বক্ররেখার স্পর্শক ও অভিলম্ব এবং এদের সমীকরণ

সবার আগে চল আমরা বক্রের স্পর্শক এবং অভিলম্ব আসলে কী, তা জেনে নিই।


স্পর্শক (Tangent)



হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

“Teeter Totter” নামটি তোমরা কেউ কী শুনেছো? বাংলায় একে মাঝে মাঝে ঢেঁকিকল বলা হয়। এটি সাধারণত বাচ্চাদের খেলাধুলার বা বিনোদনের একটি সরঞ্জাম হিসেবে নানা পার্কে দেখা যায়। কাঠের তৈরি লম্বা তক্তা বা লোহার তৈরি একটি লম্বা দন্ডের মাঝে পিভট বা ফালক্রাম রেখে দন্ডের দুইদিকে দুইজন বসে চিত্রের মতো একজন আরেকজনকে উপরে তোলার প্রচেষ্টা: এই খেলাটি তোমরা অনেকেই পার্কে গিয়ে বা যেকোনো জায়গায় খেলেছ, তাই না? এখনও যদি কেউ এটি চিনতে না পারো, উপরের চিত্রটি দেখো।

আমরা এবার বিষয়টিকে একটু জ্যামিতিকভাবে চিন্তা করব। পিভটের যে পৃষ্ঠে দন্ডটি সংযুক্ত, ঐ পৃষ্ঠটি যদি একটি বক্ররেখা হয়, তাহলে কিন্তু দন্ডটি প্রকৃতপক্ষে ঐ পৃষ্ঠের একটি স্পর্শক। নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো।

এ চিত্রে, একটি গোলককে ব্যবহার করা হয়েছে পিভট (Fulcrum) হিসেবে। উপরের দন্ডটি গোলকটিকে কিন্তু গোলকটিকে একেকবার একেক বিন্দুতে স্পর্শ করছে। কিন্তু খেয়াল করো, কখনোই কিন্তু দন্ডটি একইসাথে একাধিক বিন্দুতে গোলকটিকে স্পর্শ করে না। নির্দিষ্ট সময়ে অবশ্যই নির্দিষ্ট একটি বিন্দুতে স্পর্শ করছে। তাই, ঐ নির্দিষ্ট বিন্দুগুলিতে দন্ডটি গোলকের স্পর্শক।
নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো, বিষয়টি আরও পরিষ্কার হয়ে যাবে।


অভিলম্ব (Normal)


তুমি যখন মাটিতে পা রাখো, তখন তোমার শরীরের ওজন খাড়া নিচের দিকে কাজ করে। আর এই ওজনের সমান ও বিপরীতমুখী একটি বল খাড়া উপরের দিকে ক্রিয়া করে, যেই বলটি তোমাকে মাটির উপর দাঁড়িয়ে থাকতে সাহায্য করে। এইযে, তুমি যে তলে তোমার পা রেখেছ, ঐ তলের ঠিক খাড়া উপরের দিককেই অভিলম্ব দিক বলা হবে। অর্থাৎ তুমি তোমার ওজনের সমান ও বিপরীত বল পাচ্ছ ঠিক মাটির (তলের) অভিলম্ব বরাবর। কোনো তলের উপর যেমন অভিলম্ব হয়, তেমন স্পর্শকের উপরও অভিলম্ব হয়।

কোনো বক্ররেখার নির্দিষ্ট কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের উপর লম্ব যে সরলরেখা ঐ স্পর্শবিন্দুগামী, তাকে অভিলম্ব বলে।


বক্রের স্পর্শকের ঢালের মাধ্যমে অন্তরজের বর্ণনা



মনে করি, \(y=f(x)\) বক্ররেখার উপর \(P(x,y)\) এবং \(Q=(x+δx, y+δy)\) দুইটি খুব কাছাকাছি বিন্দু। P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক APT, X-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(φ\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(∴y=f(x)\) বক্ররেখার P তে APT স্পর্শকের ঢাল \(=tan θ = \frac{y+δy-y}{x+δx-x}\)

\(⇒tan θ = \frac{δy}{δx}\) বা \(\frac{∆y}{∆x}\)

Q বিন্দুটি যখন ক্রমশ P বিন্দুর দিকে অগ্রসর হয়ে P বিন্দুর সাথে প্রায় মিলে যায়, তখন \(δx→0\) এবং সীমান্ত অবস্থায় RPQ রেখাটি APT রেখার সাথে মিলে যাবে এবং \(θ→φ\) হবে।

\(∴tan φ= lim_{ẟx→0} tan θ\)

\(= lim {ẟx→0} \frac{δy}{δx}\)

\(= \frac{dy}{dx}\)

অর্থাৎ, কোন y = f(x) কোনো ফাংশনের x এর সাপেক্ষে অন্তরজ নির্ণয় করা যা, ঐ ফাংশনের (x,y) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল নির্ণয় একই কথা।


চল আমরা এই অধ্যায়ের কিছু গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ব্যাপারের সাথে পরিচিত হই:

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


(+) চিহ্নিত স্থানে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


চল এবার বক্ররেখার কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক ও অভিলম্ব সংক্রান্ত কিছু সমস্যার সমাধান করে আসি।


গাণিতিক সমস্যাবলী


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা বক্ররেখার স্পর্শক ও অভিলম্ব এবং এদের সমীকরণ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।