বিস্তৃতির সাধারণ পদ ও মধ্যপদ

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


বিস্তৃতির সাধারণ পদ


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

বেশ কিছুদিন হলো, কথিকা এলজেবরা (বীজগণিত) নিয়ে পড়াশুনো করছে। তো তাকে একদিন বললাম, “খুব তো ভাব তোমার হে! \((a+b)^{2}\) এর ফর্মুলাটা জানো?” কথিকা হেসে কুটিকুটি হলো এবং তারপর গটগট করে লিখে ফেললো \((a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}\). আমি হার মানলাম না, তাকে আরো জোর গলায় বললাম, “\((a+b)^{3}\) পারবে?” সে এবার হাসতে হাসতে গড়িয়ে পড়ে আরকি! “ভাইয়া, কীসব প্রশ্ন করো বাচ্চাদের মতো? এই দেখো-” \((a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\). সে জানালো, দ্বিপদী উপপাদ্যের কল্যাণে সে হাজার ঘাতের রাশিও বের করে দিতে পারবে। বুঝলাম, দ্বিপদী সূত্র অনেক আগেই ঠোটস্থ করে ফেলেছে কথিকা। কিন্তু এর গভীরে সে কতখানি গিয়েছে? নতুন ফন্দি আঁটলুম, \((a+b)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে ৫ম পদ বের করে দিতে বললুম তাকে। এবার তাকে বেশ চিন্তিত মনে হলো। কিন্তু যে মেয়ে গণিতে ভালোবাসা খুঁজে পেয়েছে,তাকে আটকানো কি আর আমার সাধ্যি?সে চিন্তা করলো এবং অতি দ্রুতই সমাধান দিলো, দেখে নেওয়া যাক তার সমাধানটি।

আমরা একদম সহজতম রাশি- \((a+b)^{2}\) দিয়েই একটি সূত্র বের করে ফেলতে পারি।

\((a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}\)

= \( ^2C_{0} a^{2}b^{0}+ ^2C_{1} a^{1}b^{1}+^2C_{2} a^{0}b^{2}\)

এখানে ঘাত,n=2. প্রথম পদ(1st Term) যদি বের করার কথা বলে, তাহলে r=1. উপরে আমরা দেখতে পাচ্ছি প্রথম পদ(r=2): \(^2C_{0}a^{2}b^{0}

= \( 2_{C_{1-1}} a^{2-(1-1)} b^{1-1}\)

= \( ^nC_{r-1} a^{n-(r-1)} b^{r-1}\)

আচ্ছা, দ্বিতীয় পদ দেখি(r=2) : \(^2C_{1}a^{1}b^{1}\)

= \( ^2C_{2-1}a^{2-(2-1)}b^{2-1}\)

= \( ^nC_{r- 1}a^{n-(r-1)} b^{r-1}\)

এবার আসি তৃতীয় পদে (r=3) : \(^2C_{2}a^{0}b^{2}\)

= \( ^2C_{3-1}a^{2-(3-1)}b^{3-1}\)

= \( ^nC_{r-1} a^{n-(r-1)} b^{r-1}\)

দেখো তো, সবক্ষেত্রেই একই প্যাটার্ন আসছে কিনা? আসছে এবং সেটা হচ্ছে: \(^nC_{r-1}a^{n-(r-1)}b^{r-1}\). তাহলে আমাকে যদি r-তম সাধারণ পদ বের করতে বলা হয়,তুমি কি পারবে না? অবশ্যই পারবে, তোমাকে শুধু জানতে হবে ঘাতের মান(n) ও কততম পদ(r-th)সেটা। আমরা তাহলে বলতেই পারি যে, r-তম পদ = \(^nC_{r-1}a^{n(r-1)}b^{r-1}\). একটু বিতিকিচ্ছিরি মনে হচ্ছে বৈকি! মাইনাসের জোয়াড় দেখা যাচ্ছে, তাই তো? আচ্ছা, তাহলে আমরা (r+1)-তম পদের মান বের করে দেখি তো কী হয়!

(r+1)তম পদ = \(^nC_{r+1-1} a^{n(r+1-1)} b^{r+1-1}\)

\(T_{(r+1)}\) \(= ^nC_{r} a^{n-r} b^{r}\)

তাহলে এবার কথিকাকে দেওয়া সমস্যাটি সমাধান করে ফেলা যাক। রাশিটি ছিলো \((a+b)^{10}\), যেখানে ঘাত, n=10 ও r=5 . প্রাপ্ত ফর্মুলায় বসিয়ে আমরা পাবো-

\(T_{5} = T_{(4+1)}\)

= \( ^10C_{4}a^{10-4} b^{4}\)

= \(252a^{6}b^{4}\).

আর এখানে যদি বলা হয়, মোট পদের সংখ্যা কত, সেটা কী হবে? আমরা ঘাত 2 ও 3-এর সময় দেখেছি, পদের মোটসংখ্যা ছিলো যথাক্রমে 3(2+1) টি ও 4(3+1) টি। অর্থাৎ, এখানে হবে 10 + 1 = 11 টি।


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো




এবারে তাহলে সাধারণ পদের বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যার ধরণ দেখে আসা যাক।

ধরণ-১:

\((2x^{2}- \frac{3}{x})^{11}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{10}\) এর সহগ নির্ণয় করো।

সমাধান:

\(T_{(r+1)} = 11_{C_{r}} (2x^{2})^{11-r} (- \frac{3}{x})^{r}\)

\(= 11_{C_{r}} .2^{11-r} x^{22-2r}. (-1)^{r}. 3^{r}.x^{-r}\)

\(= 11_{C_{r}} .2^{11-r}.(-1)^{r}. 3^{r}.x^{22-3r}\)

এখানে, \(x^{10}\) এর সহগ বের করতে বলা হয়েছে।

অর্থাৎ, \(22-3r = 10\)

\( r = 4\)

সুতরাং r-এর মান বসালেই আমরা \(x^{10}\) এর সহগ পেয়ে যাচ্ছি: \(11_{C_{4}} .2^{11-4}.(-1)^{4}. 3^{4}\)

\( = 11_{C_{4}} .2^{7}. 3^{4}\) (Ans.)


ধরণ-২:

\(( \frac{1}{x^{2}}- x)^{18}\)-এর বিস্তৃতিতে x-মুক্ত পদ ও পদের মান নির্ণয় করো। // \(( \frac{1}{x^{2}}\) এইটা \(x^{2}\)

সমাধান:

\(T_{(r+1)} = 18_{C_{r}} (\frac{1}{x^{2}})^{18-r} (-x)^{r}\)

\( = 18_{C_{r}} .x^{-36+2r}. (-1)^{r}. x^{-r}\)

\(= 18_{C_{r}} .(-1)^{r}.x^{3r-36}\)

X-মুক্ত পদ মানে হচ্ছে, যে পদে x থাকবে না, অর্থাৎ x-এর ঘাত শূন্য হয়ে যাবে।

সুতরাং, \(3r-36 = 0\)

\( \Rightarrow r = 12\)

অর্থাৎ, \((r+1)\)-th বা 13-th পদ x-মুক্ত।

আর এই পদের মান= \(18_{C_{3}}.(-1)^{12}.x^{3.12-36}\)

\(= 18_{C_{12}}\) (Ans.)


ধরণ-৩:

\((3+ \frac{x}{2})^{n}\} এর বিস্তৃতিতে \{x^{7}\) ও \(x^{8}\) এর সহগদ্বয় সমান হলে, n = ?

সমাধান:

একটা জিনিস খেয়াল করে দেখো, যখন পদ (r+1)-তম হয়, x-এর ঘাত হয় r। অর্থাৎ, x7 ও x8 থাকবে যথাক্রমে (7+1)=8-তম ও (8+1)=9-তম পদে।
এখন,

\(T_{(7+1)} = n_{C_{7}} .3^{n-7} .( \frac{x}{2})^{7}\)

\(= n_{C_{7}}. 3^{n-7} .2^{-7}.x^{7}\)

and \(T_{(8+1)} = n_{C_{8}}. 3^{n-8}.(x^{2})^{8}\)

\( = n_{C_{8}}. 3^{n-8} .2^{-8}.x^{8}\)

যেহেতু \(x^{7}\) ও \(x^{8}\) এর সহগ সমান,

\(n_{C_{7}}. 3^{n-7} .2^{-7} = n_{C_{8}}. 3^{n-8} .2^{-8}\)

\( \Rightarrow \frac{n!}{7! (n-7)!}= \frac{n!}{8! (n-8)!}. \frac{1}{3.2}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{7! (n-7).(n-8)!}= \frac{1}{7!. 8 (n-8)!}. \frac{1}{6}\)

\(\Rightarrow 48 = n-7\)

\(\Rightarrow n = 55\) (Ans.)


ধরণ-৪:

\((1+x)^{44}\) এর বিস্তৃতিতে 21-তম ও 22-তম পদ সমান হলে, x=?
সমাধান:

\(T_{21} = T_{(20+1)} = 44_{C_{20}} .1^{44-20} .x^{20}\)
\(= 44_{C_{20}} .x^{20}\)
and \(T_{22} = T_{(21+1)} = 44_{C_{21}}. 1^{44-21}. x^{21}\)

\( = 44_{C_{21}} .x^{21}\)
যেহেতু, 21-তম ও 22-তম পদ সমানঃ

\(44_{C_{20}} .x^{20} = 44_{C_{21}} .x^{21}\)

\(\Rightarrow \frac{44!}{20! (44-20)!}= \frac{44!}{21! (44-21)!}. x\)

\(\Rightarrow \frac{1}{20! .24!}= \frac{1}{21!. 23!}. x\)

\(\Rightarrow frac{1}{20!. 23!.24}= \frac{1}{20!.21 .23!}. x\)

\( \Rightarrow x = \frac{7}{8}\) (Ans.)


ধরণ-৫:

\((a+3x)^{n}\) এর বিস্তৃতিতে প্রথম তিনটি পদ যথাক্রমে \(b, \frac{21}{2}bx, \frac{189}{4}bx^{2}\) হলে a,b,n এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান:

\((a+3x)^{n} = a^{n} + n_{C_{1}} a^{n-1} 3x + n_{C_{2}} a^{n-2} (3x)^{2} + ……\)

এখানে, \(a^{n} = b\)……….(i)

\(n_{C_{1}} a^{n-1} 3x = \frac{21}{2}bx\)…….(ii)

\(n_{C_{2}} a^{n-2} (3x)^{2} = \frac{189}{4}bx^{2}\)…….(iii)

(ii) নং হতে,

\(n_{C_{1}} a^{n}.a^{-1}. 3x = \frac{21}{2}bx\)

\( \Rightarrow n.b. a^{-1}. 3x = \frac{21}{2}bx\) [an = b]

\(\Rightarrow n = \frac{7a}{2}\)

(iii) নং হতে,

\( n_{C_{2}} a^{n-2} (3x)^{2} = \frac{189}{4}bx^{2}\)

\( \Rightarrow \frac{n(n-1)}{2}. a^{n}.a^{-2}. 9x^{2} = \frac{189}{4}bx^{2}\)

\( \Rightarrow n^{2}-n= \frac{21}{2}a^{2}\)

\( \Rightarrow \frac{49}{4}a^{2} – \frac{7a}{2}= \frac{21}{2}a^{2}\)

\( \Rightarrow a = 2\)

\( \Rightarrow n = 7\) [\(n = \frac{7a}{2}\)]

\(b = 2^{7}\) (Ans.)


ধরণ-৬:

\((1-x)^{8}(1+x)^{7}\) এর বিস্তৃতিতে \(x^{7}\) এর সহগ কত?

সমাধান:

\((1-x)^{8}(1+x)^{7}\)

\( \Rightarrow (1-x).(1-x)^{7}{(1+x)^{7}}\)

\((1-x).(1-x^{2})^{7}\)

\((1-x^{2})^{7} – x(1-x^{2})^{7}\)

এখন, আমরা প্রথম রাশিটি \(\left\{(1-x^{2})^{7}\right\}\) বিস্তৃত করে দেখি।

\((1-x^{2})^{7} = 1^{7}+ 7_{C_{1}} .(-x^{2})^{1} + 7_{C_{2}} .(-x^{2})^{2} + 7_{C_{3}} .(-x^{2})^{3} +\)……. এখানে x এর ঘাত আসছে 2, 4, 6, 8,….এরকম জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ \(x^{7}\) কখনোই আসবে না। তাই এই অংশটুকু নিয়ে ভাবা আমরা বাদ দিতে পারি। দ্বিতীয় অংশ নিয়ে ভাবা যাক এখন।

এখানে, \((1-x^{2})^{7}\) বিস্তৃত করলে আগের মতোই \(1^{7}+ 7_{C_{1}} .(-x^{2})^{1} + 7_{C_{2}} .(-x^{2})^{2} + 7_{C_{3}} .(-x^{2})^{3} +\)……. এরকম আসবে, কিন্তু বাইরের x-এর সাথে তাদের গুণ করলে বিজোড় আসবে না? অর্থাৎ সেটা আসবে এরকম:

\(x(1-x^{2})^{7} = -x\left\{1^{7}+ 7_{C_{1}} .(-x^{2})^{1} + 7_{C_{2}} .(-x^{2})^{2} + 7_{C_{3}} .(-x^{2})^{3} +…….\right\}\)

\(= -x + 7_{C_{1}} .(x^{3}) + 7_{C_{2}} .(-x^{5}) + 7_{C_{3}} .(x^{7}) +\)…….এখানেই আমরা \(x^{7}\) এর সহগ দেখতে পাচ্ছি, যেটা কিনা \(7_{C_{3}}\)(Ans.)

তবে, বড় ঘাতের ক্ষেত্রে এভাবে সম্ভব হতো না, সেক্ষেত্রে আমরা আবার আগের সাধারণ পদের সূত্র দিয়েও করতে পারতাম:

\(T_{r+1} = 7_{C_{r}} .(-x^{2})r\)

\(= 7_{C_{r}} .(-1)^{r}.(x^{2r})\)

x-এর ঘাত যখন 6 আসে, তখন তার সাথে x গুণ দিলে \(x^{7}\) আসবে, তাই: \(2r = 6\)

\( \Rightarrow r = 3\)

সুতরাং সহগ \(= – 7_{C_{3}} .(-1)^{3} = 7_{C_{3}}\) (Ans.)



সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


দেখে নেওয়া যাক বিস্তৃতির মধ্যপদ কী। কথিকাকে এবার বললাম, “ অনেক জ্ঞান তো দেওয়া হলো সাধারণ পদের, এবার বিস্তৃতির একেবারে মধ্যে অবস্থানরত পদটা বের করে দিতে পারবে কি?” অবাক কান্ড! সে নাকি আবারো \((a+b)^{2}\) ও \((a+b)^{3}\) এর সূত্র থেকেই বের করে দিতে পারবে। আচ্ছা, সেটাও না হয় দেখে আসি আমরা।

\((a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}\)

\((a+b)^{3} = a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

\((a+b)^{4} = a^{4} +4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{2}+b^{4}\)

এখানে দেখাই যাচ্ছে যে, জোড় সংখ্যক ঘাতের(2,4) রাশির জন্য আমরা পাচ্ছি 1টিমাত্র মধ্যপদ, কিন্তু বিজোড়ের(3) ক্ষেত্রে 2টি। আমরা আগে বের করে ফেলি, কত-তম পদটি মধ্যপদ। উপরে ঘাত 2-এর জন্য 2-তম এবং ঘাত 4-এর জন্য 3-তম পদকে মধ্যপদ হিসেবে দেখা যাচ্ছে, তাই না?

অর্থাৎ, \(2=( \frac{2}{2}+1)\) & \(3=( \frac{4}{2}+1)\)। সুতরাং, জোড় সংখ্যক,n ঘাতের ক্ষেত্রে \(( \frac{n}{2}+1)\)-তম পদটিই মধ্যপদ।

এবার কিউবের সূত্রে তাকাই, এখানে মধ্য পদ দুটো 2-তম এবং 3-তম।

অর্থাৎ, \(2=( \frac{3+1}{2}-1)\) ও \(3=( \frac{3+1}{2}+1)\)। সুতরাং, জোড় সংখ্যক, n ঘাতের ক্ষেত্রে \((\frac{n+1}{2}1)\)-তম পদদুটোই মধ্যপদ। আর পদের ক্রম জেনে গেলেই তো আমরা সাধারণ পদের সূত্র ব্যবহার করে পদটিও বের করে ফেলতে পারবো, তাই না?



এবার চলো, মধ্যপদ বিষয়ক সমস্যার সমাধান করা যাক।

ধরণ-৭:

\((x^{2}-2+ \frac{1}{x^{2}})^{n}\) এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদটি নির্ণয় কর।

সমাধান:

\((x^{2}-2+ \frac{1}{x^{2}})^{n}\)

\(= (x^{2}-2.x. \frac{1}{x}+ \frac{1}{x^{2}})^{n}\)

\(= \left\{(x- \frac{1}{x})^{2}\right\}^{n}\)

\(= (x- \frac{1}{x})^{2n}\)

2n থেকে সবসময়ই জোড় সংখ্যা আসবে। তাই এখানে \(( \frac{2n}{2}+1)=(n+1)\) – তম পদটি মধ্যপদ।

এখন,
\(T_{n+1} = 2n_{C_{n}} . x^{2n-n}.(- \frac{1}{x})^{n}\)

\(= 2n_{C_{n}} . x^{n}. (-1)^{n}.( \frac{1}{x})^{n}\)

\(= 2n_{C_{n}} . (-1)^{n}\)

\(= \frac{(2n)!}{n! (2n-n)!}.(-1)^{n}\)

\(= \frac{(2n)!}{(n!)2}.(-1)n\) // \( \frac{1}{(n!)2}\) এইটা \((n!)^{2}\)


ধরণ-৮:

\(( \frac{x}{y}+ \frac{y}{x})^{21}\) এর বিস্তৃতির মধ্যপদ নির্ণয় কর।

সমাধান:

এখানে, ঘাতটা তো বিজোড়, অর্থাৎ 2টি মধ্যপদ আসবে।

প্রথম মধ্যপদ = \(( \frac{21-1}{2}+1)\) তম = \((10+1)\) তম

\(T_{10+1} = 21_{C_{10}} . ( \frac{x}{y})^{21-10}.( \frac{y}{x})^{10}\)

\(= 21_{C_{10}} . ( \frac{x}{y})^{11}.( \frac{y}{x})^{10}\)

\(= 21_{C_{10}} . \frac{x}{y}\)

দ্বিতীয় মধ্যপদ = \(( \frac{21+1}{2}+1)\) তম = \((11+1)\) তম

\(T_{10+1} = 21_{C_{11}} . ( \frac{x}{y})^{21-11}.( \frac{y}{x})^{11}\)

\(= 21_{C_{11}} . ( \frac{x}{y})^{10}.( \frac{y}{x})^{11}\)

\(= 21_{C_{11}} . \frac{y}{x}\) (Ans.)



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা বিস্তৃতির সাধারণ পদ ও মধ্যপদ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।