বিট ও রিলেটেড ম্যাথ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

নিচের ছবিটাতে একটা acoustics গবেষণাগার দেখতে পারছ।

সেই গবেষণাগারে বেশ কিছু নতুন জিনিস দেখল তোমাদের বন্ধু রাফিয়া, তার মধ্যে ছিল একটা simulation মেশিন। সেই simulator দিয়ে অনেক ধরনের শব্দ তৈরি করা যায় ও শোনা যায়, একটা পর্দায় আবার সেই শব্দের বিভিন্ন ধরনের ধর্ম দেখা যায় আর সৃষ্ট শব্দ তরঙ্গগুলোর চলার পথের একটা ছবি দেখা যায়।

রাফিয়া যেহেতু জিনিসটা নতুন দেখেছে, মেশিনের কাজটা বুঝে উঠতে তার একটু সময় লাগলো। আস্তে আস্তে সে লক্ষ করল, একটা কম্পাঙ্ক যখন সে বসিয়ে দিচ্ছে, সেই কম্পাঙ্কের একটি শব্দ তরঙ্গ তৈরি হয়ে যাচ্ছে! দারুণ ব্যাপারটা, তাইনা?

একটু পরেই রাফিয়া একটা মজার ব্যাপার লক্ষ করল। একটা 440 Hz কম্পাঙ্কের শব্দ শুনতে এরকম:

আবার একটা 444 Hz কম্পাঙ্কের শব্দ শুনতে এরকম:

খুব একটা পার্থক্য লক্ষ করলে কি? খুব একটা পার্থক্য আসলে নেই। কিন্তু এবার শুনো 440 Hz ও 444 Hz কম্পাঙ্কের শব্দ দুটো একসাথে বাজালে কিরকম শোনায়:

এই যে শব্দের তীব্রতা উঠানামা করছে, একবার জোড়ে শুনতে পারছ, আরেকবার আস্তে- এই হ্রাস-বৃদ্ধিকেই বিট বলে। রাফিয়া কিন্তু বিটগুলো শুনে বেশ অবাক হলো। এবার সে 440 Hz ও 440 Hz , অর্থাৎ একই কম্পাঙ্কের দুটো শব্দ একসাথে বাজিয়ে দেখল। তা শুনতে অনেকটা এরকম লাগল:

এটা কিন্তু বিট না। এখানে কেবল শব্দের ব্যতিচার হচ্ছে। তাহলে চলো এবার বিট আর ব্যতিচারের সংজ্ঞা দেখে নেই। কেন বিট শুনা গেল না তা আমরা একটু পরেই দেখব।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


এবার নিচের সত্য-মিথ্যাগুলোর উত্তর অনুমান করে চলো বিট আর ব্যতিচারের পার্থক্যগুলো আরও ভালোভাবে বুঝে নেওয়ার চেষ্টা করি:


এবার চলো আমরা একটু গণিত আর পদার্থবিজ্ঞান দিয়ে বিট জিনিসটা কী তা বোঝার চেষ্টা করি। প্রথমত বুঝতে হবে যে এরকম আসলে কেন হচ্ছে। 440 Hz, 444 Hz- কম্পাঙ্কের শব্দ দুটো কিন্তু প্রত্যেকেই একেকটা তরঙ্গ। একসাথে বাজালে যেটা হয়, তরঙ্গ দুটোর উপরিপাতন হয়। যেহেত, সময়ের সাথে তরঙ্গ দুটি এগিয়ে চলবে, তাদের মধ্যে একটা দশা পার্থক্য দেখা যাবে। কখনো কখনো এই দশা পার্থক্যের কারণে তারা একই দশায় মিলবে, আবার কখনো বিপরীত দশায় মিলবে।

তোমরা হয়ত জানো, আর না জানলে বলে দেই, তীব্রতা কিন্তু বিস্তার থেকে বোঝা যায় (তীব্রতা বিস্তারের বর্গের সমানুপাতিক)। তাহলে, একই বা বিপরীত দশায় যখন তরঙ্গগুলো মিলবে, তখন বিস্তারও যথাক্রমে বাড়বে ও কমবে। আর তাই, তীব্রতাও বাড়বে, কমবে আর আমরা বিট শুনতে পারব।

এবার চলো, বিটের গাণিতিক বিশ্লেষণে চলে যাই!

ধরে নাও, 440 Hz, 444 Hz কম্পাঙ্কের যে দুটো শব্দ রাফিয়া শুনেছিল তাদের সমীকরণ যথাক্রমে

\(Y_{1}=a\ sin\ 2π\ f_{1}t\)

এবং, \(Y_{2}=a sin 2π f_{2}t\)

[এখানে, \(f_{1}=440 Hz, f_{2}=444 Hz\)]

তাদের বিস্তার a।

লব্ধি সরণ Y হলে, আমরা লিখতে পারি,

\(Y=Y_{1}+Y_{2}\)

\(=a\ sin\ 2π\ f_{1}t+ a\ sin\ 2π\ f_{2}t\)

\(=2a\ sin\left\{2( \frac{f_{1}+f_{2}}{2})t\right\}cos\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\}\)

\(=2a\ cos\left\{2( \frac{f_{1}+f_{2}}{2})t\right\}sin\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\}\)………(১)

এবার, (১) নং সমীকরণটিকে \(Y=A/ sin/ 2π/ ft\) সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

বিস্তার, \(A=2a\ cos\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\}\) এবং কম্পাঙ্ক, \(f= \frac{f_{1}+f_{2}}{2}\)

দেখতে পারছ, এখানের নতুন তরঙ্গের বিস্তার যে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হচ্ছে (বিস্তার, Aএর সমীকরণে t রয়েছে)? বিস্তার পরিবর্তিত হচ্ছে বলে তীব্রতাও পরিবর্তিত হচ্ছে আর তাই বিট শোনা যাচ্ছে।

বিটের বেশ কিছু ব্যবহারিক প্রয়োগ রয়েছে আর যেকোন জিনিসকে বাস্তবে প্রয়োগ করতে চাইলে তার কিছু ধর্ম জানতে হয়। এক সেকেন্ডে কতগুলো বিট তৈরি হয় সে জিনিসটা অনেক সময় জানার প্রয়োজনীয়তা পড়ে। আমরা আবার রাফিয়ার শোনা বিটের উদাহরণে ফিরে যাই চলো। 440 Hz ও 444 Hz কম্পাঙ্কের শব্দ দুটো একসাথে শোনার কারণে সে যা এরকম শুনতে পেরেছিল, তা আবারো শুনে নেই চলো, কিন্তু এবার এক সেকেন্ডের জন্য:

কয়টা বিট শুনতে পারলে? গুনে গুনে একদম চারটা, তাইনা? দেখো, (444-440) কিন্তু চার! এবার চলো দেখে নেই এই মিলটা কি কাকতালীয় নাকি (এক সেকেন্ডে) বিটের সংখ্যার সাথে কম্পাঙ্কের পার্থক্যের আসলেই কোন সম্পর্ক আছে।

একটু আগেই দেখলাম,

বিস্তার, \(A=2a\ cos\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\}\)

a যেহেতু ধ্রুবক, A সর্বোচ্চ হবে যখন \(cos\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\}\) সর্বোচ্চ হবে। তার মানে যখন,

\(cos\left\{2π( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t\right\} = \pm 1\)

\( \Rightarrow 2π ( \frac{f_{1}-f_{2}}{2})t=0, π, 2π, ……….mπ [m=0, 1, 2,………]\)

\( \Rightarrow t=0, \frac{1}{f_{1}-f_{2}}, \frac{3}{f_{1}-f_{2}},……… \frac{m}{f_{1}-f_{2}}\)

তাহলে, \(t=0, \frac{1}{f_{1}-f_{2}}, \frac{3}{f_{1}-f_{2}},…….,\) ইত্যাদি সময়ে বিস্তার সবচেয়ে বেশি আর তাই তীব্রতা সর্বোচ্চ হয় আর তাই তখন প্রবল শব্দ শোনা যায়।

একইভাবে, সর্বনিম্ন তীব্রতা, অর্থাৎ নিঃশব্দ কখন কখন পাবে তা বের করার চেষ্টা করে দেখ আর না পারলে সমাধানে ক্লিক করো:

ড্রপ ডাউনটিতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


দুটো প্রবল শব্দ বা দুটো নিঃশব্দ- দুটোর মধ্যে একই সময় পার্থক্য আর তা হল: \( \frac{1}{f_{1}-f_{2}}\)

তাহলে, \( \frac{1}{f_{1}-f_{2}}\) সেকেন্ডে বিটের সংখ্যা 1

সুতরাং, 1 সেকেন্ডে বিটের সংখ্যা \(f_{1}-f_{2}\)

অর্থাৎ, 1 সেকেন্ডে বিটের সংখ্যা, \(N=f_{1}~f_{2}\)

তাহলে দেখ, আমরা গাণিতিকভাবে ঠিকই পেয়ে গেলাম, প্রতি সেকেন্ডে সৃষ্ট বিট সংখ্যা উৎস দুটোর কম্পাঙ্কের পার্থক্যের সমান। অর্থাৎ, আমরা যে এক সেকেন্ডে চারটা বিট শুনতে পেরেছিলাম, তা আসলেই উৎস দুটোর কম্পাঙ্কের পার্থক্যের সমান ছিল।

এবার চলো কিছু অঙ্কের মধ্য দিয়ে বিটের কিছু প্রয়োগ দেখে নেই:

১। অজানা কম্পাঙ্কের একটা সুর 512 Hz কম্পাঙ্কের অন্য আরেকটা সুরের সাথে প্রতি সেকেন্ডে 4টি বিট উৎপন্ন করে। সেই অজানা সুরই আবার 514 Hz কম্পাঙ্কের একটা সুরের সাথে প্রতি সেকেন্ডে 6টি বিট উৎপন্ন করে। অজানা কম্পাঙ্কটি কত, বলতে পারো?

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

অঙ্কটা করলে বুঝতে পারবে কিভাবে বিটের ধারণা ব্যবহার করে অজানা কোন কম্পাঙ্ক নির্ণয় করা যায়।

২। দুটি শব্দ তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য 1 m ও 1.01 m। তরঙ্গ দুটি একটি গ্যাসে 6 সেকেন্ডে 20টি বিট উৎপন্ন করে। শব্দের বেগ কত?

এবার, আমরা আরো কিছু প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব। তার আগে কিছু জিনিস জেনে নেই চলো যা অঙ্ক করার সময় কাজে দিবে:

→ N>10 Hzহলে বিট শোনা যাবে না কারণ তখন এক সেকেন্ডে এতই বেশি বিট উৎপন্ন হবে যার জন্য আমরা পরপর দুটো বিটের মধ্যে পার্থক্য করতে পারব না। মনে রাখবে আমাদের শব্দানুতির স্থায়িত্বকাল 0.1 s এবং তাই প্রতি সেকেন্ডে 10.1=10টি বিটকে আমরা একেকটা বিট হিসেবে আলাদা করতে পারব।

→ কোন শব্দের উৎসের ভর বাড়লে কম্পাঙ্ক কমে।

→ শব্দের উৎসের ভর কমলে কম্পাঙ্ক বাড়ে।

→যেকোন উৎসের কম্পাঙ্ক মাধ্যমভেদে ভিন্ন হয় না।

চলো বন্ধুরা, এবার নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করি:


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


বন্ধুরা, আশা করি আজকে বিট সম্বন্ধে জেনে তোমাদের ভালো লেগেছে। তোমাদের জন্য রইল 10 Minute School এর পক্ষ থেকে অনেক অনেক শুভেচ্ছা।