রেখা বিভক্তিকরণ সূত্র, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয়

শীতকাল এসে গেছে। একদিন পাড়ার ছেলেরা ঠিক করলো পাড়ার খোলা জায়গাটিতে ব্যাডমিন্টন খেলার জন্য কোর্ট বানাবে। যথারীতি তারা প্রচলিত মাপ অনুযায়ী মাঠে দাগ কেটে একটি কোর্ট তৈরী করলো। কিন্তু সমস্যাটি হল নেট ঝুলানোর জন্য খুটি নিয়ে। তাদের কাছে একটিই বাশ ছিল যেটি দুটি ভাগ করে তাদের গর্তে ঢুকিয়ে নেট ঝুলাতে হবে। কিন্তু দুটি গর্তের গভীরতার ভিন্নতার জন্য বাশটিকে সমান ভাগ করে গর্তে ঢুকালে একটি খুটি অনেক উঁচু হয়ে যাবে ও আরেকটি খুটির উচ্চতা নেট ঝুলানোর জন্য যে উচ্চতার প্রয়োজন তার চেয়ে কম হয়ে যাবে।

তারা বুঝতে পারছিলো না কি করবে। তাদের এই সমস্যাটি তাদের এক বড় ভাইকে বলার পর ঐ বড় ভাই সবকিছু মেপে নিয়ে এমনভাবে খুটিটিকে দুটি ভাগ করলো যাতে নেট ঝুলাতে আর সমস্য না হয়। ছেলেরা স্বস্তির নিঃশ্বাস ফেললো ও নেট ঝুলিয়ে খেলা শুরু করলো।

উপরের খুটির মত আমাদের বিভিন্ন কাজে কার্তেসীয় সমতলে অঙ্কিত সরলরেখাকেও বিভিন্ন অনুপাতে ভাগ করতে হয়। চলো এবার আমরা শিখে নিই কীভাবে একটি সরলরেখাকে বিভিন্ন অনুপাতে ভাগ করতে হয়।


কিছু গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


কোন সরলরেখার অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়


মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোগকারী রেখাংশ \(R(x, y)\) বিন্দুতে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত হয়েছে। এখানে, \(PR : RQ = m_{1}: m_{2}\)। R বিন্দুর স্থনাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে।

P, Q ও R বিন্দু হতে OX এর উপর যথাক্রমে PA, QB ও RC লম্ব আকি।

আবার, \(PS \bot RC\) এবং \(RT \bot QB\) আকি।

এখন \(\triangle PRS\) ও \(\triangle QRT\) সদৃশ বলে

\( \frac{PS}{RT}= \frac{RS}{QT}= \frac{PR}{RQ}\)

আবার, যেহেতু \( \frac{PR}{RQ} = \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

অতএব,

\( \frac{PS}{RT}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\) … (i)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(AC = OC – OA = x – x_{1}\)

আবার যেহেতু, PS = AC

তাই \(PS = x – x_{1}\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(CB = OB – OC = x_{2} – x\)

আবার যেহেতু, \(RT = CB\)

তাই \(RT = x_{2} – x\)

(i) থেকে পাই,

\( \frac{PS}{RT} = \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \( \frac{x – x_{1}}{x_{2} – x}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \(m_{2}x – m_{2}x_{1} = m_{1}x_{2}- m_{1}x\)

বা, \(m_{2}x + m_{1}x = m_{1}x_{2}+ m_{2}x_{1}\)

বা, \(x = \frac{m_{1}x_{2}+ m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(RS = RC – CS = y – y_{1}\)

আবার,

চিত্র হতে দেখা যায়, \(QT = BQ – BT = y_{2} – y\)

(i) থেকে পাই,

\( \frac{RS}{QT}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা,\( \frac{y – y_{1}}{y_{2} – y}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \(m_{2}y – m_{2}y_{1} = m_{1}y_{2}- m_{1}y\)

বা, \(m_{2}y + m_{1}y = m_{1}xy_{2}+ m_{2}y_{1}\)

বা, \(y = \frac{m_{1}y_{2}+ m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}}\)

PQ সরলরেখার অন্তর্বিভক্তকারী R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (\frac{m_{1}x_{2}+ m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}+ m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}})\)

যদি PQ সরলরেখাটি k : 1 অনুপাতে R বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত হয়, তবে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (\frac{kx_{2}+ x_{1}}{k + 1} , \frac{ky_{2}+ y_{1}}{k + 1})\)


কোন সরলরেখার মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়


মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোগকারী রেখাংশ তার মধ্যবিন্দু \(R(x, y)\) এ \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) বিন্দুতে অন্তর্বিভক্ত হয়েছে।

যেহেতু সরলরেখাটি তার মধ্যবিন্দুতে অন্তর্বিক্ত হয় সেক্ষেত্রে \(m_{1}= m_{2}\)

বা, \(m_{1}: m_{2}= 1 : 1\)

অতএব,

\(x = \frac{m_{1}x_{2}+ m_{2}x_{1}}{m_{1} + m_{2}}= \frac{x_{1}+ x_{2}}{1 + 1}= \frac{x_{1}+ x_{2}}{2}\)

\( y = \frac{m_{1}y_{2}+ m_{2}y_{1}}{m_{1} + m_{2}}= \frac{y_{1}+ y_{2}}{1 + 1}= \frac{y_{1}+ y_{2}}{2}\)

PQ সরলরেখার মধ্যবিন্দু R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (\frac{x_{1}+ x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+ y_{2}}{2})\)


কোন সরলরেখার বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাঙ্ক


মনে করি, \(P(x_{1}, y_{1})\) এবং \(Q(x_{2}, y_{2})\) বিন্দু দুইটির সংযোগকারী রেখাংশ \(R(x, y)\) বিন্দুতে \(m_{1}\) ও \(m_{2}\) বিন্দুতে বহির্বিভক্ত হয়েছে। এখানে, \(PR : RQ = m_{1}: m_{2}\)। R বিন্দুর স্থনাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে।

P, Q ও R বিন্দু হতে OX এর উপর যথাক্রমে PA, QC ও RB লম্ব আকি।

আবার, \(PS \bot RB\) এবং \(QT \bot RB\) আকি।

এখন \( \triangle PRS\) ও \( \triangle QRT\) সদৃশ বলে

\( \frac{PS}{QT}= \frac{RS}{RT}= \frac{PR}{RQ}\)

আবার, যেহেতু \( \frac{PR}{RQ} = \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

অতএব,

\( \frac{PS}{QT} = \frac{m_{1}}{m_{2}}\) … (i)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(AB = OB – OA = x – x_{1}\)

আবার যেহেতু, \(PS = AB\)

তাই \(PS = x – x_{1}\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(CB = OB – OC = x – x_{2}\)

আবার যেহেতু, \(QT = CB\)

তাই \(QT = x – x_{2}\)

(i) থেকে পাই,

\( \frac{PS}{QT}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \( \frac{x – x_{1}} {x – x_{2}}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \(m_{2}x – m_{2}x_{1} = m_{1}x- m_{1}x_{2}\)

বা, \(m_{1}x – m_{2}x = m_{1}x_{2}- m_{2}x_{1}\)

বা, \(x = \frac{m_{1}x_{2}- m_{2}x_{1}}{m_{1} – m_{2}}\)

চিত্র হতে দেখা যায়, \(RS = RB – SB = y – y_{1}\)

আবার,

চিত্র হতে দেখা যায়, \(RT = RB – BT = y – y_{2}\)

(i) থেকে পাই,

\(\frac{RS}{RT}= \frac{m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \( \frac{y – y_{1}}{y – y_{2}}= \frac {m_{1}}{m_{2}}\)

বা, \(m_{2}y – m_{2}y_{1} = m_{1}y- m_{1}y_{2}\)

বা, \(m_{1}y – m_{2}y = m_{1}y_{2}- m_{2}y_{1}\)

বা, \(x = \frac{m_{1}y_{2}- m_{2}y_{1}}{m_{1} – m_{2}}\)

PQ সরলরেখার বহির্বিভক্তকারী R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( \frac{m_{1}x_{2}- m_{2}x_{1}}{m_{1} – m_{2}}, \frac{m_{1}y_{2}- m_{2}y_{1}}{m_{1} – m_{2}})\)

যদি PQ সরলরেখাটি k : 1 অনুপাতে R বিন্দুতে বহির্বিভক্ত হয়, তবে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (\frac{kx_{2}- x_{1}}{k – 1} , \frac{ky_{2}- y_{1}}{k – 1})\)


ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

মনে করি, ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু যথাক্রমে \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\)। BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও F। A, D; B, E ও C,F যোগ করি। তাহলে AD, BE ও CF হচ্ছে ত্রিভুজটির তিনটি মধ্যমা। ধরি, মধ্যমা তিনটি পরস্পর G বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে G বিন্দুটি হচ্ছে ত্রিভুজটির মধ্যমা।

ধরি, G এর স্থানাঙ্ক (x, y)। এখন আমরা ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র অর্থাৎ x ও y এর মান বের করবো।

এখানে,

A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= A(x_{1}, y_{1})\)

D বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( \frac{x_{2}+ x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+ y_{3}}{2})\)
এখানে, G বিন্দুটি AD সরলরেখাকে 2:1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
অর্থাৎ AG : GD = 2:1

অতএব, অন্তর্বিভক্তকরণ সূত্র হতে আমরা পাই,

\(x = \frac{2. \frac{x_{2}+ x_{3}}{2} + 1.x_{1}}{2 + 1} = \frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}\)

\(x = \frac{2. \frac{y_{2}+ y_{3}}{2} + 1.x_{1}}{2 + 1} = \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3}\)

অতএব, G বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= (\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})\)



কিছু শর্টকাট পদ্ধতি


শটকার্ট-১:

কোন সরলরেখা x অক্ষ দ্বারা বিভক্ত হলে, বিভক্তির অনুপাত = – কোটিদ্বয়ের অনুপাত

বিভক্তির অনুপাত ধনাত্মক হলে x অক্ষ অন্তর্বিভক্ত করছে আর ঋণাত্মক হলে x অক্ষ বহির্বিভক্ত করছে।

চিত্র হতে দেখা যায়, AB সরলরেখা P বিন্দুতে x অক্ষ দ্বারা বিভক্ত হয়।

এখানে বিভক্তির অনুপাত অর্থাৎ AP : PB = – কোটিদ্বয়ের অনুপাত \(= – \frac{y}{m}\)

উদাহরণ:

p(-2, 3) ও q(4, -7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা x অক্ষ দ্বারা অন্তর্বিভক্ত হলে বিভক্তির অনুপাত \(= – \frac{3}{(-7)}= \frac{3}{7}\)


শটকার্ট-২:

কোন সরলরেখা y অক্ষ দ্বারা বিভক্ত হলে, বিভক্তির অনুপাত = – ভুজদ্বয়ের অনুপাত

বিভক্তির অনুপাত ধনাত্মক হলে y অক্ষ অন্তর্বিভক্ত করছে আর ঋণাত্মক হলে y অক্ষ বহির্বিভক্ত করছে।

চিত্র হতে দেখা যায়, AB সরলরেখা P বিন্দুতে y অক্ষ দ্বারা বিভক্ত হয়।

এখানে বিভক্তির অনুপাত অর্থাৎ AP : PB = – কোটিদ্বয়ের অনুপাত \(= -\frac {x}{z}\)

উদাহরণ:

\(p(-2, 3)\) ও \(q(4, -7)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা y অক্ষ দ্বারা র্বিভক্ত হলে বিভক্তির অনুপাত \(= – \frac{(-2)}{4}= \frac{1}{2}\)


শটকার্ট-৩:

A(m, n) ও B(p, q) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ সরলরেখা ax + by + c = 0 রেখা দ্বারা বিভক্ত হলে,

বিভক্তির অনুপাত \(= – \frac{am + bn + c}{ap + bp + c}\)

বিভক্তির অনুপাত ধনাত্মক হলে রেখা দ্বারা অন্তর্বিভক্ত হচ্ছে আর ঋণাত্মক হলে বহির্বিভক্ত হচ্ছে।

উদাহরণ:

p(-2, 3) ও q(4, -7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখা \(x + 2y + 5 = 0\) দ্বারা বিভক্ত হলে,

বিভক্তির অনুপাত \(= – \frac{( -2 + 6 + 5 )}{(4 -14 + 5)}= \frac{9}{5}\)


শটকার্ট-৪:

ABC ত্রিভুজের BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে \(D(x_{1}, y_{1}), E(x_{2}, y_{2}) এবং F(x_{3}, y_{3})\)
হলে,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( x_{2}+ x_{3}- x_{1}, y_{2}+ y_{3}- y_{1})\)

B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( x_{1}+ x_{3}- x_{2}, y_{1}+ y_{3}- y_{2})\)

C বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( x_{2}+ x_{1}- x_{3}, y_{2}+ y_{1}- y_{3})\)


শটকার্ট-৫:

ABCD সামন্তরিকের শীর্ষবিন্দু তিনটি যথাক্রমে \(A(x_{1}, y_{1}), B(x_{2}, y_{2})\) এবং \(C(x_{3}, y_{3})\) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক হবে \(( x_{1}+ x_{3}- x_{2}, y_{1}+ y_{3}- y_{2})\)
এই সুত্রটি আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র ও রম্বসের জন্যও প্রযোজ্য।


সত্য মিথ্যা যাচাই করো




গাণিতিক সমস্যাবলি


সমস্যা নং ১: দেখাও যে, (2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশ অক্ষদ্বয় দ্বারা সমান তিনভাগে ভাগ হয়।

সমাধান:

ধরি, (2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয় x অক্ষ দ্বারা k(x, 0) বিন্দুতে m : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

এখানে, অন্তর্বিভক্তকরণের সূত্র হতে পাই,

\( 0 = \frac{4×m + 1 × (-2)}×{m + 1}\)

বা, \(4m – 2 =0\)

বা, \(4m = 2\)

বা, \(m = \frac{1}{2}\)

বা, m : 1 = 1 :2

অতএব, (2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয় x অক্ষ দ্বারা 1 : 2 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

আবার,

ধরি, (2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয় y অক্ষ দ্বারা l(0, y) বিন্দুতে n : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

এখানে,

\( 0 = \frac{(-1) × kn+ 1 × 2}{n + 1}\)

বা, \(- n + 2 =0\)

বা, \(n = 2\)

বা, \(n : 1 = 2 : 1\)

অতএব, (2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয় y অক্ষ দ্বারা 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

(2, -2) ও (-1, 4) বিন্দুদ্বয় x ও y অক্ষ দ্বারা যথাক্রমে 1 : 2 ও 2 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।
অতএব, বিন্দু দুটি অক্ষদ্বয় দ্বারা অন্তর্বিভক্ত হয়।


সমস্যা নং ২: A ও B বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক যথাক্রমে (-2, 4) ও (4, -5)। AB রেখাকে C পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন AB = 3BC। C বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে হবে।

সমাধান:

ধরি, C বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (x, y)

\( \frac{AB}{BC} = 3\)

বা, \(AB : BC = 3 : 1\)

অতএব, AC রেখাংশ B বিন্দুতে 3 : 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত হয়।

অতএব, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(= ( \frac{3x- 2}{3 + 1}, \frac{3y + 4}{3 + 1}) = (\frac{3x- 2}{4}, \frac{3y + 4}{4})\)

দেয়া আছে, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (4, -5)

অতএব,

\(\frac{3x- 2}{4} = 4\)

বা, \(3x – 2 = 16\)

বা, \(3x = 18\)

বা, \(x = 6\)

আবার,

\(\frac{3y + 4}{4} = -5\)

বা, \(3y + 4 = -20\)

বা, \(3y = -24\)

বা, \(y = -8\)

C বিন্দুর স্থানাঙ্ক = (6, -8)


সমস্যা নং ৩: একটি ত্রিভুজের দুইটি শীর্ষ (3, 5) ও (7, -1) এবং ভরকেন্দ্র(7, 2) হলে তৃতীয় শীর্ষ নির্ণয় কর।

সমাধান:

ধরি, তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক (x, y)

অতএব,

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে = \(( \frac{3 + 7 + x}{3}, \frac{5 – 1 + y}{3})\)

দেয়া আছে,

ত্রিভুজের ভরকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = ( 7, 2)

শর্তমতে,

\( \frac {3 + 7 + x}{3} = 7\)

বা, \(x + 10 = 21\)

বা, \(x = 11\)

আবার,
\( \frac{5 – 1 + y}{3}= 2\)

বা, \(4 + y = 6\)

বা, \(y = 2\)

তৃতীয় শীর্ষের স্থানাঙ্ক (11, 2)।


সমস্যা নং ৪: ABCD আয়তের তিনটি শীর্ষবিন্দু A ( 3, 2 ), B( 2, -1 ), C( 8, -3) হলে চতুর্থ শীর্ষবিন্দু D এর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

ধরি, D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (x, y)।


AC কর্ণের মধ্যবিন্দু \(= ( \frac{3 + 8}{2}, \frac{2 – 3}{2}) = ( \frac{11}{2}, – \frac{1}{2})\)

BD কর্ণের মধ্যবিন্দু \(= ( \frac{2 + x}{2}, \frac{y – 1}{2})\)

যেহেতু কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু পরস্পর সমান হবে। তাই,

\(\frac{2 + x}{2} = \frac{11}{2}\)

বা, \(x = 9\)

আবার,

\( \frac{y – 1}{2}= – \frac{1}{2}\)

বা, y = 0

D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (9, 0)


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা রেখা বিভক্তিকরণ সূত্র, ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র নির্ণয় সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।