Uncategorized

সরল ছন্দিত গতি, সরল দোলন গতি সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশি

প্লেটুনাস ছায়াপথের একটি ছোট গ্রহে নিফ্রিটের বসবাস। নিফ্রিটের ক্ষুদ্র মনে একটা মস্ত বড় কষ্ট, সে তার জীবনে অন্য কোন গ্রহ দেখেনি, তাই এবার জন্মদিনে দাদার কাছে আবদার করে বসল, সে অন্য এক ছায়াপথের এমন এক গ্রহে যাবে যেখানে কিনা তার গ্রহের মতই প্রাণ আছে!! দাদাও সাথে সাথে রাজি।

দাদা-নাতি তাদের স্পেসশিপে প্রচন্ড দ্রুত বেগে ভ্রমণ করে পৌঁছে গেল পৃথিবী নামের এক গ্রহে। পৃথিবীতে এসে নিফ্রিট অবাক! একি? সে হিসাব করে দেখল তার গ্রহের তুলনায় প্রায় অর্ধেক সময়ে পৃথিবীতে নতুন সূর্যোদয় হয়…!!!!

এমনটা কেন হয় বলতে পার? চলো এ বিষয়ে একটু আলোচনা করা যাক।

পৃথিবী নামের গ্রহটি নিজ অক্ষ বরাবর ঘুরে বলে তার একটি নির্দিষ্ট স্থান একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর সূর্যের মুখোমুখি হয় আর তখনই সেখানে সূর্যোদয় হয়। পৃথিবীর এই গতি একটি পর্যাবৃত্ত গতি। আর সেই নির্দিষ্ট সময়টি হল তার পর্যায়। তোমরা কি এখন অনুমান করতে পারছ যে পৃথিবীর পর্যায় নিফ্রিটের গ্রহটির পর্যায়ের অর্ধেক?

বন্ধুরা চলো, আমরা এখন পর্যাবৃত্ত গতি এবং পর্যাক্রম সম্পর্কে আরেকটু জানার চেষ্টা করি। তোমরা কি কেও periodicity শব্দটা থেকে তার অর্থ অনুমান করতে পারছ? আমি একটু তোমাদের সাহায্য করি। যখন কোন ঘটনা বা ফাংশন বা তোমার পরিচিত যেকোন রাশি পুনরাবৃত্ত​ বা repeat হয় তখন তাকে পর্যাবৃত্ত বা periodic বলা হয় আর এ পুনরাবৃত্তি বা repetition কে বলা হয় পর্যাক্রম বা periodicity। তোমরা নিশ্চয়ই ‘period’ শব্দটি ‌‌আগেও শুনেছ। তোমাদের স্কুল বা কলেজে টোটাল ক্লাস টাইমটা কতগুলো period এ বিভক্ত থাকে। এই period টা আসলে কি? একটি ক্লাসের জন্য বরাদ্দ সময় বা দুটো ক্লাসের মধ্যবর্তী সময় বা দুটো ক্লাস শুরু হওয়ার মাঝখানের সময়টা, অর্থাৎ দুটো একই রকম ঘটনার মধ্যবর্তী সময়। তাহলে শব্দটা আর তার অর্থ তোমাদের আগে থেকেই জানা ছিল…!!! আমরা আরেকটু সহজভাবে চিন্তা করি:

তোমার সহপাঠী অন্তু প্রায়ই ক্লাস ফাঁকি দিয়ে তোমাদের স্কুলের মাঠে খেলতে চলে যায়। অন্তুকে নিয়ে তোমার ও তোমার বাকি বন্ধুদের চিন্তার শেষ নেই, ছেলেটার কপালে যে কবে স্যারের বকুনি জুটে যায়! একদিন তা-ই হল। ফিজিক্স স্যার মাঠের সামনে দিয়েই যাচ্ছিলেন, অন্তু তো একদম হাতেনাতে ধরা!!

স্যার অন্তুকে শাস্তি হিসেবে মাঠের ABCDA পথে দশবার চক্কর দিতে বললেন। স্যার A বিন্দুতেই দাঁঁড়িয়ে থাকলেন। নিরুপায় অন্তু এবার চক্কর দিতে শুরু করল। A বিন্দু থেকে অন্তু ABCDA পথ পরিভ্রমণ করে আবারো A বিন্দুতে স্যারের কাছে ফিরে আসে, এরপর সে আবারো ABCDA পথ পরিভ্রমণ করে, অন্তুর এ বিশেষ ধরনের গতি যাতে কিনা সে বারবার একই বিন্দুতে ফিরে আসছে, এরই নাম হলো পর্যাবৃত্ত গতি বা periodic motion। চলো বন্ধুরা পর্যাবৃত্ত গতির কিছু উদাহরণ দেখে নিই:

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।

পর্যাক্রম বা periodicity দু’ধরনের হয়ে থাকে।

১। স্থানিক পর্যাক্রম বা spatial periodicity
২। কালিক পর্যাক্রম বা temporal periodicity

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।


স্থানিক পর্যাক্রম বা spatial periodicity


খেয়াল কর আগের উদাহরণটিতে অন্তু কিন্তু তা-ই করছে, সে তার গতিপথের নির্দিষ্ট যেকোন বিন্দুকে একই দিক থেকে অতিক্রম করছে, কিন্তু দেখ, আমি কিন্তু উদাহরণটিতে সময়ের কথা উল্লেখ করিনি। সুতরাং, স্থানিক পর্যাবৃত্ত গতি হতে হলে অবশ্যই অন্তুকে একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর A বা অন্য যেকোন বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে ঠিক একই বিন্দুতে ফিরে আসতে হবে। তাহলে ‘spatial’ শব্দটি ‘space’ শব্দ থেকে আসলেও স্থানিক পর্যাক্রম বা spatial periodicity তে কিন্তু সময়ও গুরুত্বপূর্ণ। তাহলে তোমার বন্ধু তানজিম আর তুমি প্রতিদিন একই জায়গায় ফুটবল খেললে তবে একেকদিন একেক সময় অন্তর অন্তর, এই ইভেন্টটা কিন্তু স্থানিক পর্যাক্রমের মধ্যে পরবে না!

আমরা কি পরিশেষে বলতে পারি যে স্থানিক পর্যাক্রম অবস্থান (x) এবং সময় (t) এর ফাংশন? অর্থাৎ,

\(y=A\ sin(x,t)\)

এখানে কেন sine ফাংশন ব্যবহৃত হল তা আমরা একটু পরেই দেখব।

এ পর্যায়ে এসে একটা কথা জেনে রাখা ভালো যে অন্তুর একই পথে বারবার বিশেষভাবে হেঁটে পর্যাবৃত্ত গতি প্রদর্শন বা পিঁপড়ার গতি, ইত্যাদি ঘটনা সাধারণত পারফেক্ট পর্যাবৃত্ত গতি হবে না কারণ এসব ক্ষেত্রে সময়(পর্যায়কাল) বা নির্দিষ্ট যাত্রাপথ সেভাবে মেইন্টেন করা যায় না।

আরো কিছু উদাহরণের জন্য এই ছবিটি দেখি

(+) চিহ্নিত স্থানে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


কালিক পর্যাক্রম বা temporal periodicity


যদি কোন ঘটনা নির্দিষ্ট সময় পরপর ফেরত আসে বা কোন রাশি নির্দিষ্ট সময় পরপর একই মান গ্রহণ করে তবে তাকে আমরা কালিক পর্যাক্রম বা temporal periodicity তে ফেলব। অর্থাৎ, এখানে পুনরাবৃত্তি হবে শুধুমাত্র সময়ভিত্তিক।

মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


OSCILLATORY MOTION বা স্পন্দন গতি


ড্রপ ডাউনে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

আমরা বেচারা অন্তুর উদাহরণটাতে ফিরে যাই:

তোমাদের জন্য একটা প্রশ্ন :

ওপরের চিত্রে অন্তুর গতি কি স্পন্দন গতি? (ধরে নাও অন্তু সময় মেইন্টেন করতে পারলো) উত্তর হল-”না”। কারণ, অন্তু কিন্তু প্রতিবার ABCA পথেই ঘুরছে।

এবার বলো, ওপরের scenario টা কিভাবে পরিবর্তন করলে গতিটা স্পন্দন গতিতে রূপান্তর করা সম্ভব?

এবার উত্তর মিলিয়ে নাও

অন্তু ছয়বার চক্কর দিতেই বোর্ড হয়ে গেল, কিন্তু দূরন্ত অন্তু ক্লান্ত হল না, সে স্যারকে অনুরোধ করল বাকি চারটা চক্কর সে একটু ভিন্নভাবে দিতে চায়।

সে প্রথমে A → B → D এবং D বিন্দুতে পৌঁছে D → B → A route অবলম্বন করে। হয়ে গেল একটা চক্কর

এরপর সে এ দুটো কাজ করে:

আরেকটা চক্কর হয়ে গেল। এরপর, সে এই পর্যন্ত যা করল তা আরও একবার করে – ব্যাস ! হয়ে গেল চারটা চক্কর। অন্তুর শাস্তি শেষে স্যার অন্তুকে জিজ্ঞাসা করলেন- “বলতো অন্তু, তোমার শেষে চারটার একেকটা চক্কর একেকটা স্পন্দন গতির সাইকেল ছিল কিনা?” অন্তু একটু চিন্তা করল আর এরপর ঠিক ঠিক উত্তর দিল যে তার শেষের চক্কর একেকটা স্পন্দন গতির সাইকেল ছিল না তবে দু’টো মিলে একটা সাইকেল ছিল। কারণ স্পন্দন গতি হতে গেলে, চক্করের অর্ধেক সময় একদিকে এবং বাকি অর্ধেক তার বিপরীত দিকে গতিশীল হতে হয়। অন্তুর উত্তরে স্যার সন্তুষ্ট হলেন এবং তাকে ক্লাসে যাওয়ার অনুমতি দিলেন।

উদাহরণ:

১। সরল দোলকের গতি
২। কম্পমান সুরশলাকার গতি
৩। গিটারের স্ট্রিং-এর গতি


কালিক পর্যাক্রম বা temporal periodicity


যদি কোন ঘটনা নির্দিষ্ট সময় পরপর ফেরৎ আসে বা কোন রাশি নির্দিষ্ট সময় পরপর একই মান গ্রহণ করে তবে তাকে আমরা কালিক পর্যাক্রম বা temporal periodicity তে ফেলব। অর্থাৎ, এখানে পুনরাবৃত্তি হবে শুধুমাত্র সময়ভিত্তিক।

বন্ধুরা, তোমরা এখন পর্যন্ত জানলে যে স্পন্দন গতি হল পর্যাবৃত্ত গতির একটি subset। চলো, এখন আমরা স্পন্দন গতির একটি subset → সরল ছন্দিত গতি(/স্পন্দন) সম্পর্কে জানি-


সরল ছন্দিত গতি(স্পন্দন)


স্পন্দন গতির অতিরিক্ত সরল ছন্দিত গতি এ নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো থাকে।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


সত্য মিথ্যা যাচাই করো




সরল দোলন গতি সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশি
(DIFFERENT QUANTITIES RELATED TO SIMPLE HARMONIC MOTION)


ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত

বন্ধুরা, আমরা আগেই দেখেছি সরল ছন্দিত গতির জন্য,

\(F=-kx\)

\(ma= -kx\)

\(a=- \frac{kx}{m}\)

\(a=- \omega^{2}x\) \([ \omega^{2}= \frac{k}{m}]\)

এখানে \(k\) এবং \(m\) ধ্রুবক, তাই তাদের অনুপাতকে আরেকটি ধ্রুবক, \( \omega^{2}\) দিয়ে প্রকাশ করা যায়। হল সরল ছন্দিত গতির কৌণিক কম্পাঙ্ক যা হল সময়ের সাথে দশার পরিবর্তনের হার। তাহলে, 2π দশার পরিবর্তন দ্বারা একটি পূর্ণ স্পন্দন বোঝানো হয় আর একটা পূর্ণ স্পন্দনের জন্য যে সময় লাগে তা-ই T। তাহলে,

T সময়ে দশার পার্থক্য হয় 2π একক সময়ে দশার পার্থক্য হয় \(\frac{2π}{T}\)(হার)

তাই, \(\omega =\frac{2π}{T}\)

\( \Rightarrow (T= \frac{2π}{\omega}\)

কিন্তু, \( \Rightarrow \omega^{2}= \frac{k}{m}\)

\( \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

তাহলে, পর্যায়কালের (T) সমীকরণটি হল:

\(T=2π \sqrt{ \frac{m}{k}}\) ; এখানে m হল বস্তটির ভর।


কম্পাঙ্ক

একক সময়ে যতগুলো পূর্ণ কম্পন সংঘটিত হয় তাকে বলা হয় কম্পাঙ্ক।

t সময়ে পূর্ণ কম্পন সংঘটিত হয় N সংখ্যক
সুতরাং, একক সময়ে পূর্ণ কম্পন সংঘটিত হয় \(\frac{N}{t}\) সংখ্যক

সুতরাং, কম্পাঙ্ক, \(f= \frac{N}{t}= \frac{1}{2π} \sqrt{ \frac{k}{m}}= \frac{1}{T}= \frac{ \omega}{2π}\)


বিস্তার

সাম্যাবস্থা থেকে যেকোন দিকে কণা যে সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে বিস্তার বলে। আবার সাম্যাবস্থা থেকে যেকোন দিকে কণা যে সর্বোচ্চ কৌণিক দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে কৌণিক বিস্তার বলে। একটি সরল দোলকের সর্বোচ্চ 4 কৌণিক বিস্তার হতে পারে।

তাহলে বিস্তার কিন্তু একটা ধ্রুবক মান। তবে আমরা কিন্তু বাস্তবে এমনটা দেখি না…!!! একটি স্প্রিং-এর এক প্রান্তকে ছাদের সঙ্গে আর অন্য প্রান্তে একটি ভর ঝুলিয়ে দিলে সিস্টেমটি সরল ছন্দিত স্পন্দন প্রদর্শন করে। কিন্তু এ গতি কি অসীমকাল পর্যন্ত চলতে থাকে? না, কিছুক্ষণ পরেই সিস্টেমটি স্থির হয়, আর স্থির হওয়ার আগে প্রতি কম্পনে বিস্তার কমতে থাকে। এ সম্পরকে আরও জানতে চাইলে তোমরা “Damping in simple harmonic oscillation” লিখে সার্চ করতে পারো।


দশা

দশা হলো এমন একটি রাশি যা থেকে যেকোন মুহূর্তে একটি কণার গতির সম্যক অবস্থার ধারণা পাওয়া যায়, অর্থাৎ কণাটির সরণ, বেগ, ত্বরণ, শক্তি, ইত্যাদি সম্বন্ধে ধারনা পাওয়া যায়।


কৌণিক কম্পাঙ্ক

সময়ের সাথে দশার পরিবর্তনের হারকে কৌণিক কম্পাঙ্ক \(( \omega)\) বলে।

T সময়ে দশার পার্থক্য হয় 2π একক সময়ে দশার পার্থক্য হয় \(\frac{2π}{T}\)(হার)

তাই, \(\omega= \frac{2π}{T}\)


সরণ

যেকোন সরল ছন্দিত গতি প্রদর্শনকারী কণার সরণ (y) নিচের সমীকরণটি মেনে চলবে :

\(y=A(\omega t+δ)\)

চলো আমরা এই ছবিটি দেখে নেই।

নিফ্রিটের উদাহরণটিতে আমরা দেখলাম যে গ্রহের গতিও কিন্তু পর্যাবৃত্তিক। জিফটিতে বৃত্তাকার পথের ওপর অবস্থিত লাল বলটিকে যদি আমরা একটি গ্রহের ন্যায় চিন্তা করি (এখানে বলটির পর্যায় যদিও গ্রহের তুলনায় অনেক কম) আর নিচের সরলরেখার ওপর গ্রহের ছায়া ফেলি তাহলে ছায়াটির গতি হবে সরলরেখার ওপর নীল বলটির মত। গ্রহটার (লাল বলটা) দিকে খুব ভাল করে তাকাও, গ্রহটা কিন্তু সমকৌণিক বেগে বৃত্তাকার পথে ঘুরছে। আর তার যে ছায়া-নীল রঙ এর বলটা ডানে-বামে সরল ছন্দিত স্পন্দনে স্পন্দিত হচ্ছে। তাহলে গ্রহটির গতি বৃত্তীয় আর ছায়াটির গতি সরল ছন্দিত গতি। সুতরাং, বৃত্তীয় এবং সরল ছন্দিত গতি ওতপ্রোতভাবে জড়িত। তাহলে এবার এই জিফটি দেখ

তোমরা কি বামপাশের বৃত্তের ন্যায় অংশটাকে একটা ঘড়ির মত চিন্তা করতে পারছ? যদি তা পেরে থাক তাহলে কি ঘড়ির ভেতরে একটা কাটা দেখতে পারছ (যা সমকৌণিক বৃত্তাকার গতি প্রদর্শন করছে)? একটু ভালো করে এবার ছবির ডান ও বাম পাশের অংশ দুটোকে মিলিয়ে দেখ, ঠিক আগের ছবির মতই এখানে ঘড়ির কাটার ঠিক মাথায় একটা বল চিন্তা করলে তার ছায়াই (লাল বলটা) কিন্তু তোমরা ছবির ডানপাশের অংশে দেখতে পারছ। ছায়ার গতি কিন্তু একটা সাইন ওয়েভ। তুমি যদি কখনো নিজে এরকম ছায়া ফেলে দেখার চেষ্টা কর, ধর একটা টর্চ লাইটের সাহায্যে, তুমিও এরকম সাইন ওয়েভই দেখবে…!!! ব্যাপারটা দারুণ, তাই না?
এবার নিচের চিত্রটি দেখ:

একটি পিঁপড়া কোন এক অজ্ঞাত কারণে O বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করে এই বৃত্তাকার পথে হাঁঠতে থাকল। যাত্রার কোন এক পর্যায়ে এসে সে P বিন্দুতে পৌঁছাল, যদি O বিন্দু যে সরলরেখায় অবস্থিত অর্থাৎ OB রেখাটি পিঁপড়াটির গতির সাম্যাবস্থা হয় তাহলে পিঁপড়াটির সরণ (সাম্যাবস্থা থেকে) নিশ্চয়ই PQ আমি এখন নিচের সমীকরণটি লিখলাম, তোমরা দেখত সমীকরণটি ঠিক লিখলাম কিনা:

\( \theta = \omega t\)

যদি সমীকরণটি না চিনে থাক তাহলে আমি একটু মনে করিয়ে দেই- আমরা এই সূত্রটা কৌণিক বেগের সূত্র থেকে জানি, তাহলে সরল ছন্দিত গতিতে কেন এর প্রয়োগ? আমরা একটু আগেই দেখেছি যে বৃত্তীয় গতির সাথে সরল ছন্দিত গতির একটা সম্পর্ক আছে আর \(\omega\) যা কিনা বৃত্তীয় গতিতে কৌণিক বেগ ছিল, সরল ছন্দিত গতির ক্ষেত্রে তা হল কৌণিক কম্পাংক।

এখন ত্রিকোণমিতিক সূত্র থেকে যেমন তেমনি একটু আগে যে চিত্রে আমরা সাইন ওয়েভ দেখলাম তার ধারণা থেকে আমরা লিখতে পারি-

সরণ = \(PQ=y=A\ sin \theta = A\ sin \omega t\) \([ \theta = \omega t ]\)

যেখানে, A = বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ = বিস্তার
মনে রাখবে, সরণ কিন্তু সবসময় সাম্যাবস্থা থেকে ধরা হবে।

কিন্তু বন্ধুরা, পিঁপড়াটি কিন্তু তোমার সুবিধা মত চলবে না, ধর সে সাম্যাবস্থার সঙ্গে কোণ উৎপন্ন করে যাত্রা শুরু করেছিল, তাহলে এখন নিচের চিত্রটি দেখি:

এ ক্ষেত্রে, \(\angle OCP= \omega t+ δ\)

তাহলে, সরণ: \(PQ=y=A( \omega t+ δ)\)

এখানে,
y = সরল ছন্দিত গতি প্রদর্শনকারী কণার t সময়ে সরণ

A = বিস্তার

\(\omega\) =কৌণিক কম্পাঙ্ক

δ = আদি দশা (যখন সময় গণনা শুরু হয়েছে তখনকার দশা)

\((\omega t +δ)\)= দশা

সমীকরণটি নিয়ে এখনো ক্লিয়ার না হলে এই ভিডিওটি দেখে নাও:


বেগ

বেগের সমীকরণটি আমরা সরণকে অন্তরীকরণ করে পেতে পারি :

\(y=A\ sin (\omega t + δ)\)

\( \frac{dy}{dt}= A\ cos ( \omega t+ δ)× \omega\)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dt}=v= \omega A\ cos (\omega t+δ)\)


ত্বরণ

ত্বরণের সমীকরণটি পাওয়ার জন্য বেগকে অন্তরীকরণ করে পাই,

\(v= \omega A\ cos (\omegat+δ)\)

\( \Rightarrow \frac{dv}{dt}=a=- \omega A( \omega t+δ)\)

\(a= – \omega^{2} A\ sin(\omega t+ δ)\)

বেগ এবং ত্বরণ কখন সর্বোচ্চ আর কখন সর্বনিম্ন হবে তা সহজে বোঝার জন্য ধরে নিলাম δ=0। তাহলে,

\( y=A\ sin\ \omega t\)

\(v= \omega A\ cos\ \omega t\)

\(a= – \omega^{2} A\ sin\ \omega t\)

লক্ষ করে দেখ, যখন সরণ শূণ্য (যেমন যখন t=0) তখন বেগ সবচেয়ে বেশি \(( \omega A)\) এবং ত্বরণ শূণ্য। আবার যখন সরণ সর্বাধিক \(( y=A=\) বিস্তার ; যখন \( \omega t= \frac{π}{2})\), তখন বেগ শূণ্য এবং ত্বরণের মান সর্বাধিক কিন্তু ঋণাত্মক \((- \omega^{2}A)\) । অর্থাৎ ত্বরণ ও সরণ সমানুপাতিক কিন্তু বিপরীত দিকে কাজ করে, যা সরল ছন্দিত গতির প্রধান বৈশিষ্ট্য।

সমীকরণ দুটো সম্বন্ধে আরও জানতে চাইলে এবং ASSESSMENT অংশে ভালো করার জন্য এই ভিডিওটি দেখে নাও:


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


বন্ধুরা, আশা করি আমাদেরকে এখন থেকে পর্যাবৃত্ত গতি, স্পন্দন গতি, সরল ছন্দিত গতি আসলে কি তা নিয়ে আর ভাবতে হবে না। টপিকগুলোর মূল বিষয়টা যেহেতু ধরে ফেলেছি, এখন থেকে নিজ থেকেই এই টপিকটি আরও এক্সপ্লোর করব। তোমাদের সবার জন্য রইলো 10 Minute School এর পক্ষ থেকে শুভেচ্ছা!