে \( \sum_{i=1}^{i = n}f_{i}x_{i}^{2}\)\( \sum_{i=1}^{i=n}f_{i}x_{i}\) এর মান বসালে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের মান বের হবে।


বিরত নিবেশনের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের কার্যপদ্ধতি



এখন আমরা নিচের ধাপগুলোর মাধ্যমে এই উপাত্ত সেটের পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


টাইপ-২: অবিরত নিবেশনের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়


যখন শ্রেণিকৃত উপাত্তগুলো অবিরত নিবেশনে থাকবে সেক্ষেত্রে ভেদাঙ্ক ও পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের সূত্র হচ্ছে, \( \frac{\sum_{i=1}^{i = n} f × (x_{i}- \overline{x} )^{2}}{N}\) ও\( \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{i = n} f × (x_{i}- \overline{x} )^{2}}{N}}\) ;যেখানে \(x_{i}\) হুচ্ছে প্রত্যেকটি শ্রেণিব্যপ্তির মধ্যমান, N হচ্ছে মোট গণসংখ্যার সংখ্যা, f হচ্ছে প্রত্যেকটি শ্রেণির গণ সংখ্যা এবং x হচ্ছে উপাত্তগুলোর গাণিতিক গড়।

কিন্তু এই সূত্র ব্যবহার করে পরিমিত ব্যবধান বের করা বেশ জটিল। তাই এই পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের সূত্রকে ভেঙে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়।

ভেদাঙ্ক \(= \frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}x_{i}^{2}}{N} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n} f_{i}x_{i}}{N})^{2}\)

পরিমিত ব্যবধান \(= \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}x_{i}^{2}}{N} – ( \frac{ \sum_{i=1}^{i=n} f_{i}x_{i}}{N})^{2}}\)

কিন্তু যখন শ্রেণি মধ্যমান গুলো অনেক বড় হয় সেক্ষেত্রে প্রত্যেক শ্রেণির ক্ষেত্রে \(fx_{i}^{2}\) বা \(fx_{i}\)এর মান বের করা জটিল হয়ে যায়। এ সমস্য দূর করার জন্য নতুন একটি চলক \(u_{i}\) ব্যবহার করা হয়। যেখানে, \(u_{i}= \frac{x_{i} – a}{c}\) ; যেখানে a অনুমিত গড় এবং c শ্রেণি ব্যাপ্তি। ফলে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের সূত্রটি হয়

ভেদাঙ্ক \(= c^{2} × \left\{ \frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}u_{i}^{2}}{N} – (\frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}u_{i}}{N})^{2}\right\}\)

পরিমিত ব্যবধান \(= c × \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}u_{i}^{2}}{N} – (\frac{\sum_{i=1}^{i = n}f_{i}u_{i}}{N})^{2}}\)

এই সূত্রগুলোতে \( \sum_{i=1}^{i = n}f_{i}u_{i}^{2}\) ও \( \sum_{i=1}^{i=n}f_{i}u_{i}\) এর মান বসালে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্কের মান বের হবে।


অবিরত নিবেশনের ক্ষেত্রে পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের কার্যপদ্ধতি



এখন আমরা নিচের ধাপগুলোর মাধ্যমে এই উপাত্ত সেটের পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্ণয় করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা পরিমিত ব্যবধান ও ভেদাঙ্ক নির্নয় সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।