Uncategorized

সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ (Derivatives of Composite Functions)

চল আগে সংযোজিত ফাংশন কি তা বুঝে নিই।

ধরি, একটি বিয়ের দাওয়াতে এসেছে ৫ জন বৃদ্ধ লোক। এই বৃদ্ধ লোকের সেট C মনে করি। এই ৫ জন বিশ্ববিদ্যালয় জীবন থেকেই পরস্পর পরস্পরের বন্ধু ছিল। এদের মধ্যে ৩ জনের ছেলে সন্তান বিদ্যমান।

আবার, ৫ জন মধ্যবয়স্ক লোকও বিয়েতে এসেছে, এদের সেট B. তাদের কেউ কেউ C সেটের অন্তর্ভুক্ত কোন প্রবীণ ব্যক্তির ছেলে। B সেটের সদস্যদেরও কারো কারো ছেলে সন্তান আছে।

এবং, ৫ জন কমবয়সী ছেলের সেট A ধরি। এরা সবাই তাদের বাবার সাথে এসেছে। তাদের বাবারা B সেটের সদস্য।

তাহলে, A ও B সেটের মধ্যে একটি সম্পর্ক নিরূপণ করা যায়। এই সম্পর্ককে একটি ফাংশন ধরলে ফাংশনটিকে f: A → B সংজ্ঞায়িত করা যায়।  একইভাবে B ও C সেটের মধ্যেও সম্পর্ক বিদ্যমান, একে g: B → C ফাংশনরূপে সংজ্ঞায়িত করি। তো,সামগ্রিকভাবে বিবেচনা করে আমরা দেখতে পাই, A ও C এর মধ্যেই একটি সম্পর্ক নিরূপণ করা যায়  f: A→ B g: B→ C ফাংশনদ্বয়ের মাঝে একটি সম্পর্ক স্থাপন করার মাধ্যমে।

A সেট এর প্রথম সদস্য a এর বাবা α  B সেটের অন্তর্ভুক্ত। ∴ f(a) = α … … (1)

আবার, চিত্রে দেখতে পাই, α এর বাবা z. ∴ g(α) = z … … (2)

তাহলে আমরা দেখতে পাচ্ছি, a কিন্তু z এর সাথে সম্পর্কযুক্ত, কিন্তু সরাসরি নয়। a, α এর মাধ্যমে z এর সাথে সম্পর্কিত। অর্থাৎ, A সেট B এর মাধ্যমে C এর সাথে সম্পর্কিত।

  1. হতে α এর মান (2) এ বসিয়ে পাই, g(f(a)) = z

এই ফাংশনটি দ্বারা বুঝা যায় যে a এর দাদা z. এই যে দুইটি ফাংশনের মধ্যে একটি যোগসূত্র স্থাপনের মাধ্যমে a তার দাদাকে খুঁজে পেল, এই যোগসূত্র স্থাপনকারী ফাংশনকেই বলে সংযোজিত ফাংশন

একে এভাবে প্রকাশ করা যায়:  gof: A → C

বা,  (gof)(x) = g(f(x))

এখন আমরা সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করব।


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

মনে করি, স্বাধীন চলরাশি z এর এর ফাংশন y = f(z)

আবার, ধরি z চলরাশিটি অন্য একটি স্বাধীন চলরাশি x এর উপর নির্ভরশীল। অর্থাৎ, z = g(x) একটি ফাংশন যাতে স্বাধীন চলরাশি x এবং অধীন চলরাশি z.

∴y = f(g(x))

মনে করি x,y,z চলরাশিগুলির কিছু ক্ষুদ্র পরিবর্তন সংঘটিত হল যাদের প্রকাশ করা হয় যথাক্রমে ∆x, ∆y ও ∆z হিসেবে। এই পরিবর্তনগুলি খুব ক্ষুদ্র ও সসীম

এখন, z = g(x)

এই ফাংশনের লেখ এ X-অক্ষ বরাবর x স্বাধীন চলরাশি এবং Y-অক্ষ বরাবর z অধীন চলরাশি চিন্তা করি।

X-অক্ষ বরাবর x স্বাধীন চলরাশিটি অনেক ক্ষুদ্র ∆x পরিমাণ বৃদ্ধি পেলে Y-অক্ষ বরাবর z অধীন চলরাশিটি ∆z পরিমাণ বৃদ্ধি পায়। তাহলে, g(x) ফাংশনের পূর্বের কোন বিন্দুর স্থানাংক (x,z) হলে পরবর্তীতে তা ক্ষুদ্র পরিমাণ পরিবর্তিত হয়ে স্থানাংক হয় (x+∆x, z+∆z).

∴যখন ∆x → 0 তখন ∆z → 0 হয়।

\( \frac{∆y}{∆x}= \frac{∆y}{∆z} × \frac{∆z}{∆x}\) [ লব ও হরে ∆z গুণ করে ]

উভয়পক্ষে লিমিট নিই,

\(lim_{∆x→0} \frac{∆y}{ ∆x}= lim_{∆z→0} \frac{∆y} {∆z}× lim_{∆x→0} \frac{∆z} {∆x}\)

আমরা এর আগের স্মার্টবুকে মূল নিয়মে অন্তরজ নির্ণয় পদ্ধতি দেখেছি। অন্তরীকরণের সূত্রানুসারে,

\(lim_{∆x→0} \frac{∆y} {∆x}= \frac{dy}{dx} , lim_{∆z→0} \frac{∆y} {∆z} = \frac{dy}{dz}\) এবং \(lim_{∆x→0} \frac{∆z} {∆x}= \frac{dz}{dx}\)

\(∴ \frac{dy}{dx}= \frac{dy}{dz}× \frac{dz}{dx}\)

 

একইভাবে, তিনটি ফাংশন একত্রে সংযোজিত থাকলে, \(\frac{dy}{dx}= \frac{dy}{dz} × \frac{dz}{du} × \frac{du}{dx}\) এভাবে লেখা যায়। এভাবে বহু ফাংশন একত্রে সংযোজিত থাকলেও তাদের অন্তরজ নির্ণয় করা যায়।

এই সূত্র ব্যবহার না করেও খুব সহজে সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করা যায়।

  1. প্রথমে আমরা মূল সংযোজিত ফাংশনটি লক্ষ্য করব।
  2. মূল ফাংশনটিকে স্বাভাবিক নিয়মেই অন্তরীকরণ করব।
  3. মূল ফাংশন যেই ফাংশনের সাথে সংযোজিত আছে, মূল ফাংশনের সাথে সেই ফাংশনের অন্তরজ গুণাকারে লিখব।
  4. দ্বিতীয় ফাংশন যদি আবার কোন ফাংশনের সাথে সংযোজিত থাকে তবে ঐ ফাংশনের অন্তরজও একই লাইনে গুণাকারে লিখব।

উদাহরণ: y = f(x) = ln (sin 2x) এর x এর সাপেক্ষে অন্তরজ বের করো।

খেয়াল করো, মূল ফাংশনটিতে তিনটি ফাংশন সংযোজিত অবস্থায় আছে। প্রথমে আমরা মূল ফাংশন নিয়ে চিন্তা করব। মূল ফাংশনটি হল একটি লগারিদমিক ফাংশন। এক্ষেত্রে আমরা কল্পনা করব ln (x) মূল ফাংশন, যেখানে x এর স্থলে x এর বদলে আরেকটি ফাংশন sin 2x আছে।

আমরা জানি, \(\frac{ dy}{dx}(ln x)= \frac{1}{x}\)

∴ফাংশনে x এর স্থলে sin 2x আছে। তাই আমরা অন্তরজেরও x এর স্থলে sin 2x লিখব।

সুতরাং, আমরা প্রথমে লিখব: \( \frac{dy}{dx}\left\{ln (sin 2x)\right\}= \frac{1}{sin 2x}\)… … (1)

এখানেই আমাদের কাজ শেষ নয়। আমরা যেই ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করেছি, সেটির x এর স্থলে তো x নেই। আছে আরেকটি ফাংশন sin 2x. অর্থাৎ মূল লগারিদমিক ফাংশনটি এই ফাংশনের সাথে সংযোজিত আছে। তাই আমরা আবার এই ফাংশনকে অন্তরীকরণ করব x এর সাপেক্ষে এবং অন্তরজকে (1) নং এর ডানপক্ষের সাথে গুণাকারে লিখব।

আমরা জানি, \(\frac{d}{dx}(sin x)= cos x\)

তবে লিখতে পারি,\( \frac{d}{dx}(sin 2x)= cos 2x \) … … (2)

এখন এই ফাংশনটিকে আবার লক্ষ্য করি…

এই ফাংশনটিরও x এর স্থলে শুধুমাত্র x এর বদলে আরেকটি ফাংশন আছে, তা হল 2x.

তাই কে আবারও এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করতে হবে। এভাবে ততক্ষণ পর্যন্ত চলতে থাকবে যতক্ষণ পর্যন্ত না কোন ফাংশন সংযোজিত অবস্থায় থাকে।

তাহলে, আমরা এর অন্তরজ নির্ণয় করি: \( \frac{d}{dx}(2x) = 2 \) … … … (3)

(3) নং অন্তরীকরণের অন্তরজও আমরা (1) নং অন্তরজের ডানপক্ষের এর সাথে গুনাকারে লিখব।

তাহলে প্রদত্ত ফাংশনের প্রকৃত অন্তরজ হবে:

\(\frac{dy}{dx}{ln (sin 2x)}= \frac{1}{sin 2x}.cos 2x.2\)

\(= \frac{2 cos 2x}{sin 2x}\)

\(= 2 cot 2x\) [Ans]

পরীক্ষায় অংক করার সময় কিন্তু আমরা এত কথা লিখব না, অর্থাৎ এত ভেঙ্গে ভেঙ্গে দেখাব না। শুধুমাত্র শেষ দুই লাইন লিখলেই সম্পূর্ণ নম্বর পাবে।

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ (Derivatives of Inverse Functions)


বিপরীত ফাংশন কি তা তোমাদের মনে আছে নিশ্চয়ই? না মনে থাকলে নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করো।

মনে করি, x এর সামান্য বৃদ্ধি ∆x এর জন্য y এর যে অতি সামান্য বৃদ্ধি হয়, তা হল ∆y.

তাহলে আমরা লিখতে পারি, \(\frac{∆y} {∆x}= \frac{1} {\frac{∆x} {∆y}}… … … (1)\)

যখন \(∆x → 0\) তখন \(∆y → 0\) হয়।

তাহলে (1) হতে পাই,

\(lim_{∆x→0} \frac{∆y} {∆x}\)

\(= lim_{∆x→0} \frac{1} {\frac{∆x} {∆y}}\)

\(= \frac{1} {lim_{∆x→0} \frac{∆x} {∆y}}\)

\(= \frac{1} {lim_{∆y→0} \frac{∆x} {∆y}}\) [\(∵ ∆x → 0\) হলে \(∆y → 0\) ]

∴ অন্তরজের সংজ্ঞানুসারে আমরা পাই,

\(\frac{dy}{dx}= \frac{1} {\frac{dx} {dy}}\) ; যেখানে \(\frac{dx} {dy}≠ 0\) একইভাবে, \(\frac{dx}{dy}=\frac{ 1} {\frac{dy} {dx}}\) ; যেখানে \(\frac{dy}{dx}≠ 0\)

বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়
(Determining the Derivatives of Inverse Circular Functions)


বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন বলতে sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, cot⁻¹1, sec⁻¹, cosec⁻¹ এই ছয়টির ফাংশনগুলিকেই বুঝায়।

চল আমরা sin⁻¹x, cos⁻¹x, tan⁻¹x, cot⁻¹x, sec⁻¹x, cosec⁻¹x  ইত্যাদি বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করি

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।



বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনগুলির সাথে আরও এক বা একাধিক ফাংশন সংযোজিত অবস্থায় থাকতে পারে। সেক্ষেত্রে বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনকে সাধারণ নিয়মে অন্তরীকরণ করা বেশ কষ্টসাধ্য হয়ে পড়ে। তাই, এক্ষেত্রে সাধারণত ভিন্ন একটি স্বাধীন চলক সংবলিত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা মূল ফাংশনের চলককে প্রতিস্থাপন করে সরল আকারে নিতে হয়।


বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনকে অন্তরীকরণ করতে যেভাবে চলককে প্রতিস্থাপন করে সরল করে নিতে হয়:

f(x) ফাংশনের কোন পদের আকার যদি এমন থাকেস্বাধীন চলক বা x কে যেই পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে হয়
\(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\)x = a sin θ বা x = a cos θ
\(\sqrt{a^{2+x^{2}}}\)x = a tan θ বা x = a cot θ
\(\sqrt{x^{2}-a^{2}}\)x = a sec θ বা x = a cosec θ
\(\sqrt{a -x}\) বা \(\sqrt{a +x}\)x = a cos 2θ
\(\sqrt{x^{2}-1} \) বা \(x^{2}-1\)x = sec θ
\(\frac{2x}{1-x^{2}}\) বা \(\frac{2x}{1+x^{2}}\) বা \(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\)x = tan θ
\(\frac{1-x} {1+x}\) বা \(\frac{1+x} {1-x}\)x = tan θ বা x = cos θ
\(\sqrt{\frac{1+x} {1-x}}\) বা \(\sqrt{\frac{1-x} {1+x}}\)x = cos θ

এ সম্পর্কিত অংকগুলি সমাধান করতে তোমাদের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির কিছু সূত্র শিখতে হবে। সূত্রগুলি আগের থেকে না শিখে থাকলে আমাদের দ্বিতীয় পত্রের বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন স্মার্টবুক থেকে সূত্রগুলি দেখে নাও।


লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ (Differentiating with Logarithm)


মনে করো তুমি একটি সুইমিং পুলে সাঁতার কাটতে গিয়েছ। কিন্তু তুমি খুব ভাল সাঁতার কাটতে পার না। কম গভীর পানিতে অনায়াসে সাঁতার কাটতে পারলেও, বেশি গভীর পানির ক্ষেত্রে তুমি একটি ভয় পাও এবং তোমার সাহায্যের প্রয়োজন হয়। তুমি প্রতিদিন স্বাভাবিকভাবেই সাঁতার কাট, তবে তা কম গভীর পানিতে। একদিন তুমি ঠিক করলে বেশি গভীর পানির দিকে যাবে সাঁতার কাটতে। সেক্ষেত্রে তুমি পুলের বেশি গভীর পানির দিকে যেয়ে আরামে সাঁতার কাঁটার জন্য একটি সুইমিং টিউব নিলে।

তাহলে খেয়াল করো, তুমি সুইমিং পুলে কম গভীর পানিতে স্বাভাবিকভাবে সাঁতার কাটতে পার। কিন্তু বেশি গভীর পানির ক্ষেত্রে তুমি নিত্যদিনের নিয়মে সাঁতার না কেটে একটু অন্য পদ্ধতি অবলম্বন করলে তোমার নিরাপত্তা ও সুবিধার জন্য।

তেমনিভাবে কিছু কিছু ফাংশনের অন্তরীকরণ করার সময়ও আমরা নিজেদের সুবিধার্থে ও সময় বাঁচানোর জন্য কিছু অভিনব পদ্ধতি অবলম্বন করি। এসব ফাংশন স্বাভাবিক বা তোমার পূর্বের করা নিয়মের মাধ্যমে করলে প্রচুর সময় লাগবে এবং হয়তো তুমি অংক শেষও করতে পারবে না। তেমনি একটি কার্যকরী পদ্ধতি হল অন্তরীকরণে লগারিদমের ব্যবহার।

কোন ফাংশনের সূচক অন্য আর একটি ফাংশন হলে তবে প্রথমে ফাংশনটির লগারিদম নিয়ে পরে অন্তরজ নির্ণয় করা সহজতর হয়। যেমন: y = uv আকারের একটি ফাংশনে যদি u ও v দুইটিই x চলকের একইরকম বা ভিন্নরকম কোন ফাংশন হয়, তবে উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে অন্তরজ বের করা সুবিধাজনক।

আবার, কোন ফাংশন কয়েক্তি ফাংশনের গুনফল হলে, প্রথমে ফাংশনের লগারিদম নিয়ে পরে অন্তরজ নির্ণয় করা সহজতর হয়।

যেমন: y = u.v.w আকারের একটি ফাংশনে যদি u, v, w তিনটিই x চলকের ভিন্নরকম কোন ফাংশন হয়, তবে উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে অন্তরজ বের করা সুবিধাজনক।

u ও v উভয়ে x এর ফাংশন হলে ফাংশনের f(x) = y =  uᵛ অন্তরজ নির্ণয়:


\(y = u^{v}\)

উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে পাই,

\(ln y = ln u^{v}\)

\(= v ln u \) … … (1)

[লগারিদমের নিয়ম অনুসারে, \(ln (a^{x}) = x ln (a) ]\)

(1) নং এর উভয়পক্ষকে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(\frac{d}{dx}(ln y)= \frac{d}{dx}(v ln u)\)

\(⇒ \frac{1}{y}. \frac{d}{dx}(y)= v \frac{d}{dx}(ln u)+ ln u \frac{d}{dx}(v)\) [বামপক্ষে সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় সূত্র ও ডানপক্ষে দুইটি ফাংশনের গুনফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করে ]

\(⇒ \frac{1}{y}. \frac{dy}{dx}= v \frac{d}{dx}(ln u)+ ln u \frac{d}{dx}(v)\)

\(⇒ \frac{dy}{dx}= y.[v \frac{d}{dx}(ln u)+ ln u \frac{d}{dx}(v)]\)

\(∴ \frac{d}{dx}(u^{v})= u^{v}.[v \frac{d}{dx}(ln u)+ ln u \frac{d}{dx}(v)]\) [\( y = u^{v}\) বসিয়ে ]

এই সূত্রটি আমরা নৈব্যত্তিক প্রশ্নের উত্তরে সরাসরি ব্যবহার করব Shortcut হিসেবে। তবে রচনামূলক বা সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তরের সময় আমরা প্রশ্নে প্রদত্ত ফাংশনের উভয়পক্ষে লগারিদম নিয়ে পুরো পদ্ধতিটি অনুসরণ করব। ঠিকআছে?

চল এবার কিছু অংক করি

গাণিতিক সমস্যাবলী


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো




আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা সংযোজিত ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ, লগারিদমের সাহায্যে অন্তরীকরণ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।