Uncategorized

পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

চলো আমরা একটু প্রথমে অণু পরমাণু নিয়ে আলোচনা করি।

তোমরা সবাই নিশ্চয়ই জানো, কোন পদার্থকে ভেঙে অত্যন্ত ক্ষুদ্র যে কণা পাওয়া যায় যার স্বাধীন অস্তিত্ব বিদ্যমান, তাকে অণু বলে। আবার অণুকে ভেঙে আরও ছোট করলে পরমাণু নামক স্বাধীন অস্তিত্ববিহীন কণা পাওয়া যায়। আবার একসময় ধারণা করা হত পরমাণুই বোধহয় সর্বাধিক ক্ষুদ্র কণা, একে আর ভাঙা যায় না। পরবর্তীতে আবিষ্কার করা হল যে একেও ভাঙা সম্ভব। পরমাণুকে ভাঙলে আরও ক্ষুদ্র কিছু কণিকা পাওয়া যায় যাদেরকে মূল কণিকা বলে। বর্তমানে ধারণা করা হচ্ছে যে এসব মূল কণিকারও কাউকে কাউকে ভাঙা সম্ভব।

তাহলে খেয়াল করে দেখ, একটি পদার্থকে কতবার ভেঙে আরও ক্ষুদ্র কিন্তু নতুন জিনিস পাওয়া যাচ্ছে। তেমনিভাবে, অনেক ফাংশনকেও কিন্তু একাধিকবার অন্তরীকরণ করে নতুন নতুন অন্তরজ বা অন্তরক সহগ বের করা সম্ভব।

ধর, f(x) একটি ফাংশন। এই ফাংশনকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে যে অন্তরজ পেলে, সেটি ধরো, আরেকটি ফাংশন g(x). তোমাদের মাথায় কি কখনো প্রশ্ন এসেছে, যে এটিও তো একটি ফাংশন; তাই একেও অন্তরীকরণ করা যায় কিনা? আর করা গেলেই বা যে অন্তরজ পাব, তার সাথে g(x) ফাংশনের সম্পর্ক কী এবং তাকে কী নামে ডাকবো? হ্যাঁ, তোমাদের প্রশ্নগুলির উত্তর এখানে দেয়া হবে।

যদি y = f(x) ফাংশনটিকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা হয়, তবে যে অন্তরক সহগ পাওয়া যায়,তাকে f(x) ফাংশনের প্রথম অন্তরজ (First Derivative) নামে অভিহিত করা হয়। আবার, এই নতুন পাওয়া প্রথম অন্তরজকে পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা সম্ভব হলে যে নতুন অন্তরক সহগ পাওয়া যায়, তাকে ঐ f(x) ফাংশনের দ্বিতীয় অন্তরজ (Second Derivative) বলা হয়। একইভাবে, দ্বিতীয় অন্তরজকেও যদি পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করা সম্ভব হয়, তবে যে অন্তরক সহগ পাওয়া যায়, তাকে f(x) ফাংশনের তৃতীয় অন্তরজ (Third Derivative) বলে।

কোন কোন ফাংশনকে অসংখ্যবার অন্তরীকরণ করা যায়। আবার কোন কোন ফাংশনকে দুই-একবার অন্তরীকরণ করার পরে প্রাপ্ত অন্তরজকে আর কোনভাবেই অন্তরীকরণ করা যায় না। তো যাই হোক, এভাবে কোন ফাংশনের অন্তরজসমূহকে পর্যায়ক্রমে অন্তরীকরণ করে করে নতুন নতুন অন্তরজ বের করার পদ্ধতিকে পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ বলে।

আগেই বলে রাখি, এইচ.এস.সি এবং ইঞ্জিনিয়ারিং লিখিত পরীক্ষাগুলির জন্য এই অধ্যায়টি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

ফাংশনের পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণের একটি বাস্তব উদাহরণ হল বেগ ও ত্বরণ নির্ণয়। f(x) যদি এমন একটি ফাংশন হয়, যা কোন কণার x সময়ে সরণ (Displacement) নির্দেশ করে, তবে এই ফাংশনকে প্রথমবার স্বাধীন চলক x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে প্রথম অন্তরজ হিসেবে বেগ পাওয়া যায়, যা আবার x এর আরেকটি ফাংশন। এই ফাংশনকে আবার অন্তরীকরণ করলে দ্বিতীয় অন্তরজ হিসেবে x সময়ে ত্বরণের রাশিমালা পাওয়া যায়। এ সম্পর্কে পরবর্তী স্মার্টবুকে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

আগেই বলা হয়েছে, অনেক ফাংশন আছে, যাদেরকে অসংখ্যবার অন্তরীকরণ করা যায়, এমনকি অসীমতম বারও। এদের মধ্যে অনেক ফাংশন আছে, যাদের মূল ফাংশন এবং তার অন্তরজসমূহের মধ্যে কোন সাধারণ মিল খুঁজে পাওয়া যায়। এদের ক্ষেত্রে আমরা মূল ফাংশন থেকেই একবারে n-তম অন্তরজটি নির্ণয় করে ফেলতে পারি, যেখানেn ∈ N .

তোমাদের পরীক্ষায় কিছু ফাংশনের n-তম অন্তরজ নির্ণয় করতে হতে পারে। এসব ফাংশনের n তম অন্তরজ আসলে খুবই সহজ; তোমাদের শুধুমাত্র মূল ফাংশনের সাথে এর প্রথম অন্তরজ, তার থেকে উদ্ভব হওয়া দ্বিতীয় অন্তরজ ইত্যাদি এর মধ্যে একটি সাধারণ মিল বা ছন্দ খুঁজে বের করা লাগবে।



মূলত, যদি কোন ফাংশনের অন্তরীকরণ করার পর প্রথম, দ্বিতীয় ইত্যাদি অন্তরজের মধ্যে কোন ছন্দ খুঁজে বের করা যায়, তবে বুঝে নিতে হবে এই ফাংশনের n-তম অন্তরজ নির্ণয় সম্ভব, যেখানে n ∈ N


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


দ্বিতীয় অন্তরজ এর সাথে প্রথম অন্তরজ এর সম্পর্ক স্থাপনের নিয়ম


একটি গাণিতিক সমস্যা ধাপে ধাপে সমাধান করার মাধ্যমে আমরা এটি বুঝার চেষ্টা করব। সমস্যা: \(y = e^{tan^{-1}x}\) হলে, দেখাও যে \(y_{2}.(1 + x^{2}) = (1 – 2x).y_{1}\)


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।