জটিল সংখ্যার ধর্মাবলি, জটিল সংখ্যার যোগ বিয়োগ ও গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

তোমাদের অনেকের মনেই হয়তো এতদিনে এই প্রশ্নটি জেগেছে যে, জটিল সংখ্যার মধ্যে কাল্পনিক অংশ আছে, আমরা কোনো রাশিকে কল্পনা করে নিয়ে এত কিছু শিখছি কেন, এর বাস্তব প্রয়োগ আদৌ আছে কিনা, আর থাকলেও সেটা কোথায়!
আসলে জটিল সংখ্যার মধ্যে আমরা কল্পনা করে কোনো ধ্রুবক স্থাপন করলেও তা কিন্তু আন্দাজে বসানো হয়নি, এটা সম্পূর্ণভাবে লজিক বা যুক্তির উপর নির্ভর করে উপস্থাপন করা হয়েছে, যে লজিকের কোথাও কোনো ছেদ এখনও পাওয়া যায়নি।
মনে করো, কোনো একটি এলাকায় 1000 জন মানুষ বসবাস করে, যার মধ্যে 259 জন শিশু। আবার অন্য এক এলাকায় 550 জন বসবাস করে যার মধ্যে 145 জন শিশু। এখন, জনপ্রতি কোন এলাকায় কত বেশি শিশু আছে, এটা হিসাব করতে আমরা এলাকায় মোট শিশু এবং মোট মানুষের অনুপাত নিই। প্রথম এলাকায় 259/1000 = 0.259 শিশু থাকে জনপ্রতি। আর দ্বিতীয় এলাকায় 145/550 = 0.264 শিশু থাকে জনপ্রতি। তাহলে দ্বিতীয় এলাকায় শিশু থাকার হার বেশি। এইযে একটি হিসাব করা হল মানুষের ভগ্নাংশ দ্বারা, এটা কী বাস্তব হিসাব? অবশ্যই না, কারণ কোনো মানুষকে ভগ্নাংশে হিসাব করা যায় না, মানুষের সংখ্যা স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number)
। কিন্তু আমরা নিজেদের সুবিধার্থে অনুপাতের মাধ্যমে বা ভগ্নাংশে শিশুর সংখ্যা হিসাব করেছি। তেমনিভাবে বিজ্ঞানী বা গণিতবিদগণ বা ইঞ্জিনিয়াররা নিজেদের বিভিন্নকাজের সুবিধার্থে জটিল সংখ্যা ব্যবহার করে থাকেন। এটি সম্পূর্ণ বাস্তব বিষয় নয়, কিন্তু যুক্তিযুক্ত কল্পনা, যার মাধ্যমে বিভিন্ন সমস্যার সমাধান করা যায় সহজেই।

জটিল সংখ্যার ব্যবহার রয়েছে গণিত ও বিজ্ঞানের বিভিন্ন শাখায়, যেমন: তাড়িতচৌম্বকত্ব (Electromagnetism), সিগন্যাল প্রোসেসিং (Signal Processing), ফ্লুয়িড ডায়নামিক্স (Fluid Dynamics), কোয়ান্টাম মেকানিক্স (Quantam Mechanics)। এছাড়াও ইলেকট্রিক্যাল ইঞ্জিনিয়ারদের বিভিন্ন সার্কিট সমাধানে জটিল সংখ্যার নানা ধারণা ব্যবহার করা লাগে।

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


উপরের চিত্রটি লক্ষ্য করো। এই Argand Diagram এ ছয়টি জটিল সংখ্যার জ্যামিতিক প্রতিরূপতা দেখানো হয়েছে।


দুইটি জটিল সংখ্যার যোগফলের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric Representation of the Addition of Two Complex Numbers)


মনে করি, আর্গন্ড চিত্র (Argand Diagram) তে \(P(x_{1}.y_{1})\) ও \(Q(x_{2}.y_{2})\) দুইটি জটিল সংখ্যার \(z_{1} = x_{1} + i.y_{1}\) এবং \(z_{2} = x_{2} + i.y_{2}\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ। এখন তোমরা \((z_{1} + z_{2})\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখবে।

বাস্তব অক্ষ ও কাল্পনিক অক্ষ পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। OP এবং OQ কে সন্নিহিত বাহু ধরে OPRQ একটি সামান্তরিক অঙ্কন করা হল। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করে। এখানে আমরা কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার মতো করেই একটি রেখাংশ এর মধ্যবিন্দু নির্ণয় করবো। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় এদের ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয় বলে PQ এর মধ্যবিন্দু M এর স্থানাংক \((\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)। সামান্তরিকের অপর কর্ণ OR এরও মধ্যবিন্দু M \((\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2})\)

∴ R এর স্থানাংক \((\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\times2,\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\times2)≡ (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\)

সুতরাং, R বিন্দুটি জটিল সংখ্যা \((x_{1}+x_{2}) + i.(y_{1}+y_{2})\), অর্থাৎ \((z_{1}+z_{2})\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ।


দুইটি জটিল সংখ্যার বিয়োগের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric Representation of the Subtraction of Two Complex Numbers)

মনে করি, আর্গন্ড চিত্র (Argand Diagram) তে \(P(x_{1},y_{1})\) ও \(Q(x_{2},y_{2})\) দুইটি জটিল সংখ্যার \(z_{1}=x_{1}+i.y_{1}\) এবং \(z_{2}=x_{2}+i.y_{2}\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ। এখন তোমরা \((z_{1}-z_{2})\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখবে।

বাস্তব অক্ষ ও কাল্পনিক অক্ষ পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করেছে। OQ কে নিচের দিকে Q’ পর্যন্ত বর্ধিত করা হল যেন OQ = OQ’ হয়। তাহলে, Q’ বিন্দুটির স্থানাংক হয় \((-x_{1}-y_{1})\)। এবার OP এবং OQ’ কে সন্নিহিত বাহু ধরে OPRQ’ সামান্তরিকটি অঙ্কন করা হল। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পর M বিন্দুতে ছেদ করে। সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় এদের ছেদবিন্দুতে পরস্পর সমদ্বিখণ্ডিত হয় বলে PQ’ এর মধ্যবিন্দু M এর স্থানাংক \((\frac{x_{1}+(-x_{2})}{2},\frac{y_{1}+(-y_{2})}{2})\equiv (\frac{x_{1}-x_{2}}{2},\frac{y_{1}-y_{2}}{2})\).

\(\therefore\) সামান্তরিকের অপর কর্ণ OR এরও মধ্যবিন্দু M \((\frac{x_{1}-x_{2}}{2},\frac{y_{1}-y_{2}}{2})\)

\(\therefore\) R এর স্থানাংক \((\frac{x_{1}-x_{2}}{2}\times2,\frac{y_{1}-y_{2}}{2}\times2)\equiv (x_{1}-x_{2},y_{1}-y_{2})\)

সুতরাং, R বিন্দুটি জটিল সংখ্যা \((x_{1}-x_{2}) + i.(y_{1}-y_{2})\), অর্থাৎ \((z_{1}-z_{2})\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ।


জটিল সংখ্যার গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ (Geometric Representation of the Multiplication of Two Complex Numbers)


মনে করি, আর্গন্ড চিত্র (Argand Diagram) তে \(P(x_{1},y_{1})\) ও \(Q(x_{2},y_{2})\) দুইটি জটিল সংখ্যার \(z_{1}=x_{1}+i.y_{1}\) এবং \(z_{2}=x_{2}+i.y_{2}\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ। এখন তোমরা \((z_{1}.z_{2})\) এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ দেখবে।

ধরি, R বিন্দুটি Z = z × zসংখ্যাটি সূচিত করে। আমরা জানি, কোনো সংখ্যার মডুলাস বলতে মূলবিন্দু থেকে তার দূরত্ব বুঝায়। তাহলে, জটিল সংখ্যাদ্বয়ের গুনফল Z এর মডুলাস হবে, |Z| = OR = OP × OQ … …(i) ;

যেখানে OP ও OQ হল যথাক্রমে z₁ ও z₂ এর মডুলাস। এছাড়াও, Z এর আর্গুমেন্ট, অর্থাৎ জটিল সংখ্যাদ্বয়ের গুণফলের আর্গুমেন্ট, ∠ROX = ∠POX + ∠QOX … … (ii) 

এখন, মনে করি, OX বরাবর OA রেখাংশ একক দৈর্ঘ্য সূচিত করে, অর্থাৎ OA = 1. 

অতএব, \(\frac{OR}{OQ}=\frac{OP\times OQ}{OQ}\) [\(\because\) আমরা জেনেছি, \(OR = OP × OQ\) ]

\(\Rightarrow\frac{OR}{OQ}=\frac{OP}{1}=\frac{OP}{OA}\) [\(\because OA = 1\) ধরা হয়েছে ]

 

এবং,  ∠ROQ = ∠ROX – ∠QOX = ∠POX + ∠QOX – ∠QOX  [ (ii)হতে ] 

                                                    = ∠POX = ∠POA

ফলে, বলা যায় যে ∆AOP ও ∆QOR পরস্পর সদৃশ ত্রিভুজ। তাই দুইটি জটিল সংখ্যার গুণের প্রতিরূপ অবস্থান নির্ণয় করতে হলে OX বরাবর একক দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট OA অংশ কেটে নিয়ে OQ এর উপর OQ এর যে পাশে OP অবস্থিত, তার বিপরীত পাশে এরকম একটি ∆QOR অঙ্কন করতে হবে যেন তা ∆AOP এর সদৃশ হয়। তাহলে R বিন্দুটি \(z_{1}=x_{1}+i.y_{1}\) ও \(z_{2}=x_{2}+i.y_{2}\) এর গুণফল \(Z = z_{1}.z_{2}\) সূচিত করবে।

[ মডুলাস বলতে, কোনো বাস্তব সংখ্যার মডুলাস বলতে সংখ্যারেখার মূলবিন্দু 0 থেকে ঐ বাস্তব সংখ্যার দুরুত্ত বুঝায়। তেমনিভাবে  আর্গন্ড চিত্রে কোনো জটিল সংখ্যার মডুলাস বলতে মূলবিন্দু (বাস্তব এবং কাল্পনিক অক্ষের ছেদবিন্দু) থেকে চিত্রে স্থাপিত জটিল সংখ্যাটির জ্যামিতিক প্রতিরূপের দূরত্ব বুঝায়]


প্রশ্নটি পড়ে উত্তরটি অনুমান করো


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা জটিল সংখ্যার ধর্মাবলি, জটিল সংখ্যার যোগ বিয়োগ ও গুণের জ্যামিতিক প্রতিরূপ, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।