Uncategorized

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে যোগজীকরণ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

যোগজীকরণ সম্পর্কে প্রাথমিক ধারণা পেতে হলে এখনই ঘুরে আসো আমাদের অনিদির্ষ্ট যোগজ- প্রাথমিক ধারণা স্মার্টবুকটি থেকে। আস্তে আস্তে আমরা যোগজীকরণের আরও গভীরে প্রবেশ করছি। এরপর তোমরা বিভিন্ন ফরম্যাটের বিভিন্নরকম ফাংশনকে ভিন্ন ভিন্ন পদ্ধতির মাধ্যমে যোগজীকরণ করে যোগজ নির্ণয় পদ্ধতি শিখবে। পদ্ধতিগুলি যথাক্রমে:

১. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Method of Substitution)

২. আংশিক ভগ্নাংশ পদ্ধতি (Partial Fraction Method)

৩. অংশায়ন সূত্র (Integration by Parts Theory)

এই বইটিতে তোমাদের জন্য প্রতিস্থাপন পদ্ধতির মাধ্যমে যোগজীকরণের একটি অংশ আলোচনা করা হয়েছে।

এর আগে, চলো আমরা একটু জ্যামিতিকভাবে যোগজীকরণের বিষয়টি বুঝার চেষ্টা করি।

প্রথমে একটি পরাবৃত্তের গ্রাফ নিয়ে কাজ করি। ধরি, \(y = f(x) =5x^{2}\) একটি ফাংশন। এই ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন করলে তার আকার পরাবৃত্তাকার হবে। আমরা এখানে শুধুমাত্র সর্ব-ধনাত্মক দিক নিয়ে চিন্তা করবো। তাহলে, লেখটি দেখতে এরকম হবে: (চিত্র ক)

চিত্র – ক

এতদিনে তোমরা নিশ্চয়ই অন্তরীকরণ ভালোভাবে রপ্ত করে ফেলেছো? তাহলে এখন বলোতো, এই বক্ররেখাটির সমীকরণের অন্তরক সহগ কত হবে?

চলো আমরা অন্তরজটি নির্ণয় করে ফেলি। \(\frac{d}{dx}(5x^{2}) =10x \)

তাহলে এটিকে আমরা একটি ফাংশন হিসেবে আখ্যায়িত করতে পারি। g(x) = 10x

আবার, আমরা জানি, কোনো ফাংশনের বা বক্রের অন্তরজ বের করা মানে হলো ঐ বক্রের (x,y) বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করা। তো এভাবে আমরা যেকোনো বিন্দুতে পরাবৃত্তটির স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় করতে পারি। যেমন x = 6 বিন্দুতে ঢাল = 10x = 10×6 = 60

তাহলে চলো g(x) = 10x ফাংশনের লেখ দেখে ফেলি এখন: (চিত্র খ)


চিত্র – খ

আমার এই ফাংশনকে পুনরায় x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করলে অন্তরজ হিসেবে আমরা পাবো, \(\frac{d}{dx}(10x) =10 \)

এটিকেও আরেকটি ফাংশন h(x) বিবেচনা করলে তা হবে এরকম একটি ধ্রুবক ফাংশন

∴ h(x) = 10

লেখটি হবে নিম্নরূপ: (চিত্র গ)

চিত্র – গ

এখন, আমরা যদি শেষোক্ত ফাংশন h(x) = 10 এর x এর সাপেক্ষে যোগজ বের করি, তবে ফলাফল হিসেবে পাবো g(x) = 10x, কারণ যোগজীকরণ হল অন্তরীকরণের ঠিক উলটো।

আবার, আমরা জানি, যোগজ নির্ণয় মানে হল প্রকৃতপক্ষে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা। এখন তোমরা লেখটি (চিত্র গ) লক্ষ্য করো। লেখটি যেই ফাংশনের, সেই ফাংশনের যোগজ হল 10x. এটি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে। কীভাবে? মনে করো তুমি মূলবিন্দু (x = 0) হতে x = 7 বিন্দুর মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফলটি নির্ণয় করতে চাও। তাহলে তোমার আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 7 এবং প্রস্থ = 10 ( গ্রাফ হতে দেখতেই পাচ্ছ) । তাহলে ক্ষেত্রফল হবে = 10 × 7 = 70

আবার দেখো, যোগজ 10x এ x এর স্থলে 7 বসিয়ে দিলেও উত্তর আসে 70 . অতএব, এটি স্পষ্ট যে 10 এর যোগজ 10x একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

একইভাবে, g(x) = 10x কে x এর সাপেক্ষে যোগজীকরণ করে পাই,

\( \int 10x\ dx= 10\ \int x\ dx= 10. \frac{x^{1+1}}{1+1} =5x^{2}\)

আমাদের প্রথম ফাংশনটিও ছিল \(f(x) = 5x^{2}\)

তাহলে অন্তরীকরণের বিপরীতক্রমে গিয়ে, অর্থাৎ যোগজীকরণের মাধ্যমে আমরা আমার প্রথম ফাংশনটি পেয়ে গেলাম। এখন চিত্র খ টি আবার লক্ষ্য করো। এই লেখের ফাংশনটি হল 10x, যার যোগজ \(5x^{2}\) . অর্থাৎ, \(5x^{2}\) ই হবে চিত্র খ এর ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ফাংশন। কীভাবে? চলো এটাও দেখা যাক:

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ½ × (ভূমি × উচ্চতা)

এখানে, ভূমি = x একক হলে উচ্চতা = 10x একক হবে। [কারণ, লেখে লক্ষ্য করো, ভূমি x = 1 হলে উচ্চতা = 10 একইভাবে, x = 2 হলে উচ্চতা = 10 × 2 = 20 ]

এখন তাহলে তোমাদের কাছে স্পষ্ট তো, কীভাবে অন্তরীকরণের বিপরীত পদ্ধতি হিসেবে যোগজীকরণ কাজ করে এবং কীভাবে যোগজীকরণ ক্ষেত্রফল নির্ণয় নির্দেশ করে?


প্রতিস্থাপন প্রক্রিয়ার জন্য প্রয়োজনীয় কিছু সূত্র


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


এই অধ্যায় এবং পরবর্তী অধ্যায়সমূহের অংকগুলির সমাধান করার জন্য তোমাদের ত্রিকোণমিতিক কিছু সূত্র এবং অনুসিদ্ধান্ত মনে রাখার প্রয়োজন হবে। এসব সূত্র, অনুসিদ্ধান্ত এবং এদের প্রমাণ তোমরা আমাদের যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত এবং যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত থেকে কয়েকটি অনুসিদ্ধান্ত স্মার্টবুকদ্বয় থেকে দেখে নিতে পারবে। তারপরও তোমাদের সুবিধার্থে এখানে কিছু অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র এবং অনুসিদ্ধান্ত দেওয়া হল:

\(2sinA cosB = sin ( A + B ) + sin ( A – B )\)

\(2cosA sinB = sin ( A + B ) – sin ( A – B )\)

\(2cosA cosB = cos ( A + B ) + cos ( A – B )\)

\(2sinA sinB = cos ( A – B ) – cos ( A + B )\)

\(sinC + sinD = 2 sin \frac{C+D}{2} cos \frac{C-D}{2}\)

\(sinC – sinD = 2 cos \frac{C+D}{2} sin \frac{C-D}{2}\)

\(cosC + cosD = 2 cos \frac{C+D}{2} cos \frac{C-D}{2}\)

\(cosC – cosD = 2 sin \frac{C+D}{2} sin \frac{D-C}{2}\)

\(sin2A = 2 sinA cosA\)

\(cos2A = cos2A – sin2A\)

\(1 – cos2A = 2sin^{2}A\)

\(1 + cos2A = 2cos^{2}A\)

\( 4sin^{3} A = 3 sin A – sin 3A\)

\(4cos^{3} A = 3 cos A + cos 3A\)

চলো তাহলে আমরা কিছু অংকের সমাধান করে ফেলি


বীজগাণিতিক রাশি ও সূত্র সংক্রান্ত


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


ত্রিকোণমিতিক রাশি ও সূত্র সংক্রান্ত


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


আজ এপর্যন্তই! তোমরা অবশ্যই অবশ্যই আমাদের যোগজীকরণ সম্পর্কিত পরবর্তী স্মার্টবুকগুলি দেখে ফেলবে।