Uncategorized

বীট

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

রহিম এবং করিম দুই গিটার বাদক বন্ধু। তারা একদিন একসাথে তাদের নিজ নিজ গিটার নিয়ে বসলো বাজাবে বলে। রহিম কোন নির্দিষ্ট তালে কর্ড ধরে ধরে বাজাবে এবং করিম সেই তালে একই স্বরে সলো বাজাবে। তো বাজান শুরু করতেই তারা বুঝল যে কার একজনের গিটার ঠিক টিউনে নেই। রহিম জানাল তার গিটার স্ট্যান্ডার্ড টিউনে আহে, তাই করিমেরটা টিউনিং করতে হবে। রহিম নিজের গিটারের এক নম্বর তার বাজিয়ে করিমকে করিমের এক নম্বর তার বাজাতে বলল। দুই তারের শব্দের মাঝে পার্থক্য যখন থাকবে না, তখন বুঝা যাবে তারা একই সুরে বা একই কম্পাংকে আছে। তখনি দুই তার একই টিউনে থাকবে। এভাবে প্রতিটি তার টিউন করা যায়। তো এই শব্দের পার্থক্যটিই হল বীট। রহিমের এবং করিমের উভয়ের শব্দ করা তারের মধ্যে কম্পাঙ্কের যত বেশি পার্থক্য থাকবে, তত বেশি বীট শুনা যাবে। প্রথমে করিম গিটার টিউনিং এর চাবিটি একদিকে ঘুরাতে থাকলে বীটের হার বাড়তে থাকল। সে তখন বুঝে গেল যে কম্পাঙ্কের পার্থক্য বেশি হচ্ছে, তাই গিটার টিউনিং এর চাবিটি বিপরীত দিকে ঘুরাতে হবে। এর পর বিপরীত দিকে ঘুরাতে থাকলে বীটের হার কমতে থাকল। যেই মাত্র আর কোন বীট শুনা গেল না, ওমনি সে বুঝে গেল যে তার স্ট্রিংটি রহিমের স্ট্রিং এর সমান টিউনে আছে। এভাবে পরবর্তী স্ট্রিং আবার টিউন করা শুরু করে দিল।
তাহলে তোমরা বুঝতে পেরেছ তো বীট কী?

 

বীট উৎপন্নের শর্ত

মোবাইলে ডানে বামে Swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি! পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্যও স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


নিচের অডিও ট্র্যাকটি শুনে ফেলো। শুনবে যে এখানে দুইটি ভিন্ন সুরশলাকাতে আঘাত করে শব্দ তৈরি করা হয়। প্রথমে আলাদা আলাদা করে 250 Hz এবং 238 Hz কম্পাঙ্কের সুরশলাকা দুইটির শব্দ শুনা হয়। অতঃপর দুইটিকে প্রায় একই সময়ে আঘাত করে শব্দ তরঙ্গ দুইটিকে উপরিপাতিত করে মিলিত শব্দ শুনা হয়।

যেহেতু কম্পাঙ্ক দুইটি কাছাকাছি, সুতরাং এরা উপরিপাতিত হলে আমরা বীট শুনতে পাই। 250 – 238 = 12 টি বীট আমরা প্রতি সেকেন্ডে শুনতে পাই।

বীট গঠন
Figure 1

বীটের গাণিতিক রাশিমালা (Mathematical Expression of Beat)

 
ধরি, সমান বিস্তার a এবং কম্পাঙ্কের সামান্য পার্থক্যবিশিষ্ট দুটি শব্দতরঙ্গ একইদিকে অগ্রসর হচ্ছে। t সময় পরে কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে তরঙ্গদ্বয়ের সরণ যথাক্রমে Y₁ ও Y₂ হলে,
\(Y_{1}=a \cdot sin (2\pi f_{1}t) \)
এবং
\(Y_{2}=a \cdot sin (2\pi f_{2}t) \)
এখানে, f₁ ও f₂ যথাক্রমে তরঙ্গদ্বয়ের কম্পাঙ্ক। ধরা যাক, f₁ > f₂.
এখন,
তরঙ্গদ্বয়ের উপরিপাতনের ফলে সৃষ্ট লব্ধি তরঙ্গের সরণ Y হলে আমরা লিখতে পারি,
\(Y=Y_{1}+Y_{2}=a sin (2\pi f_{1}t) + a sin (2\pi f_{2}t) \)
\(Y=2a\cdot sin [2 \pi (\frac{f_{1}+f_{2}}{2})t] \cdot cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t] \)
\(Y= 2a\cdot cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t] \cdot sin [2 \pi (\frac{f_{1}+f_{2}}{2})t] \)
\[\therefore A= 2a\cdot cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t]
\]
কম্পাংক f হলে, \[f=\frac{f_{1}+f_{2}}{2}\]

লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার সর্বাধিক হবে যখন
\(cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t]=\pm1\) হবে।
অর্থাৎ, \(cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t]= cos0, cos\pi,cos 2\pi,… cos n\pi\) হবে।
বা, \(2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t=0,\pi,2\pi,…n\pi\) হবে।
∴\[t=0,\frac{1}{f_{1}-f_{2}},\frac{2}{f_{1}-f_{2}},… \frac{n}{f_{1}-f_{2}}\] হবে।
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \(t=0,\frac{1}{f_{1}-f_{2}},\frac{2}{f_{1}-f_{2}}\) ইত্যাদি সময়ে উপরিপাতিত শব্দ তরঙ্গটির বিস্তার সর্বাধিক, অর্থাৎ বিস্তার = 2a.
এসময়ে প্রবল শব্দ শুনা যাবে।
অতএব, পরপর দুটি প্রবল শব্দ শুনার মধ্যবর্তী সময় = \(\frac{1}{f_{1}-f_{2}}\)s ।
আবার,
লব্ধি তরঙ্গের বিস্তার সর্বনিম্ন হবে যখন \(cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t]=0\) হবে।
\(cos[2 \pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t]=cos \frac{\pi}{2},cos \frac{3\pi}{2},cos \frac{5\pi}{2},…cos \frac{(2n+1)\pi}{2}\) হবে। [m = 0,1,2 ইত্যাদি]
বা, \( 2\pi (\frac{f_{1}-f_{2}}{2})t=\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2},… \frac{(2n+1)\pi}{2}\) হবে।
\[\therefore t=\frac{1}{2(f_{1}-f_{2})},\frac{3}{2(f_{1}-f_{2})},…\cdot…\frac{2n+1}{2(f_{1}-f_{2})}\]

তাহলে দেখা যাচ্ছে যে \(t=\frac{1}{2(f_{1}-f_{2})},\frac{3}{2(f_{1}-f_{2})}\) ইত্যাদি সময়ে উপরিপাতিত শব্দ তরঙ্গটির বিস্তার সর্বনিম্ন, অর্থাৎ বিস্তার = 0.
এসময়ে কোন শব্দ শুনা যাবে না।
অতএব, পরপর দুটি নিঃশব্দ এর মধ্যবর্তী সময় = \(\frac{3}{2(f_{1}-f_{2})}-\frac{1}{2(f_{1}-f_{2})}=\frac{1}{f_{1}-f_{2}}\)s ।
এর থেকে আমরা বুঝতে পারলাম যে পরপর দুটি প্রবল শব্দ এবং নিঃশব্দ উভয়ক্ষেত্রেই সময়ের পার্থক্য \(\frac{1}{f_{1}-f_{2}}\)s ।
এখন, \(\frac{1}{f_{1}-f_{2}}\) সেকেন্ড এ বীট সংখ্যা ১ টি হলে, একক সময়ে বীট সংখ্যা হয় = \(\frac{1}{\frac{1}{f_{1}-f_{2}}}\) টি।
বা, (f₁ – f₂) টি, যেখানে f₁ > f₂.
তাই বলা চলে, প্রতি সেকেন্ডে সৃষ্ট বীট সংখ্যা উৎসদ্বয়ের কম্পাঙ্কের পার্থক্যের সমান। প্রতি সেকেন্ডে সৃষ্ট বীটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
\[\therefore N=f_{1}\sim f_{2}\]

বিশেষ দ্রষ্টব্য: যদি উৎসদ্বয়ের বিস্তার সমান না হয়, তাহলে একদম নিঃশব্দের পরিবর্তে সেসময় মৃদু শব্দ শুনা যাবে। কারণ, তখন বিস্তারদ্বয়ের বিয়োগফল শূন্য থাকে না।


 

গাণিতিক সমস্যাবলী:

ড্রপডাউনগুলোতে ক্লিক করে দেখে নাও গাণিতিক উদাহরণগুলি:

প্রশ্ন: দুইটি সুরশলাকা 1 ও 2 একই সময় শব্দায়িত হওয়ায় প্রতি সেকেন্ডে 5টি বীট উৎপন্ন হয়। কিন্তু 1 নং শলাকাতে খানিকটা ভর যুক্ত করলে বীটের সংখ্যা কমে যায়। 2 নং শলাকার কম্পাঙ্ক 256Hz হলে 1 নং এর কম্পাঙ্ক বের করো।
সমাধান:
আমরা জানি, N = |f₁ – f₂|
⇒ f₁ = f₂ ± N
∴ f₁ = 256 ± 5 = 261Hz অথবা 251Hz.
Beat related maths


কিন্তু দেখা গেল, ভর বাড়ালে বীট কমে যায়। অর্থাৎ দুইটি শলাকার কম্পাংকের পার্থক্য কমে যায়। ভর সংযুক্তের পর 1 নং এর কম্পাঙ্ক হ্রাস পাবে। চিত্র অনুযায়ী দেখা যাচ্ছে যে, 1 নং শলাকার কম্পাঙ্ক 2 নং এর চাইতে কম হলে ভর সংযুক্তের পর 1 নং এর কম্পাঙ্ক আরও কমে গিয়ে বীটের সংখ্যা বৃদ্ধি করবে। কিন্তু বাস্তবে বীটের সংখ্যা কমে যায়। 1 নং শলাকার কম্পাঙ্ক 2 নং এর চাইতে বেশি হলে ভর সংযুক্তের পর 1 নং এর কম্পাঙ্ক কমে গিয়ে বীটের সংখ্যা হ্রাস করবে। তাই, f₁ = 261Hz হবে।

প্রশ্ন: একটি সুর 512Hz কম্পাঙ্কে কম্পিত হওয়া একটি গিটারের তারের সাথে প্রতি সেকেন্ডে 4টি বীট এবং 514Hz কম্পাঙ্কের একটি বেহালার তারের প্রতি সেকেন্ডে 6টি বীট উৎপন্ন করে। সুরটির কম্পাঙ্ক নির্ণয় করো।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক, f₁= 512 Hz
বীটের হার, N = 4 Hz
২য় ক্ষেত্রে কম্পাঙ্ক, f₂ = 514 Hz
বীটের হার, N’ = 6 Hz
সুরটির কম্পাঙ্ক, f = ?

Math 2


আমরা জানি, f = f₁ ± N
= (512 ± 4) Hz
= 508 Hz বা 516 Hz.
কিন্তু প্রশ্নে দেখা যাচ্ছে যে কম্পাঙ্ক বাড়লে বীটের হার বাড়ে। অর্থাৎ, কম্পাঙ্কের পার্থক্য বাড়ে। চিত্রের সাথে মিলিয়ে আমরা দেখতে পাই, অজানা সুরের কম্পাঙ্ক জানা সুরের কম্পাঙ্কের চাইতে কম ছিল।
∴ f = 508 Hz [Ans]

এবার নিচের প্রশ্নগুলির উত্তর দিয়ে নিজেকে যাচাই করে নাও:


আশা করি তোমরা সবাই বীট সম্পর্কিত থিওরি বুঝে গিয়েছ। এবার থেকে সকল গাণিতিক সমস্যার নির্বিঘ্নে সমাধান করতে পারবে।

Never Stop Learning