Uncategorized

ম্যাথ (৮.১)

বিল্টুর কলেজে কাল গণিত দ্বিতীয় পত্রের অধ্যায় ৮.১ এর উপর কুইজ পরীক্ষা। কিন্তু ৮.১ এর সে কিছুই পারেনা। সে তাড়াতাড়ি করে টেন মিনিট স্কুলের ওয়েবসাইটে ঢুকে অধ্যায় ৮.১ এর তত্ত্বীয় অংশের উপর বানানো স্মার্টবুক পড়ে বলের সামন্তরিক সূত্র, বলের সাইন সূত্র, লম্বাংশের উপপাদ্য সম্পর্কে ধারণা লাভ করলো। সময় বেশী না থাকায় সে অঙ্ক করে যেতে পারলো না। পরীক্ষার হলে সে প্রশ্ন দেখে উত্তর করা শুরু করলো। কিন্ত আশ্চর্যের বিষয় সে একটি অঙ্কও সমাধান করতে পারলো না। কারণ কোথায় কোন সূত্র প্রয়োগ করতে সে বিষয়ে তার কোন জ্ঞান নেই।
অঙ্ক হাতে না করে শুধু সূত্র মূখস্থ করে যেকউই বিল্টুর মতো দূরাবস্থায় পরবে। তোমরা যেন অধ্যায়-৮.১ নিয়ে কোনরকম সমস্যার না সম্মুখীন হও তাই তোমাদের জন্য রয়েছে অধ্যায়-৮.১ গাণিতিক সমস্যার উপর এই স্মার্টবুকটি।
চলো কথা না বাড়িয়ে এবার শুরু করা যাক।

অংক শুরু করার আগে চলো সূত্রগুলোতে আগে চোখ বুলিয়ে নেওয়া যাক। কার্ডগুলোর উল্টো পৃষ্ঠায় তোমাদের সুবিধার্থে একটি করে সূত্র সংশ্লিষ্ট উদহারণ দেখানো হয়েছে।


প্রয়োজনীয় সূত্রসমূহ


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সামন্তরিক সূত্র ব্যবহার সংক্রান্ত


ধরণ – ১

সমস্যা: পরস্পর কোণে ক্রিয়ারত P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধির মান \(\sqrt{3Q}\) এবং এটি P বলের ক্রিয়ারেখার সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। দেখাও যে, P = Q অথবা P = 2Q।

সমাধান:
মনে করি, OA, OB ও OC রেখা বরাবর P ও Q বল এবং এদের লব্ধি \(\sqrt{3Q}\) বল ক্রিয়া করে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে, ∠AOB= ; ∠AOC= 30°; ∠BOC= -30°;
এখানে আমরা বলের সাইন রুল প্রয়োগ করে আমরা পাই,
\(\frac{P}{sinBOC}= \frac{Q}{sin\ COA}= \frac{\sqrt{3Q}}{sin\ AOB}\)

বা, \(\frac{P}{sin(-30°)}= \frac{Q}{sin30°}=\frac{\sqrt{3Q}}{sin \alpha}\) … (i)

এখন (i) হতে আমরা পাই,
\(\frac{Q}{sin30°}=\frac{√3Q}{sin\ \alpha}\)

বা, \(sin \alpha= \sqrt{3} sin\ 30°\)

বা, \(sin\ \alpha= \frac{√3}{2}\)

বা,\(\alpha = sin^{-1}(\frac{√3}{2})\)

বা, \(\alpha= 60°\) অথবা \(120°\)

আবার (i) নং হতে লেখা যায়,

\(\frac{P}{sin(-30°)}= \frac{Q}{sin30°}\) … (ii)

\( \alpha = 60°\) হলে (ii) নং হতে লেখা যায়,

\( \frac{P}{sin(60°-30°)}= \frac{Q}{sin30°}\)

বা, \(\frac{P}{sin30°}= \frac{Q}{sin30°}\)

বা, \(P = Q\)

আবার, \(\alpha= 120°\) হলে (ii) নং হতে লেখা যায়,

\(\frac{P}{sin(120°-30°)}= \frac{Q}{sin30°}\)

বা, \(\frac{P}{sin90°}= \frac{Q}{sin30°}\)

বা, \(\frac{P}{sin30°} = Q\)

বা, \(\frac{P}{2}= Q\)

বা, P = 2Q

অতএব, P = Q অথবা P = 2Q (দেখানো হলো)


ধরণ – ২

সমস্যা: পরস্পর α কোণে আনত এবং OA ও OB রেখা বরাবর ক্রিয়ারত P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি R যা OA রেখার সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে। একই রেখা বরাবর Q এর সাথে Q’ ক্রিয়া করলে লব্ধি R যা OA রেখার \(\theta\)’ কোণ উৎপন্ন করে। এটি P বলের ক্রিয়ারেখার সাথে 30° কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ করো যে, \(\frac{R}{R’}= \frac{sin(α- \theta ‘)}{sin(α- \theta ‘)}\)।

সমাধান:
মনে করি, OA, OB ও OC রেখা বরাবর P ও Q বল এবং এদের লব্ধি R বল ক্রিয়া করে। লব্ধি OA রেখার \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে, \(∠AOB= \alpha ; ∠AOC= \theta ; ∠BOC= \alpha – \theta ;\)
এখানে আমরা বলের সাইন রুল প্রয়োগ করে আমরা পাই,

\(\frac{P}{sinBOC}= \frac{Q}{sinCOA}= \frac{R}{sinAOB}\)

বা, \(\frac{P}{sin(α- \theta)}= \frac{Q}{sin \theta}=\frac{R}{sin\ \alpha}\)

১ম ও তৃতীয় অনুপাত নিয়ে পাই,

\(\frac{P}{sin(α-\theta)}= \frac{R}{sin\ α}\)… (i)

আবার ধরি, OA, OB ও OC রেখা বরাবর P ও Q’ বল এবং এদের লব্ধি R’ বল ক্রিয়া করে। লব্ধি OA রেখার \(\theta\)’কোণ উৎপন্ন করে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে, \(∠AOB= α; ∠AOC= \theta ‘; ∠BOC= α- \theta ‘;\)

এখানে আমরা বলের সাইন রুল প্রয়োগ করে আমরা পাই,

\( \frac{P}{sinBOC}= \frac{Q’}{sinCOA}= \frac{R’}{sinAOB}\)

বা, \(\frac{P}{sin(α- \theta ‘)}= \frac{Q’}{sin \theta ‘}=\frac{R’}{sin α}\)

১ম ও তৃতীয় অনুপাত নিয়ে পাই,

\( \frac{P}{sin(α- \theta ‘)}= \frac{R’}{sinα}\) … (ii)

(i) কে (ii) দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(\frac{R}{R’}= \frac{sin(α- \theta ‘)}{sin(α-\theta )}\) (প্রমাণিত)


ধরণ – ৩

সমস্যা: কোন বিন্দুতে 2α কোণে ক্রিয়ারত P + Q ও P -Q মানের বল দুইটির লব্ধি এদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে α কোণ উৎপন্ন করে। মান যথাক্রমে S এবং T। দেখাও যে, \(P\ tan \theta= Q\ tan\ α\)

সমাধান:

মনে করি, OA, OB ও OC রেখা বরাবর P + Q ও মানের দুইটি বল এবং এদের লব্ধি R বল ক্রিয়া করে। লব্ধি R ∠AOBকোণের সমদ্বিখন্ডক OD রেখার \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে, \(∠AOD= ∠BOD= \alpha ; ∠COD= \theta; ∠AOC= \alpha – \theta; ∠BOC= \alpha + \theta\)
এখানে আমরা বলের সাইন রুল প্রয়োগ করে আমরা পাই,

\(\frac{P + Q}{sinBOC}= \frac{P – Q}{sinCOA}= \frac{R}{sinAOB}\)

বা, \(\frac{P + Q}{sin(\alpha+ \theta)}= \frac{P – Q}{sin(\alpha-\theta)}=\frac{R}{sin2α}\)

১ম ও ২য় অনুপাত নিয়ে পাই,

\(\frac{ P + Q}{sin(\alpha + \theta)}= \frac{P – Q}{sin(\alpha – \theta)}\)

বা, \(\frac{P + Q}{P – Q}= \frac{sin(α+\theta)}{sin(α-\theta)}\)

বা, \(\frac{P + Q + P – Q}{P + Q – P + Q}= \frac{sin(α+\theta) + sin(α-\theta)}{sin(α+\theta) – sin(α-\theta)}\)

বা, \(\frac{2P}{2Q}= \frac{2sin\ cos \theta}{2cos\ sin \theta}\)

বা, \(\frac{P}{Q}= \frac{tan}{cot}\)

বা, \(P\ tan \theta= Q\ tan\ \alpha\)(প্রমাণিত)


লম্বাংশের উপপাদ্যের ব্যবহার সংক্রান্ত


ধরণ – ১

সমস্যা: দুইটি বলের লব্ধি 12N। লব্ধিটি ক্ষুদ্রতর বলের ক্রিয়ারেখার সাথে 90° কোণ উৎপন্ন করে। এদের বৃহত্তম লব্ধির মান 18N হলে বল দুইটির মান নির্ণয় কর।

সমাধান:

মনে করি, বল দুইটি P ও Q বল এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ α।

দেয়া আছে, বল দুইটির বৃহত্তম লব্ধি 12N।

তাহলে, P + Q = 18

আবার লব্ধি R ও P বলের মধ্যবর্তী কোণ 90°।

P বল বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P×cos0°= P\)

P বল বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= P × cos90°= 0\)

P বল বরাবর Q বলের লম্বাংশ \(= Q × cos\ α= Q\ cos\ α\)

তাহলের লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(P + Q\ cos\ \alpha= 0\)

বা, \(Q\ cos\ \alpha= -P \)… (i)

বলের সামন্তরিক সূত্র হতে পাই,

\(R^{2}= P^{2} + 2PQcosα + Q^{2}\)

বা, \((12)^{2}= P^{2} + 2P(-P) + Q^{2}\)

বা, \(144 = P^{2} – 2P^{2} + Q^{2}\)

বা, \(144 = Q^{2} – P^{2}\)

বা, \(144 = (Q + P)(Q – P)\)

বা, \(144 = (Q + P)18\)

বা, \(Q + P = 8\) … (ii)

(i) ও (ii) কে সমাধান করে পাই,

P = 5 ও Q = 13

বল দুইটির মান যথাক্রমে 5N এবং 13N।


ধরণ – ২

সমস্যা: OA ও OB রেখা বরাবর ক্রিয়ারত P ও Q বলদ্বয়ের লব্ধি OA রেখার উপর লম্ব। একই রেখা বরাবর ক্রিয়ারত P’ ও Q’ বলদ্বয়ের লব্ধি OB রেখার উপর লম্ব। প্রমাণ কর যে, PP’= QQ’।

সমাধান:
ধরা যাক, বলদ্বয়ের লব্ধি R ও মধ্যবর্তী কোণ α। মনে করি, OA, OC ও OB রেখা বরাবর P, R ও Q বল ক্রিয়া করে। লব্ধি OA রেখার 90° কোণ উৎপন্ন করে।


OA বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P×cos0°= P\)

OA বরাবর R বলের লম্বাংশ \(= R×cos90°= 0\)

OA বরাবর Q বলের লম্বাংশ \(= Q×cos α= Q\ cosα\)

তাহলের লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(P + Q\ cosα= 0\)

বা, \(Qcos α= -P\) … (i)

আবার ধরি, P’ ও Q’বলদ্বয়ের লব্ধি R’ ও মধ্যবর্তী কোণ α। মনে করি, OA, OC ও OB রেখা বরাবর P, R ও Q বল ক্রিয়া করে। লব্ধি OB রেখার 90° কোণ উৎপন্ন করে।

OB বরাবর P’ বলের লম্বাংশ \(= P’×cos\ α= P’cos\ α\)

OB বরাবর R’ বলের লম্বাংশ \(= R’×cos\ 90°= 0\)

OB বরাবর Q’ বলের লম্বাংশ \(= Q’×cos\ 0°= Q’\)

তাহলের লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(Q’ + P’cos\ α= 0\)

বা, \(P’cos\ α= -Q’\) … (ii)

(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

\(PP’= QQ’\) (প্রমাণিত)


ধরণ – ৩

সমস্যা: 4P ও 3P বল দুইটি O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল এবং বল দুইটির লব্ধি 5P। যদি কোনো ছেদক তাদের ক্রিয়ারেখাকে যথাক্রমে R, S ও T বিন্দুতে ছেদ করে, তাহলে দেখাও যে, \(\frac{4}{OR}+\frac{3}{OS}= \frac{5}{OT}\)

সমাধান:

বল দুইটি ও তাদের লব্ধির ক্রিয়ারেখা বরাবর লম্ব আঁকি। দেখা যাচ্ছে, লম্বটি বলদ্বয়কে যথাক্রমে S ও R বিন্দুতে এবং এদের লব্ধিকে T বিন্দুতে ছেদ করে। O বিন্দু থেকে পূর্বে অঙ্কিত লম্ব রেখার উপর OA লম্ব আঁকি।

OA বরাবর 3P বলের লম্বাংশ \(= 3P \times cos\ AOS= 3P \times \frac{OA}{OS}\)

OA বরাবর লব্ধি 5P বলের লম্বাংশ \(= 5P \times cos\ AOT= 5P\ \times \frac{OA}{OT}\)

OA বরাবর 4P বলের লম্বাংশ \(= 4P \times cos\ AOR= 4P \times \frac{OA}{OR}\)

তাহলের লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(3P \times \frac{OA}{OS} + 4P \times \frac{OA}{OR}= 5P \times \frac{OA}{OT}\) (উভয়পক্ষকে POA দ্বারা ভাগ করে)

বা, \(\frac{4}{OR}+\frac{3}{OS}= \frac{5}{OT}\) (প্রমাণিত)


লম্বাংশের উপপাদ্য ব্যবহার করে একাধিক বলের লব্ধির মান ও দিক বের করা সংক্রান্ত


ধরণ – ১

সমস্যা: একটি বিন্দুতে পরস্পর 120° কোণে ক্রিয়ারত P, 2P ও 3P বল তিনটির লব্ধির মান ও দিক নির্ণয় কর।
সমাধান:

OA বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P\ cos\ 0°= P\)

OA বরাবর 2P বলের লম্বাংশ \(= 2P × cos\ 120°= (-\frac{1}{2})2P = -P\)

OA বরাবর 3P বলের লম্বাংশ \(= 3P × cos\ 240°= (- \frac{1}{2})3P = – \frac{3P}{2}\)

OA বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= R\ cos \theta\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(R\ cos \theta= P – P – \frac{3P}{2}\)

বা, \(R\ cos \theta= – \frac{3P}{2}\) … (i)

OA রেখার লম্ব বরাবর P বলের লম্বাংশ \(= P×sin\ 0°= 0\)

OA রেখার লম্ব বরাবর 2P বলের লম্বাংশ \(= 2P × sin\ 120°= ( \frac{√3}{2})2P = √3P\)

OA রেখার লম্ব বরাবর 3P বলের লম্বাংশ \(= 3P × sin\ 240°= (-\frac{√3}{2})3P = – \frac{3√3P}{2}\)

OA রেখার লম্ব বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= Rsin \theta\)

তাহলের লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(R sin \theta= 0 + √3P – \frac{3√3P}{2}\)

বা, \(Rsin \theta= – \frac{√3P}{2}\) … (ii)

(i)²+ (ii)² হতে পাই,

\(R^{2}cos^{2} \theta+ R^{2}sin^{2} \theta= \frac{9}{4}P^{2}+ \frac{3}{4}P^{2}\)

বা, \(R^{2}(cos^{2}+ sin^{2})= 3P^{2}\)

বা, \(R^{2}= 3P^{2}\)

বা, \(R = \sqrt{3}P\)

(ii) থেকে পাই,

\(R\ sin\ \theta= -\frac{√3P}{2}\)

বা, \(√3Psin\ \theta= – \frac{√3P}{2}\)

বা , \(sin\ \theta= -\frac{1}{2}\)

বা, \( \theta= 120°\)

অতএব, লব্ধি √3P মানে OA রেখার সাথে 210° কোণে ক্রিয়া করে।


ধরণ – ২

সমস্যা: ABC সমবাহু ত্রিভুজের AB, BC ও CA বাহুর সমান্তরালে যথাক্রমে 2N, 4N এবং 6N একক তিনটি সমবিন্দু বল ক্রিয়াশীল। বল তিনটির লব্ধির নির্ণয় কর।

সমাধান:

যেহেতু ত্রিভুজটি সমবাহু তাই, ∠A= ∠B= ∠C= 60°

চিত্র হতে দেখা যাচ্ছে,

4N ও 6N মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (180°- 60°)

2N ও 6N মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ (180°+ 60°)

ধরা যাক,বলগুলোর লব্ধি R, BC রেখার সাথে কোণ উৎপন্ন করে।

BC বরাবর 4N বলের লম্বাংশ \(= 4×cos\ 0°= 4\)

BC বরাবর 6N বলের লম্বাংশ \(= 6×cos(180°- 60°) = -6cos(60°)\)

BC বরাবর 2N বলের লম্বাংশ \(= 2×cos(180°+ 60°)= -2cos(60°)\)

BC বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= R\ cos\ \theta\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(Rcos \theta= 4 – 6\ cos(60°) – 2cos(60°)\)

বা, \(Rcos \theta= 4 -8\ cos(60°)= 4 – 4 = 0\) … (i)

BC রেখার লম্ব দিক বরাবর 4N বলের লম্বাংশ \(= 4× sin\ 0°= 0\)

BC রেখার লম্ব দিক বরাবর 6N বলের লম্বাংশ \((= 6×sin (180°- 60°) = -6cos(60°)\)

BC রেখার লম্ব দিক বরাবর 2N বলের লম্বাংশ \(= 2×sin(180°+ 60°)= -2cos(60°)\)

BC রেখার লম্ব দিক বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= Rcos \theta\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\( Rsin \theta= 0 – 6sin(60°) – 2sin(60°)\)
বা, \(Rsin \theta= -8sin(60°)= -4√3\) … (ii)

(i)²+ (ii)² হতে পাই,

\(R^{2}cos^{2} \theta + R^{2}sin^{2} \theta= 0 + 48\)

বা, \(R^{2}(cos^{2}+ sin^{2})= 48\)

বা, \(R^{2}= 48\)

বা,\( R = 4√3\)

অতএব, লব্ধি \(4√3N\) মানে ক্রিয়া করে।


ধরণ – ৩

সমস্যা: ABCD আয়তক্ষেত্রে AB ও BC বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 4 সে.মি ও 3 সে.মি। AB, AC ও AD রেখা বরাবর ক্রিয়ারত 6N, 10N ও 8N সমবিন্দু বল তিনটির লব্ধি ও ক্রিয়ারেখা নির্ণয় কর।

সমাধান:


\(AC^{2}= AB^{2}+BC^{2}\)

\(= 4^{2}+3^{2}= 16 + 9 = 25\)

অতএব, AC = 5 সে.মি

ধরি, ∠BAC=α তাহলে \(sin\ α= \frac{3}{5}; cos\ α= \frac{4}{5}\)

ধরি, বলগুলোর লব্ধি R, যা AB এর সাথে কোণ উৎপন্ন করে।

AB বরাবর 6N মানের বলের লম্বাংশ \(= 6×cos0°= 6\)

AB বরাবর 10N মানের বলের লম্বাংশ \(= 10× cos\ α= 10× \frac{4}{5} = 8\)

AB বরাবর 8N মানের বলের লম্বাংশ \(= 8×cos90°= 0\)

AB বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= Rcos \theta\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(Rcos \theta= 0 +6 + 8\)

বা, \(Rcos \theta= 14\)… (i)

AB রেখার লম্ব বরাবর 6N মানের বলের লম্বাংশ \(= 6×sin0°= 0\)

AB রেখার লম্ব বরাবর 10N মানের বলের লম্বাংশ \(= 10×sin\ α= 10× \frac{3}{5} = 6\)

AB রেখার লম্ব বরাবর 8N মানের বলের লম্বাংশ \(= 8×sin90°= 8\)

AB রেখার লম্ব বরাবর লব্ধি R বলের লম্বাংশ \(= Rsin \theta\)

তাহলে লম্বাংশের উপপাদ্য সাহায্যে পাই,

\(Rsin \theta= 0 +6 + 8\)

বা,\( Rcos \theta= 14\)… (ii)

(i)²+ (ii)² হতে পাই,

\(R^{2}cos^{2} \theta+ R^{2}sin^{2} \theta= 14 + 14\)

বা, \(R^{2}(cos^{2} \theta+ sin^{2} \theta)= 28\)

বা,\( R^{2}= 28\)

বা, \(R = 14√2\)

আবার, (i)(ii) হতে পাই,

\(tan \theta = 1\)

বা,\( \theta = 45°\)

অতএব, লব্ধি 14√2N মানে OA রেখার সাথে 45° কোণে ক্রিয়া করে।


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা ম্যাথ (৮.১) সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।