ম্যাথ (৮.৩)

গত স্মার্টবুকে তোমরা দেখেছো কীভাবে দুইটি সমান্তরাল সদৃশ কিংবা অসদৃশ বলের লব্ধি ও তার প্রয়োগ বিন্দু নির্ণয় করতে হয়। আবার এটাও দেখেছো, কীভাবে একটি সুষম দন্ডের ওজনের ক্রিয়া বিন্দু কীভাবে নির্ণয় করতে হয়।

এবার আমরা ওই তাত্ত্বিক জ্ঞান দিয়ে বেশ কিছু গাণিতিক সমস্যার সমাধান করবো।

গাণিতিক সমস্যার সমাধান


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সমস্যা-৩

P ও Q (P > Q) দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল দুইটি বিদুতে ক্রিয়ারত আছে। যদি এদেরকে সম পরিমাণে বৃদ্ধি করা হয়, দেখাও যে, নতুন লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু P বল থেকে আরো দূরে সরে যাবে।
A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত যথাক্রমে P ও Q দুইটি সমান্তরাল বলের লব্ধি C বিন্দুগামী।

∴ PAC = QBC

\(=\frac{AC}{Q}=\frac{BC}{P}=\frac{BC-AC}{P-Q}=\frac{AB}{P-Q}\)

\(AC=\frac{Q}{P-Q}AB\)……..(i)

P ও Q কে x পরিমাণে বৃদ্ধি করা হলে (P + x) এবং (Q + x) মানের বল দুইটির লব্ধি D বিন্দুগামী।

∴ (P + x)AD = (Q + x)BC

\(\frac{AD}{Q+x}=\frac{BD}{P+x}=\frac{BD-AD}{(P+x)-(Q+x)}=\frac{AB}{P-Q}\)

\(AD = \frac{Q+x}{P-Q}AB……..(ii)\)

(ii) \(\div\) (i) করলে পাই,

\(\frac{AD}{AC}=\frac{Q+x}{Q}\)

= (1 + x/Q)

এর মান 1 এর চেয়ে বড় কারণ Q > 0, x>0.

তাই, AD > AC

অরথাত,লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু P বল থেকে আরো দূরে সরে যাবে। [Proved]


সমস্যা-৪

একজন লোক একটি লাঠি কাঁধের উপর আনুচূমিকভাবে স্থাপন করে এক প্রান্তে হাত রেখে অপর প্রান্তে W ওজনের একটি বস্তু বহন করছে। যদি তার কাঁধ থেকে হাত ও বস্তুর দূরত্ব যথাক্রমে a এবং x হয়, তবে প্রমাণ করো যে, তার কাঁধের উপরে চাপের পরিমাণ হবে \(W(1+\frac{a}{x})\).

মনে করি, C বিন্দুটি লোকটির কাঁধের অবস্থান নির্দেশ করে। A প্রান্তে W ওজনের একটি বস্তু বহন করছে এবং লোকটি B প্রান্তে তার হাত দ্বারা নিচের দিকে P মানের চাপ প্রয়োগ করে। AC = a, BC = x.

A এবং B প্রান্তে ক্রিয়ারত ওজনদ্বয়ের লব্ধি (W + P), যা C তে নিচের দিকে ক্রিয়াশীল। লোকটির কাঁধের উপরে চাপ R হলে,

\(R = W + P\) এবং

\(∴ WAC = PBC\)

\(Wa = Px\)

\(P = \frac{Wa}{x}\)

∴চাপ, \(R = W + \frac{Wa}{x}\)

\(= W ( 1 +\frac{a}{x})\)

\(= \frac{W}{x}( a + x)\) [Proved]


সমস্যা-৫

ABC ত্রিভুজের কৌণিক বিন্দু A, B, C তিনটি সমান্তরাল বল P, Q, R ক্রিয়ারত আছে। এদের লব্ধি ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্রে ক্রিয়ারত হলে দেখাও যে, P = Q = R.

ABC ত্রিভুজের ভারকেন্দ্র g এবং বর্ধিত AG রেখা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। কাজেই AD একটি মধ্যমা এবং BC এর মধ্যবিন্দু D.

অর্থাৎ, BD = DC.

B ও C বিন্দুতে ক্রিয়ারত Q ও R এর লব্ধি (Q + R), BC রেখাস্থ কোনো বিন্দুগামী হবে।

আবার, P বলটি A বিন্দুতে এবং বলত্রয়ের লব্ধি (P + Q + R), G বিন্দুগামী।

সুতরাং, (Q + R) বলটি AD রেখাস্থ কোনো বিন্দুগামী হবে। অর্থাৎ, BC ও AD এর ছেদবিন্দু D তে (Q + R) ক্রিয়া করবে।

∴ QBD = RCD

Q = R [BD = CD]

একইভাবে দেখানো যায়, P = Q.

সুতরাং, P = Q = R [Proved]


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা ম্যাথ (৮.৩) এর সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।