ম্যাট্রিক্স পরিচিতি

‘ম্যাট্রিক্স’ শব্দটি শুনলেই প্রথমে লানা এবং লিলি ওয়াছাওস্কির (Lana and Lilly Wachowski) সেই বিখ্যাত ছবি The Matrix (1999) এর কথাটি মাথায় আসে,তাই না? আচ্ছা,তোমাদের মনে কি কখনো প্রশ্ন জেগেছে, যে ছবির এই ম্যাট্রিক্স আর Mathematics এর ম্যাট্রিক্স এই দুইয়ের মধ্যে পার্থক্য বা মিলটা কোথায়?জাগলে ভালো,না জাগলেও দোষের কিছু নেই।মুভিটিতে যেসব একশন দেখানো হয়েছে তার প্রায় বেশিরভাগই কিন্তু আসলে Mathematics এর ম্যাট্রিক্সের জ্ঞানকে কাজে লাগিয়ে করা হয়েছে।ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে কম্পিউটার গ্রাফিক্সের 3D ছবিকে 2D পর্দায় উপস্থাপন করা হয়েছে। কি? বিশ্বাস হচ্ছে না?! তাহলে দেখে নাও The Matrix মুভিটি তৈরির এই ভিডিওটি!

এনিম্যাশন ছাড়াও বিজ্ঞানের প্রায় সকল শাখাতেই ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা হয়।পদার্থবিজ্ঞানের প্রতিটি শাখা যেমন : কোয়ান্টাম বলবিদ্যা,চিরায়ত বলবিদ্যা,আলোকবিদ্যা, তড়িত চুম্বকবিদ্যায় বস্তুর বিভিন্ন ভৌত ঘটনা বর্ণনায় ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা হয়।
আমরা আজকে অতো গভীরে না যাই।ভিত্তি ঠিক না থাকলে তো গভীরে যেয়ে লাভ নেই,তাই না?
তাহলে আসো প্রথমেই আমরা ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত প্রাথমিক জ্ঞানসমূহ জেনে নেই।


ম্যাট্রিক্স (Matrices)


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

ম্যাট্রিক্স হচ্ছে সংখ্যার বা বীজগাণিতীয় রাশির আয়তাকার সাজানো ব্যবস্থা। 1850 সালে James Joseph Sylvester ম্যাট্রিক্স (Matrix) শব্দটির প্রচলন করেন যা ল্যাটিন শব্দ ‘mater’ (mother) থেকে নেওয়া হয়েছে।

ম্যাট্রিক্স প্রকাশ করতে সাধারণত তৃতীয় বন্ধনী [ ] বা প্রথম বন্ধনী ( ) অথবা II II প্রতীক ব্যবহার করা হয়।
যেমন:

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

ধরো,

A একটি ম্যাট্রিক্স।
এই ম্যাট্রিক্সটিতে 3 টি সারি এবং 3 টি কলাম রয়েছে।
এখন,তোমাকে যদি জিজ্ঞাসা করা হয় যে A ম্যাট্রিক্সটির ক্রম বা আকার (order) কতো?!
এক্ষেত্রে A ম্যাট্রিক্সটির order হবে 3 X 3 (থ্রি বাই থ্রি)
অর্থাৎ প্রথমে হবে সারি সংখ্যা এবং পরে কলাম সংখ্যা।
অনুরূপভাবে,

\(B=\begin{bmatrix}1 & 3 &5 \\2 & 4 &6 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটির আকার 2 X 3 কারণ এতে 2 টি সারি এবং 3 টি কলাম রয়েছে।

সাধারণভাবে ম্যাট্রিক্সকে \([a_{ij}]\) দ্বারা সূচিত করা হয়,যেখানে i = 1,2,….m সারি সংখ্যা এবং j = 1,2,….n কলাম সংখ্যা।
অর্থাৎ \(A = [a_{ij}]mxn =\)


বিভিন্ন প্রকারের ম্যাট্রিক্স


সারি ম্যাট্রিক্স ( Row Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের কেবলমাত্র একটি সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন :
[ 2 3 4 5 ] এখানে 1 টি মাত্র সারি রয়েছে কিন্তু 4 টি কলাম রয়েছে।এক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সটির order হবে 1X4 ।যেহেতু এখানে কেবলমাত্র একটি সারি রয়েছে তাই একে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।


কলাম ম্যাট্রিক্স ( Column Matrix):

যে ম্যাট্রিক্সের কেবলমাত্র একটি কলাম থাকে তাকে কলাম ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন: [a b c ] এই ম্যাট্রিক্সটিতে 3 টি সারি রয়েছে এবং একটি কলাম রয়েছে।তাই এটি একটি কলাম ম্যাট্রিক্স যার আকার হচ্ছে 3X1।


বর্গ ম্যাট্রিক্স (Square Matrix)

যে ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা ও কলাম সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন:

\(\begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \end{bmatrix}\) ,\(\begin{bmatrix}a & b &c \\d &e &f\\b & c &d \end{bmatrix}\) এরা প্রত্যেকেই বর্গ ম্যাট্রিক্স, কেননা উভয়ক্ষেত্রে row সংখ্যা এবং column সংখ্যা পরস্পর সমান।

বর্গ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে row সংখ্যা এবং column সংখ্যা পরস্পর সমান হওয়ার কারণে এদের order বা আকার n x n কে সংক্ষেপে n ও লেখা যায়।উপরের ম্যাট্রিক্সগুলির ক্ষেত্রে এদের আকার 2X2, 3X3 কে যথাক্রমে 2, 3 আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স বলা যায়।


কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix):

যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের[2] (অর্থাৎ \(a_{ij} , i= j\) ) ভুক্তিগুলি ব্যতীত অন্যসব ভুক্তি শূন্য তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন:


ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স(Upper Triangular Matrix):

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের নিচের (অর্থাৎ \(a_{ij} , i > j\) ) ভুক্তিগুলি শূন্য হলে তাকে ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন:


নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স(Lower Triangular Matrix):

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের উপরের (অর্থাৎ \(a_{ij} , i < j\) ) ভুক্তিগুলি শূন্য হলে তাকে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন :


স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix):

যে কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশূন্য ভুক্তিগুলি সমান তাকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলে। যেমন :


অভেদক ম্যাট্রিক্স ( Identity or Unit Matrix ):

কর্ণ ম্যাট্রিক্সের কর্ণস্থিত সকল ভুক্তি 1 হলে তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে।একে মূলত I (Capital i) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
যেমন:

\(I_{2} = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 &1 \end{bmatrix}\)

\(I_{3} =\begin{bmatrix}1 & 0 &0 \\0 & 1 &0 \\ 0 &0&1 \end{bmatrix}\)


শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrix):

যে ম্যাট্রিক্সের সকল ভুক্তি শূন্য তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে।
যেমন:

\(\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}\) ,\(\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 &0 &0 \end{bmatrix}\)
প্রত্যেকটিই শূন্য ম্যাট্রিক্স।

m x n আকারের শূন্য ম্যাট্রিক্সকে \(0_{m,n}\) দ্বারা সূচিত করা হয়।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


ম্যাট্রিক্সের সমতা (Equality of Matrices)

দুইটি ম্যাট্রিক্সকে তুমি তখনই সমান বলতে পারবে যখন তাদের আকার (order) একই হবে এবং সংশ্লিষ্ট ভুক্তিগুলি হুবহু মিলে যাবে।
যেমন:

\(A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3&4 \end{bmatrix}\), \(B =\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3&4 \end{bmatrix}\) দুইটি সমান ম্যাট্রিক্স।


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো

\(C =\begin{bmatrix}x & y \\ z&t \end{bmatrix}\) এবং \(D = \begin{bmatrix}x & y \\ z&4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্স দুইটি সমান হবে কি?


ম্যাট্রিক্সের যোগ ও বিয়োগ (Addition and Subtraction of Matrices)


দুইটি ম্যাট্রিক্সের আকার (order) একই হলে তাদের মধ্যে যোগ বিয়োগ করতে পারা যায়।যোগফল বা বিয়োগফল হচ্ছে সংশ্লিষ্ট ভুক্তিগুলির যোগফল বা বিয়োগফল।
যেমন:

\(A =\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 3&4 \end{bmatrix}\) , \(B =\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 3&5 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্স দুইটি একই আকারের।

সুতরাং \(A+B = \begin{bmatrix}5+0 & 6+2 \\ 3+3 &4+5 \end{bmatrix}\)

\( = \begin{bmatrix}5 & 8 \\ 6 &9 \end{bmatrix}\)


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণন (Scalar Multiple of Matrices)

K যেকোনো একটি ধ্রূবক সংখ্যা হলে KA বলতে এমন একটি ম্যাট্রিক্স বুঝায় যা A ম্যাট্রিক্সটির সকল ভুক্তির K গুণ।
যেমন :

\(A =\begin{bmatrix}2 & 1 & -4 \\0 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) হলে , \(KA = \begin{bmatrix}2k & 1k & -4k \\0 & 3k & 5k \end{bmatrix}\)


\(A =\begin{bmatrix}5 & 2 & -6 \\0 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) হলে 9B = কতো হবে?

\(A =\begin{bmatrix}8 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\5 & 4 & 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B =\begin{bmatrix}-4 & 6 & -2 \\ 1 & 3 & 7 \\5 & 4 & 1 \end{bmatrix}\) হলে 3A+7B নির্ণয় কর।


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা ম্যাট্রিক্স পরিচিতি সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।