সম্ভাবনা (তত্ত্বীয় অংশ)

একদিন তূর্য তার গৃহশিক্ষকের কাছে বাসায় পড়ছিলো। হঠাৎ করে আকাশ কালো হয়ে ঝড়ো হাওয়া শুরু হল। তখন তূর্য তার গৃহ শিক্ষককে বললো, “আজকে মনে হয় বৃষ্টি হবে না।” তখন তার শিক্ষক বললেন, “না, এরকম পরিস্থিতিতে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা বেশী।” তখন তূর্য তার গৃহ শিক্ষককে জিজ্ঞেস করলো তিনি কিসের ভিত্তিতে একথা বলছেন। তখন তার গৃহশিক্ষক উত্তর দিলেন,” আমি যতবার এরকম আবহাওয়া দেখেছি সে অবস্থায় অনেক বৃষ্টিপাত হওয়ার ঘটনা বেশী ঘটেছে। তাই আমি বলতে পারি বৃষ্টিপাত হওয়ার সম্ভাবনা বেশী।”

উপরের ঘটনাটির মত আমরা প্রতিদিন বিভিন্ন ক্ষেত্রে “সম্ভাবনা” শব্দটি ব্যবহার করছি। “ সম্ভাবনা কম বা বেশী” এই বাক্য দ্বারা সুস্পষ্টভাবে বোঝা যায় না কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার সম্ভাবনা ঠিক কতটুকু বেশী বা কম।
কিন্তু গণিতে সম্ভাব্যতা হচ্ছে কোন ঘটনা ঘটা বা না ঘটার গাণিতিক পরিমাপ।

চলো আমরা এবার সম্ভাব্যতা সম্পর্কে বিস্তারিত জেনে নিই।


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সত্য মিথ্যা যাচাই করো


সম্ভাব্যতার গাণিতিক সংজ্ঞা


 কোন বিষয় বা ঘটনার অনুকূল ফলাফলের ভিত্তিতে  তা ঘটা বা না ঘটার ব্যাপারে মন্তব্য করা হয়। যদি বেশীর ভাগ উপাদান ঐ ঘটনার অনুকূলে থাকে তাহলে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা বেশী অন্যথায় কম। সুতরাং কোন ঘটনার অনুকূল ফলাফল ও সম্ভাব্য সকল ফলাফলের অনুপাতই হচ্ছে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা।অর্থাৎ কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল উপাদান সংখ্যা / সম্ভাব্য মোট উপাদান সংখ্যা 

আমরা ইতিমধ্যে জেনেছি সম্ভাব্য সব উপাদান সংখ্যার সেটই হচ্ছে নমুনাক্ষেত্র।

মনে করি, কোন পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট নমুনা ক্ষেত্র S এবং S এর অধীনে A একটি  ঘটনা। A ঘটনার উপাদান সংখ্যা n(A) এবং S এর উপাদান সংখ্যা n(S) । A ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) দ্বারা সূচিত হলে

P(A) = A ঘটনার উপাদান সংখ্যা / S নমুনাক্ষেত্রের উপাদান সংখ্যা \(= \frac{n(A)}{n(S)}\)

i) P(A) এর মান সবসময় 0 এর চেয়ে বড় হবে।
ii) P(A) এর মান 0 এর চেয়ে ছোট ও 1 এর বড় হবে না।

উদাহরণ:
একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নমুনা ক্ষেত্র S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} এবং জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা A = {2, 4, 6}
n(A) = 3; n(S) = 6;

অতএব জোড় সংখ্যা ঘটার সম্ভবনা = A ঘটনার উপাদান সংখ্যা / S নমুনাক্ষেত্রের উপাদান সংখ্যা
\(= \frac{3}{6}= \frac{1}{2}\)


নমুনাক্ষেত্র তৈরি


যখন আমরা একটি ছক্কা নিক্ষেপ করি তখন আমরা সহজেই নমুনাক্ষেত্রে বের করতে পারি। কিন্তু আমরা যদি কোন পরীক্ষায় একাধিক ছক্কা নিক্ষেপ করি তাহলে নমুনাক্ষেত্রে কি হবে তা বের করা বেশ জটিল। যেসব পরীক্ষায় একসাথে একাধিক চেষ্টা করা হয় সেক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র বের করার কিছু নির্দিষ্ট পদ্ধতি আছে। চলো এবার আমরা সেসব পদ্ধতি সম্পর্কে জেনে নিই।


কার্তেসীয় গুণজ পদ্ধতি


যখন কোন পরীক্ষায় প্রতিবার দুই বা ততোধিক চেষ্টা একসাথে করা হয় তখন সংশ্লিষ্ট দুই বা ততোধিক নমুনাক্ষেত্র পাওয়া যায়। তখন প্রত্যেকটি নমুনাক্ষেত্রকে কার্তেসীয় পদ্ধতিতে গুণ করলে পরিক্ষাটির ক্ষেত্রে নমুনাক্ষেত্র পাওয়া যায়।
উদাহরণ:
মনে করি, কোন পরীক্ষায় প্রতিবার একাসাথে একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একসাথে নিক্ষেপ করা হয় তাহলে। তাহলে নমুনা ক্ষেত্র দুটি হবে {H, T} ও {1, 2, 3, 4, 5, 6}
তাহলে পরীক্ষাটির ক্ষেত্রে নমুনা ক্ষেত্র হবে S = {H, T} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
= {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}


আয়তাকার সারণিপদ্ধতি


আমরা একটি উদাহরণের সাহায্যে আয়তাকার সারণি পদ্ধতি ব্যাখ্যা করবো।

কোন পরীক্ষায় একসাথে দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। এবার আমরা এ পরীক্ষার ক্ষেত্রে আয়তাকার পদ্ধতিতে নমুনাক্ষেত্র বের করবো।

যেহেতু এখানে দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়েছে তাই এই পরিক্ষাটির নমুনা ক্ষেত্র মোট তিনটি নমুনাক্ষেত্রের সংযোগে গঠিত হবে। এখন আমরা প্রথমে দুটি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নিচের মতো করে নমুনাক্ষেত্র বের করবো।

এখানে, দুটি মুদ্রা নিক্ষেপে নমুনা ক্ষেত্র পাওয়া গেলো S = {HH, HT, TH, TT}

এখন আমরা দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নমুনা ক্ষেত্র বের করবো।

অতএব দেখা যাচ্ছে দুটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্র নমুনা ক্ষেত্র S = { HH1, HH2, HH3, HH4, HH5, HH6, HT1, HT2, HT3, HT4, HT5, HT6, TH1, TH2, TH3, TH4, TH5, TH6, TT1, TT2, TT3, TT4, TT5, TT6}


সম্ভাব্যতা ট্রি


সম্ভাব্যতা ট্রি দিয়ে শুরু থেকে যতগুলা ঘটনা ঘটা সবগুলা ট্রি’র মত ব্রাঞ্চিং করে দেখানো হয়। এখন আমরা একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপের পরীক্ষার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতা ট্রি টি দেখবো।

যেহেতু এখানে একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়েছে তাই এই পরিক্ষাটির নমুনা ক্ষেত্র মোট দুইটি নমুনাক্ষেত্রের সংযোগে গঠিত হবে। নীচে ট্রি ডায়াগ্রামের মাধ্যমে নমুনাক্ষেত্রটি দেখানো হলো।

এখানে দেখানো হয়েছে, প্রথমে একটি মুদ্রায় ফলাফল কি হতে পারে অর্থাৎ {Head, tail} এখন আবার প্রত্যেক Head ও tail এর জন্যে 1, 2, 3, 4, 5, 6 যেকোন কিছু ঘটতে পারে। কারণ ছক্কা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে নমুনা ক্ষেত্র {1, 2, 3, 4, 5, 6}। তাই Head ও tail প্রত্যেকটির ক্ষেত্রে ছয়টি করে শাখা বের হয়েছে।

অতএব এখানে নমুনাক্ষেত্রটি হবে S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}


নমুনাবিন্দু বের করার পদ্ধতি


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।
আমরা ইতিমধ্যে দেখলাম কীভাবে কোন পরীক্ষার সংশ্লিষ্ট সব নমুনাবিন্দু সহজে বের করা যায়। কিন্তু যখন নমুনাবিন্দুর সংখ্যা অনেক হয় সেক্ষেত্রে এসব পদ্ধতিতে নমুনাবিন্দু বের করা বেশ জটিল। আমরা এবার দেখবো কীভাবে সহজেই নমুনাবিন্দুর সংখ্যা বের করা যায়।

সম আকারের N তল বিশিষ্ট একটি বস্তুর তলগুলি স্বতন্ত্র বিন্দু বুঝালে বস্তুটি r বার নিক্ষেপ করলে পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের মোট বিন্দুর সংখ্যা \(n(S) = N^{r}\)। যেমন: একটি সুষম ছক্কায় সম আকারের 6 টি তল আছে। এখানে তলগুলি একেকটি স্বতন্ত্র বিন্দু। ধরা যাক, একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলো। এখানে, N = 6 ও r = 1 অতএব এক্ষেত্রে নমুনাবিন্দুর মোট সংখ্যা \(n(S) = 6^{1} = 6\)

→ দুইটি বস্তুর প্রত্যেকটির তল সর্বসম হলে \(N_{1}\) সংখ্যক তল বিশিষ্ট বস্তু \(r_{1}\) সংখ্যকবার ও \(N_{2}\) সংখ্যক তল বিশিষ্ট বস্তু \(r_{2}\) সংখ্যকবার একত্রে নিক্ষেপ করলে পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্রের মোট বিন্দুর সংখ্যা \(n(S) = N_{1}^{r^{1}}N_{2}^{r^{2}}\)। যেমন: একটি সুষম ছক্কায় সম আকারের 6 টি তল আছে ও একটি সুষম মূদ্রায় সম আকারের 2 টি তল আছে । এখানে তলগুলি একেকটি স্বতন্ত্র বিন্দু। ধরা যাক, একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলো। এখানে \(N_{1} = 6\) ও \(r_{1} = 1\)। \(N_{1} = 2\) ও \(r_{1} = 1\)। অতএব এক্ষেত্রে নমুনাবিন্দুর মোট সংখ্যা \( n(S) = 6^{1}×2^{1} = 6×2 =12\)

→ N সংখ্যক বস্তু হতে r সংখ্যক বস্তু পুনঃস্থাপন ব্যতিরেকে পরপর উত্তোলন করলে সৃষ্ট নমুনাক্ষেত্রের নমুনাবিন্দুর সংখ্যা \(n(S) = n_{C_{r}}\) ও পুনঃস্থাপন সহকারে উত্তোলন করলে সৃষ্ট নমুনাক্ষেত্রের নমুনাবিন্দুর সংখ্যা \(n(S) = N^{r}\)

উদাহরণ:

মনে করি, একটি পাত্রে 10 টি বল আছে। বল গুলো থেকে 4 টি বল পুনঃস্থাপন সহকারে তুললে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = \(10^{4}\) এবং পুনঃস্থাপন না করে তুললে নমুনাবিন্দুর সংখ্যা = \(10_{C_{4}}\)



পরস্পর বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার সংযোগ সূত্র


(i) দুইটি বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার সংযোগ সূত্র

বর্ণনা:

দুইটি বর্জনশীল ঘটনার যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের প্রত্যেকটি পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমান।

প্রমাণ:

মনে করি, কোন পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রের A ও B দুটি বর্জনশীল ঘটনা। A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) ও B ঘটনাটি ঘটার সম্ভাব্যতা P(B) ও দুটির যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cup B)\) । অতএব, প্রমাণ করতে হবে যে, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

A, B ঘটনা ও S নমুনাক্ষেত্রের উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে n(A), n(B) ও n(S)।

তাহলে সম্ভাব্যতার সংজ্ঞানুসারে বলা যায়, \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) ও \(P(B) = \frac{n(B)}{n(S)}\)

সেটের ধারনা হতে আমরা জানি,

\(n(A B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)\)

কিন্তু যেহেতু A ও B এখানে দুটি বর্জনশীল ঘটনা সেহেতু \(n(A \cap B) = 0\)

অতএব,

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) – 0\)

বা, \( \frac{n(A \cup B)}{n(S)}= \frac{n(A)}{n(S)} + \frac {n(B)}{n(S)}\) ( উভয়পক্ষকে n(S) দ্বারা ভাগ করে)

বা, \(\frac{n(A \cup B)}{n(S)}= P(A) + P(B)\)

এখানে,

\(P(A \cup B) = \frac {n(A \cup B)}{n(S)}=\) A ও B ঘটনা দুটির যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা

অতএব,

\(P(A \cup B) = p(A) + p(B)\)

উদাহরণ:

একটি ছক্কা নিক্ষেপণে জোড় ও বিজোড় উঠার ঘটনা পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা। জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা \(\frac{1}{3}\) ও বিজোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা \(\frac{1}{3}\)।

ছক্কা নিক্ষেপণে জোড় অথবা বিজোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা \(= \frac{1}{3} + \frac {1}{3} = \frac {2}{3}\)


(ii) n সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার সংযোগ সূত্র

প্রমাণ:

n সংখ্যক বর্জনশীল ঘটনার যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের প্রত্যেকটি পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমান।

প্রমাণ:

মনে করি, কোন পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রের \(A_{1}, A_{2}, A_{3} … , A_{n}\) পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা। প্রমাণ করতে হবে যে, \(P(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} … \cup A_{n}) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) … + P(A_{n})\)

\(A_{1}, A_{2}, A_{3} … , A_{n}\) পরস্পর বর্জনশীল ঘটনা, এদের মধ্যে কোন সাধারণ উপাদান নেই।

অতএব, \(n(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} … \cup A_{n}) = n(A_{1}) + n(A_{2}) + n(A_{3}) … + n(A_{n})\)

বা, \(\frac{n(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} … \cup A_{n})} {n(S)}= \frac{ n(A_{1})} {n(S)} + \frac {n(A_{2})}{n(S)} + \frac {n(A_{3})} {n(S)} … + \frac {n(A_{n})} {n(S)}\) ( উভয়পক্ষকে n(S) দ্বারা ভাগ করে)

বা, \(P(A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} … \cup A_{n}) = P(A_{1}) + P(A_{2}) + P(A_{3}) … + P(A_{n})\)


পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার সংযোগ সূত্র


বর্ণনা:

দুইটি অবর্জনশীল ঘটনার যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা তাদের প্রত্যেকটি পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার সমষ্টি থেকে তাদের একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতার বিয়োগফলের সমান।

প্রমাণ:

মনে করি, কোন পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রের A ও B দুটি অবর্জনশীল ঘটনা। A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) ও B ঘটনাটি ঘটার সম্ভাব্যতা P(B), দুটির যেকোনো একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cap B)\) এবং দুটির যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cup B)\) । অতএব, প্রমাণ করতে হবে যে, \(P(A \cup B) = p(A) + p(B) – P(A \cap B)\)

A, B ঘটনা ও S নমুনাক্ষেত্রের উপাদান সংখ্যা যথাক্রমে n(A), n(B) ও n(S)।

তাহলে সম্ভাব্যতার সংজ্ঞানুসারে বলা যায়, \(P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}\) ও \(P(B) = \frac{n(B)}{n(S)}\)

সেটের ধারনা হতে আমরা জানি,

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)\)

অতএব,

\(n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B)\)

বা, \(\frac{n(A \cup B)}{n(S)}= \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} – \frac{n(A \cap B)}{n(S)}\) ( উভয়পক্ষকে n(S) দ্বারা ভাগ করে)

বা, \(\frac{n(A \cup B)}{n(S)}= P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

এখানে, \(P(A \cup B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)}=\) A ও B ঘটনা দুটির যেকোনো একটি ঘটার সম্ভাব্যতা

\(P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} =\) A ও B ঘটনা দুটির একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা

অতএব,

\(P(A \cup B) = p(A) + p(B) – P(A \cap B)\)

উদাহরণ:

একটি ছক্কা নিক্ষেপণে জোড় ও তিন এর গুণিতক উঠার ঘটনা পরস্পর অবর্জনশীল ঘটনা। জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা \(\frac{1}{3}\) ও তিন এর গুণিতক উঠার সম্ভাব্যতা \(\frac{1}{2}\)। জোড় সংখ্যা ও তিন এর গুণিতক একত্রেউঠার সম্ভাব্যতা \(\frac{1}{2}\)।

ছক্কা নিক্ষেপণে জোড় অথবা তিন এর গুণিতক উঠার সম্ভাব্যতা \(= \frac{1}{3} + \frac{1}{2} – \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\)


সম্ভাব্যতার পূরক সূত্র


বর্ণনা:
যেকোনো দৈব পরীক্ষণে একটি ঘটনা ঘটা ও না ঘটার সম্ভাব্যতা 1

প্রমাণ:
মনে করি, কোন দৈব পরীক্ষার সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রের A ঘটনার পুরক ঘটনা A’। A ঘটনাটি ঘটার সম্ভাব্যতা P(A) ও A ঘটনাটি না ঘটার সম্ভাব্যতা P(A’)। প্রমাণ করতে হবে যে, P(A) + P(A’) = 1

যেহেতু A ঘটনার পূরক ঘটনা A’। অতএব, এদের মধ্যে কোন সাধারন উপাদান নেই।

তাই সেটের ধারনা হতে বলা যায়, \(n(A \cap A’) = 0; n(A \cup A’) = 1\)

সেটের ধারনা হতে আমরা জানি,

\(n(A\cup A’) = n(A) + n(A’) – n(A \cap A’)\)

অতএব,

n(A\cup A’) = n(A) + n(A’) – n(A\cap A’)

বা, \(n(A\cup A’) = n(A) + n(A’) – 0\)

বা, \(n(A\cup A’) = n(A) + n(A’)\)

বা, \( \frac{n(A \cup A’)}{n(S)}= \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(A’)}{n(S)}\) ( উভয়পক্ষকে n(S) দ্বারা ভাগ করে)

বা, \(P(A \cup B) = P(A) + P(A’)\)

বা, \(P(A) + P(A’) = 1\)

উদাহরণ:

একটি ছক্কা নিক্ষেপণে জোড় সংখ্যা উঠা ও জোড় সংখযা না উঠার ঘটনা পূরক ঘটনা। জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা 13

জোড় সংখ্যা না উঠার সম্ভাব্যতা \(= 1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)


শর্তাধীন সম্ভাব্যতা


কোন পরীক্ষণে যদি একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতা অন্য কোনো ঘটনা পূর্বে ঘটেছে তার উপর নির্ভর করে তবে ঐ ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতাকে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বলে।

মনে করি, কোনো দৈব পরীক্ষণে সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রে A ও B দুইটি ঘটনা। B ঘটনাটি A ঘটনার পূর্বে ঘটেছিল। যদি A ঘটনাটি ঘটা B এর উপর নির্ভর করে তাহলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতাকে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা বলে। একে P(A/B) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

এক্ষেত্রে,

B ঘটনাটি A ঘটনার পূর্বে ঘটেছিল এই শর্তে নমুনাক্ষেত্রের উপাদান সংখ্যা n(S) থেকে কমে হবে n(B)

B ঘটনাটি ঘটেছে এই শর্তে A ঘটনা ঘটবে তার অনুকূলে ফলাফল সংখ্যা \(= n(A\cap B)\)

অতএব,

\(P(A/B) = \frac{n(A\cap B)}{n(B)} = \frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}\) ( লব ও হরকে n(S) দ্বারা ভাগ করে)

\(= \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)

উদাহরণ:

মনে করি, একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা উঠা ও তিন এর গুণিতক উঠা দুটি ঘটনা। এবার আমরা জোড় সংখ্যা উঠেছে এই শর্তে তিন এর গুণিতক সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা বের করবো।

মনে করি,
জোড় সংখ্যা উঠার ঘটনা = A
তিন এর গুণিতক সংখ্যা উঠার ঘটনা = B
জোড় সংখ্যা উঠেছে এই শর্তে তিন এর গুণিতক সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা = P(B/A)

এক্ষেত্রে,
নমুনাক্ষেত্র n(A) = 3
ঘটনার অনুকূলে ফলাফল \(n(A \cap B) = 1\)

\(P(B/A) = \frac{n(A\cap B)}{n(A)} = \frac{1}{3}\)


দুইটি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার গুণন সূত্র


বর্ণনা:

দুইটি অনির্ভরশীল ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা প্রত্যেকটি পৃথকভাবে ঘটার সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান। অর্থাৎ A ও B দুইটি স্বাধীন ঘটনা হলে A এবং B দুইটি একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cap B)= P(A).P(B)\)

প্রমাণ:

মনে করি, \(E_{1}\) কোন দৈব পরীক্ষণে \(S_{1}\) নমুনাক্ষেত্রের অধীনে A একটি স্বাধীন ঘটনা এবং \(E_{2}\) কোন দৈব পরীক্ষণে \(S_{2}\) নমুনাক্ষেত্রের অধীনে B একটি স্বাধীন ঘটনা। \(S_{1}, S_{2}\), A ও B এর উপাদান সংখ্যা \(n(S_{1}), n(S_{2}) , n( A)\) ও \(n(B)\)

\(P(A) = \frac{n( A)}{n(S_{1})} ; P(B) = \frac{n( B)}{n(S_{2})}\)

যেহেতু A ও B দুটি ঘটনা একসাথে ঘটে তাই নমুনা ক্ষেত্রের মোট উপাদান সংখ্যা \(= n(S_{1}) .n(S_{2})\)

A ও B দুইটি ঘটনা একত্রে ঘটলে যে যৌগিক ঘটনা \(A \cap B\) সৃষ্টি করবে তার উপাদান সংখ্যা \(n(A \cap B)= n( A).n(B)\)

A ও B দুইটি ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cap B) = \frac{n( A).n(B)}{n(S_{1}) .n(S_{2})} = P(A).P(B)\)

উদাহরণ:

মনে করি, কোন পরীক্ষায় একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়েছে। এবার আমরা ছক্কায় জোড় সংখ্যা ও মুদ্রায় হেড একত্রে উঠার সম্ভাব্যতা বের করবো।

ছক্কায় জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা = \(\frac{1}{3}\)

মুদ্রায় হেড উঠার সম্ভাব্যতা = \(\frac{1}{2}\)

ছক্কায় জোড় সংখ্যা ও মুদ্রায় হেড একত্রে উঠার সম্ভাব্যতা \(= \frac{1}{2}× \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)


দুইটি অধীন ঘটনার ক্ষেত্রে সম্ভাব্যতার গুণন সূত্র


বর্ণনা:

দুইটি অধীন ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা যেকোনো একটির শর্তহীন সম্ভাব্যতা ও অপরটির শর্তাধীন সম্ভাব্যতার গুণফলের সমান। অর্থাৎ A ও B দুইটি অধীন ঘটনা হলে A এবং B দুইটি একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা \(P(A \cap B)= P(A).P(B/A)\) অথবা \(P(A \cap B)= P(B).P(A/B)\)

প্রমাণ:
মনে করি, কোনো দৈব পরীক্ষণে সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রে A ও B দুইটি ঘটনা। B ঘটনাটি A ঘটনার পূর্বে ঘটেছিল। যদি A ঘটনাটি ঘটা B এর উপর নির্ভর করে তাহলে A ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতাকে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা = p(A/B) ।
এক্ষেত্রে,

\(p(A/B) = P(A \cap B)P(B)\)

বা, \(P(A \cap B) = P(B). P(A/B)\)


আবার মন করি, কোনো দৈব পরীক্ষণে সাথে সংশ্লিষ্ট S নমুনাক্ষেত্রে A ও B দুইটি ঘটনা। A ঘটনাটি B ঘটনার পূর্বে ঘটেছিল। যদি B ঘটনাটি ঘটা A এর উপর নির্ভর করে তাহলে B ঘটনা ঘটার সম্ভাব্যতাকে শর্তাধীন সম্ভাব্যতা = p(B/A) ।

এক্ষেত্রে,

\(p(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)

বা, \(P(A \cap B) = P(A). P(B/A)\)

উদাহরণ:

মনে করি, একটি ছক্কা নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা উঠা ও তিন এর গুণিতক উঠা দুটি ঘটনা। এখানে তিন এর গুণিতক সংখ্যা উঠা জোড় সংখ্যা উঠার উপর নির্ভর করে। এবার দুটি ঘটনা একত্রে ঘটার সম্ভাব্যতা বের করবো।

মনে করি,
জোড় সংখ্যা উঠার ঘটনা = A
জোড় সংখ্যা উঠেছে এই শর্তে তিন এর গুণিতক সংখ্যা উঠার সম্ভাব্যতা = P(B/A)
এক্ষেত্রে,
\(P(A) = \frac{1}{3}\)
\(P(B/A) = \frac{1}{3}\)
\(P(A \cap B) = P(A) × P(B) = \frac{1}{3} × \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\)



সঠিক উত্তরে ক্লিক করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা সম্ভাবনা (তত্ত্বীয় অংশ) সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।