পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ও কার্তেসীয় ব্যবস্থার সাথে সম্পর্ক

রাফি নবম শ্রেণীতে পড়ুয়া বালক। তার গণিতের প্রতি বিশেষ ঝোঁক। সে সবসময় পাঠ্য বইয়ের বাইরেও গণিতের নানা ধরণের বিষয় নিয়ে নেটে ঘাটাঘাটি করে। একদিন ক্লাসে তার অঙ্ক স্যার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা পড়ালেন। রাফি বাসায় এসে তার পাঠ্যবই থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সম্পর্কে পড়লো ও কীভাবে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মাধ্যমে কোন বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা যায় তা শিখলো। স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সম্পর্কে আরো জানার জন্যে গুগল এ সার্চ দিলো। তার চোখে পড়লো কোন বিন্দুর অবস্থান নির্ণয়ের জন্য কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ছাড়াও আরেকটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আছে। যার নাম হচ্ছে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা এবং এই ব্যবস্থায় কোন নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে দুরত্ব ও অন্তর্ভুক্ত কোণ জানতে পারলে যে কোন বিন্দুর অবস্থান ব্যাখ্যা করা যায়।

এবার চলো আমরা দেখে নিই পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা কি ও কীভাবে সমতলে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার মাধ্যমে কোন বিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করা যায়।


পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার পরিচয়


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় কোন সমতলে প্রতিটি বিন্দুর অবস্থান একটি নির্দিষ্ট বিন্দু ও একটি নির্দিষ্ট রেখার স্বাপেক্ষে করা হয়। নির্দিষ্ট রেখাটিকে বলা হয় মেরু রেখা ও নির্দিষ্ট বিন্দুটিকে মেরু বা মূলবিন্দু বলা হয়।

এখন যদি আমরা সমতলে কোন বিন্দুর অবস্থান সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করতে চাই তাহলে আমাদের দুটি জিনিসের দরকার হবে। একটি হচ্ছে বিন্দুটি মেরু বিন্দু হতে কতটুকু দুরত্বে আছে ও আরেকটি হচ্ছে মূলবিন্দু ও বিন্দুটির সংযোগ সরলরেখা মেরুরেখার সাথে কত ডিগ্রি ধনাত্মক / ঋণাত্মক কোণে আছে। তাহলে সমতলে কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (মূলবিন্দু হতে বিন্দুটির দুরত্ব, মূলবিন্দু ও বিন্দুটির সংযোগ সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত ধনাত্মক/ঋণাত্মক কোণ)

এখানে মূলবিন্দু হতে বিন্দুটির দুরত্বকে ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর ও মেরু ও বিন্দুটির সংযোগ সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত কোণকে ভেক্টর কোণও বলা হয়ে থাকে।

এবার চলো আমরা উপরের কথাগুলো আমরা উদাহরণের সাথে ব্যাখ্যা করি।

মনে করি, কোন সমতলে O মূলবিন্দু ও OX মেরু রেখা। সমতলে কোন বিন্দু P নেয়া হল। O, P যোগ করি।


মনে করি, OP ও OX এর অন্তর্ভুক্ত কোণ হচ্ছে \( \theta \) এবং OP এর দৈর্ঘ্য r।

আমরা জানি, কোন বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (মুল বিন্দু হতে বিন্দুটির দুরত্ব, মুলবিন্দু ও বিন্দুটির সংযোগ সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত ধনাত্মক/ঋণাত্মক কোণ)

এখানে P বিন্দুর ক্ষেত্রে,

মুলবিন্দু হতে বিন্দুটির দুরত্ব = r

মুলবিন্দু ও বিন্দুটির সংযোগ সরলরেখার অন্তর্ভুক্ত ধনাত্মক কোণ = \( \theta \)

অতএব, P বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক হবে (r, \( \theta \))

এখানে r ব্যাসার্ধ ভেক্টর ও \( \theta \) ভেক্টর কোণ।

মনে করি, কোন সমতলে O মেরু ও OX মেরুরেখা। এখন আমরা নীচের ধাপগুলোর মাধ্যমে O ও OX এর স্বাপেক্ষে ঐ সমতলে (5, 30°) বিন্দুটি চিহ্নিত করবো।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


সত্য মিথ্যা যাচাই করো




কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক


আমরা ইতিমধ্যে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা সম্পর্কে বিস্তারিত জেনেছি। এবার আমরা কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করবো।
বিভিন্ন চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের সম্পর্ক ভিন্ন রকম। এবার আমরা বিভিন্ন চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় করবো।


১ম চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক


মনে করি, কোন সমতলে X’OX ও YOY’ সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। মনে করি, ১ম চতুর্ভাগে কোন বিন্দু P এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) যখন O মেরু ও OX মেরু রেখা। O, P যোগ করি ও OX এর উপর PN লম্ব আঁকি।

অতএব, OP এর দৈর্ঘ্য = x, ON এর দৈর্ঘ্য = y। আবার, যেহেতু P এর পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) তাই OP = r ও ∠PON =\(\theta\)।
চিত্র হতে দেখা যায়,
\( sin \theta = \frac{PN}{OP} = \frac {y}{r} \)

বা, \( y =r sin \theta \)… (i)

আবার,

\( cos \theta = \frac {ON}{OP} = \frac {x}{r} \)

বা,\( x = rcos \theta \)… (ii)

(i) ও (ii) উভয়কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

\( x^{2} + y^{2} = r^{2} cos^{2} \theta + r^{2} sin^{2} \theta \)

বা,\( x^{2} + y^{2} = r^{2} ( cos^{2} \theta + sin^{2} \theta ) \)

বা, \( x^{2} + y^{2} = r^{2} \)

বা, \( r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac {y}{x} = \frac {rsin \theta } {rcos \theta} \)

বা, \( \frac {y}{x} = tan \theta \)

বা, \( tan \theta =\frac {y}{x} \)

বা, \( \theta = tan^{-1} ( \frac {y}{x} ) \)

অতএব কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) ও পোলার স্থানাঙ্ক (r, \(\theta\)) হলে,

\( x =r cos \theta \)

\(y = r sin \theta \)

\( r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

\( \theta = tan^{-1} \left\{ \frac{y}{x} \right\} \)

উদাহরণ:

কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (4,3) হলে তার পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর = \( = \sqrt { x^{2} + y^{2}} = \sqrt { 4^{2} + 3^{2}} = \sqrt {5} =5 \)

ভেক্টর কোণ =\( = tan^{-1} ( \frac {y}{x} ) = tan^{-1} ( \frac {4}{3} = 53.1° \)

অতএব বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক = \( = (5, 5.31°) \)


২য় চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক


মনে করি, কোন সমতলে X’OX ও YOY’ সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। মনে করি, ২য় চতুর্ভাগে কোন বিন্দু P এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-x,y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) যখন O মেরু ও OX মেরু রেখা। O, P যোগ করি ও OX এর উপর PN লম্ব আঁকি। অতএব, OP এর দৈর্ঘ্য = x, ON এর দৈর্ঘ্য = y। আবার, যেহেতু P এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) তাই OP = r ও ∠POX =\(\phi)\)। ধরি, \(∠PON = \theta\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \( ∠POX = π – \theta \)

চিত্র হতে দেখা যায়,

\( sin ∠POX = \frac {PN}{OP}= \frac {y}{r} \)

বা\( sin \theta = \frac {y}{r}\)

বা, \( y = rsin \theta \)…(i)

আবার,
\( cos ∠POX = \frac{ON}{OP} = \frac{x}{r} \)

বা,\( cos \theta = \frac {x}{r} \)

বা, \( x = rcos \theta \) … (ii)

(i) ও (ii) উভয়কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

\( x^{2} + y^{2} = r^{2} cos^{2} \theta + r^{2} sin^{2} \theta \)

বা, \( x^{2} + y^{2} = r^{2} (cos^{2} \theta + sin^{2} \theta ) \)

বা, \( x^{2} + y^{2} = r^{2}\)

বা,\(r= \sqrt{x^{2} + y^{2} } \)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac {y}{x} = \frac{rsin \theta}{rcos \theta} \)

বা, \( \frac {y}{x} = tan \theta \)

বা, \( tan \theta = \frac{y}{x}\)

বা, \( \theta = tan^{-1}(\frac{y}{x}) \)

যেহেতু OX ও OP এর মধ্যবর্তী কোণ ∠POX। অতএব ∠POX ই হবে ভেক্টর কোণ।

\(∠PON=π-tan^{-1}(\frac{y}{x})\)

অতএব কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) হলে,

\(x=-rcos \theta \)

\(y= rsin \theta \)

\(r = \sqrt{x^{2}+y^{2}} \)

\(\phi = π – tan^{-1} ( \frac{y}{x})\)

উদাহরণ:

কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-4, 3) হলে তার পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

এখানে বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আছে।

অতএব, (-x, y) = (-4, 3)

-x = -4

বা, x = 4

y = 3

X ও y এর মান সূত্রে বসিয়ে পাই।

ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(= \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(-4)^{2}+(3)^{2}} = \sqrt{25} = 5 \)

ভেক্টর কোণ \(= π – tan^{-1} (\frac{y}{x})=π-tan^{-1} (\frac{4}{3})=180°-53.1°=126.9°\)

অতএব বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক = (5, 126.9°)


৩য় চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক


মনে করি, কোন সমতলে X’OX ও YOY’ সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। মনে করি, ৩য় চতুর্ভাগে কোন বিন্দু P এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (-x, -y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) যখন O মেরু ও OX মেরু রেখা। O, P যোগ করি ও OX এর উপর PN লম্ব আঁকি। অতএব, OP এর দৈর্ঘ্য = x, ON এর দৈর্ঘ্য = y। আবার, যেহেতু P এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) তাই OP = r ও \(∠POX =\phi)\)। \(∠PON = \theta\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(∠POX = π + \theta\)

চিত্র হতে দেখা যায়,

\(sin∠PON = \frac{PN}{OP}= \frac{y}{r}\)

বা, \(sin \theta = \frac{y}{r} \)

বা, \(sin \theta = \frac{y}{r} \)

বা, \(y =r sin \theta \)… (i)

আবার,
\(cos∠PON = \frac{ON}{OP}= \frac{x}{r}\)

বা, \(cos \theta = \frac{x}{r} \)

বা, \(cos \theta = \frac{x}{r} \)

বা, \(x= rcos \theta \)… (ii)

(i) ও (ii) উভয়কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}cos^{2} \theta + r^{2} sin^{2} \theta \)

বা, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}(cos^{2} \theta + sin^{2} \theta) \)

বা, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

বা, \(r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac{y}{x} = \frac{r sin \theta}{rcos \theta } \)

বা, \( \frac{y}{x} = tan \theta \)

বা, \( tan \theta = \frac{y}{x} \)

বা, \( \theta = tan^{-1} (\frac{y}{x})\)

এখানে ভেক্টর কোণ এর মান দুই রকম হতে পারে।

চিত্র হতে দেখা যায়, ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর OP ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে ঘুরে কোণ উৎপন্ন করে তবে ভেক্টর কোণ হবে ∠XOP।

\( ∠XOP = π + tan^{-1} (\frac{y}{x})\) যেখানে, \( 0 \leq ∠XOP \leq 2π\)

যদি নিচের চিত্রের মতো ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর ঘড়ির কাটার দিকে ঘুরে কোণ উৎপন্ন করে তবে ভেক্টর কোণ হবে ∠XOP।

চিত্র হতে দেখা যায়, \(∠XOP = -π + tan^{-1} (\frac{y}{x})\) যেখানে, \( -π \leq ∠XOP \leq π\)

অতএব কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r,\phi)\) হলে,

\( x = -rcos \theta \)

\( y = rsin \theta\)

\(r= \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(\phi = π + tan^{-1} (\frac{y}{x})\) যেখানে, \(0 \leq \phi \leq π\)

অথবা,

\( \phi = -π + tan^{-1} (\frac{y}{x})\) যেখানে,\(-π \leq \phi \leq π\)

উদাহরণ:

কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (- 4, – 3) হলে তার পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

এখানে বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আছে।

অতএব, (-x, – y) = (-4, – 3)

-x = -4

বা, x = 4

-y = – 3

বা, y = 3
x ও y এর মান সূত্রে বসিয়ে পাই।

ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(= \sqrt{x^{2}+y^{2}}= \sqrt{(-4)^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5\)

ভেক্টর কোণ \( = π + tan^{-1} (\frac{y}{x}) = π + tan^{-1} (\frac{4}{3})= 180°+53.1°=233.1°\)

অথবা,

ভেক্টর কোণ \( = π + tan^{-1} (\frac{y}{x}) = π + tan^{-1} (\frac{4}{3})= -180°+53.1°=-126.9°\)

অতএব বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক = (5, -126.9°) অথবা, (5, 233.1°)


৪র্থ চতুর্ভাগে কার্তেসীয় ও পোলার স্থানাঙ্কের মধ্যে সম্পর্ক


মনে করি, কোন সমতলে X’OX ও YOY’ সরলরেখা দুইটি পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। মনে করি, ৪র্থ চতুর্ভাগে কোন বিন্দু P এর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x,- y) এবং পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) যখন O মেরু ও OX মেরু রেখা। O, P যোগ করি ও OX এর উপর PN লম্ব আঁকি।

অতএব, OP এর দৈর্ঘ্য = x, ON এর দৈর্ঘ্য = y। আবার, যেহেতু P এর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) তাই OP = r ও \(∠XOP = \theta\)। \(∠PON = \theta\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(∠XOP = 2π- \theta\)

চিত্র হতে দেখা যায়,
\( sin ∠PON = \frac{PN}{OP} = \frac {y}{r}\)

বা, \(sin \theta = \frac{y}{r} \)

বা, \(y = rsin \theta \)… (i)

আবার,
\( cos ∠PON = \frac{ON}{OP} = \frac {x}{r}\)

বা, \(cos \theta = \frac{x}{r}\)

বা, \(x= rcos \theta \)… (ii)

(i) ও (ii) উভয়কে বর্গ করে যোগ করে পাই,

\(x^{2}+y^{2}=r^{2}cos^{2} \theta + r^{2} sin^{2} \theta \)

বা, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}(cos^{2} \theta + sin^{2} \theta) \)

বা, \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)

বা, \(r = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\( \frac{y}{x}= \frac{rsin \theta}{rcos \theta}\)

বা, \( \frac{y}{x}= tan \theta\)

বা, \( tan \theta = \frac{y}{r}\)

বা, \( \theta = tan^{-1} (\frac{y}{x})\)

এখানে ভেক্টর কোণ এর মান দুই রকম হতে পারে।

যদি ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর OP ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে ঘুরে কোণ উৎপন্ন করে তবে ভেক্টর কোণ হবে ∠XOP।

উপরের চিত্র হতে দেখা যায়, \(∠XOP= 2π – tan^{-1} (\frac{y}{x})\) যেখানে, \(0 \leq ∠XOP \leq 2π \)

যদি নিচের চিত্রের মতো ব্যাসার্ধ্ ভেক্টর ঘড়ির কাটার দিকে ঘুরে কোণ উৎপন্ন করে তবে ভেক্টর কোণ হবে ∠XOP।

চিত্র হতে দেখা যায়, \(∠XOP= – tan^{-1}(\frac{y}{x})\) যেখানে, \(-π \leq XOP \leq π\)

অতএব কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (x, y) ও পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \phi)\) হলে,

\( x = – rcos \theta\)

\( y = rsin \theta\)

\( r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\)

\( \phi = 2 π- tan^{-1}( \frac{y}{x})\) যেখানে, \(0 \leq \phi \leq 2π\)

অথবা,

\( \phi= – tan^{-1}(\frac{y}{x})\) যেখানে, \(-π \leq \phi \leq 2π\)

উদাহরণ:
কোন বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক (4, -3) হলে তার পোলার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

এখানে বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে আছে।

অতএব, (x, -y) = (4, -3)

x = -4

-y = – 3

বা, y = 3

X ও y এর মান সূত্রে বসিয়ে পাই।

ব্যাসার্ধ ভেক্টর \(= \sqrt{x^{2} + y^{2}}= \sqrt{(-4)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

ভেক্টর কোণ \(= π + tan^{-1}(\frac{y}{x}) =2π – tan^{-1}(\frac{4}{3}) = 360°- 53.1° = 306.9°\)

অথবা,

ভেক্টর কোণ \(= -tan^{-1}(\frac{y}{x}) = – tan^{-1}(\frac{4}{3}) = -53.1°\)

অতএব বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক = (5, 306.9°) অথবা, (5, -53.1°)



গাণিতিক সমস্যাবলি


সমস্যা নং ১:\( r = 6cos – 2sin\) কে কার্তেসীয় সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান:

\(r = 6cos – 2sin\)

বা, \(r^{2}= 6rcos \theta – 2rsin \theta\) (উভয়পক্ষকে r দ্বারা গুণ করে)

বা, \(x^{2}+ y^{2} = 6x – 2y\) (যেহেতু \(x = rcos \theta ; y = rsin \theta ; \sqrt{x^{2} + y^{2}}; r^{2}= x^{2}+ y^{2})\)

বা, \(x^{2}+ y^{2}- 6x + 2y = 0\)

এটিই নির্ণেয় সমীকরণ।

সমস্যা নং ২: \(y^{2}= 1 – 2x\) কে পোলার সমীকরণে প্রকাশ কর।
সমাধান:

\(y^{2}= 1 – 2x\)

বা, \(x^{2}+ y^{2}= x^{2} – 2x + 1\) (উভয়পক্ষে \(x^{2}\) দ্বারা যোগ করে পাই)

বা, \(r^{2} = (1 – x)^{2}\)

বা,\( r = (1 – x)\)

বা, \(r = 1 – rcos\)

বা, \(r+ rcos \theta=1\)

এটিই নির্ণেয় সমীকরণ।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ও কার্তেসীয় ব্যবস্থা সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।