এইচএসসি পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র

কার্ল এবং গ্র্যাডিয়েন্ট

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত:


গভীর রাতে এক মহাকাশযান সবার অলক্ষ্যে অবতরণ করল পৃথিবীর বুকে… সেখান থেকে বেরিয়ে এল এক নতুন ধরনের প্রাণী, আমরা যাকে বলি এলিয়েন!!! সে এসেছে পৃথিবীকে দেখতে…। সে নেমেই পড়ল ভীষণ বিপদে। পৃথিবীর তাপমাত্রা তার কাছে অনেক শীতল, এত শীতে টেকা সম্ভব না। সে দৌড়ে আশ্রয় নিল কাছের একটা পরিত্যক্ত বদ্ধঘরে।

গ্র্যাডিয়েন্ট এর আগমন


হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো-

আশ্রয় নিলেও খুব একটা সুবিধা হলো না, ঘরের তাপমাত্রাও খুব একটা উষ্ণ না। মহা মুশকিল।
কিন্তু এলিয়েন তো বুদ্ধিমান প্রাণী। সে কি আর বসে থাকে…। দ্রুত বুদ্ধি খাটিয়ে সে বের করে ফেললো এক যুগান্তকারী ফাংশন। এ এমনই এক ফাংশন যা থেকে সহজেই ঘরের তাপমাত্রা বের করা যায়। যেহেতু ঘরটি ত্রিমাত্রিক সে তিনটি চলক ব্যবহার করল ফাংশনে। ধরা যাক ফাংশনটি এরকম, T = x² + 3y – zx, এই ফাংশনে ঘরের যে কোন বিন্দু বসালে তাপমাত্রা বের হয়ে আসে!!
হিসাব করে সে দেখলো, ঘরের মাঝের বিন্দুকে (0, 0, 0) ধরলে তার নিজের অবস্থান (৩, ৪, ৫) বিন্দুতে। তো প্রথমেই সে নিজের অবস্থানের বিন্দুটি ফাংশনে বসাল! সে তাপমাত্রা পেল ৬ ডিগ্রি সেলসিয়াস! আরও উষ্ণ তাপমাত্রা দরকার!
কি করা যায়! কি উপায়! ঘরে এত বিন্দু, কোন বিন্দুর জন্য সর্বোচ্চ তাপমত্রা পাওয়া যাবে কে জানে!

 

তার মনে পড়লো গ্র্যাডিয়েন্টের কথা। গ্র্যাডিয়েন্ট এমন এক জাদুকরী অপারেটর যা কি না বলে দিতে পারে একটি ফাংশনের বৃদ্ধির হার সর্বোচ্চ কোন দিকে! তাই সে দ্রুত gradient of T বের করলো। এখন প্রশ্ন হলো গ্র্যাডিয়েন্ট কিভাবে বের করে! দেখো এখানে বলা হচ্ছে যে, এলিয়েনটির জানা প্রয়োজন তাপমাত্রা বৃদ্ধির হার সর্বোচ্চ কোন দিকে। এখানে এলিয়েনের লক্ষ্য করার বিষয় ছিলো- 
১। বৃদ্ধির হার
২। দিক

 

এখন আমরা জানি কোন কিছুর বৃদ্ধির হার সূক্ষ্মভাবে বের করার জন্য প্রয়োজন ডিফারেন্সিয়েশান (differentiation) বা ব্যবকলনের। তো এখানে এলিয়েন এর তাপমাত্রার ফাংশান ছিলো তিন চলক বিশিষ্ট কারণ ঘরটি ত্রিমাত্রিক! তাই তাকে অবশ্যই তিন অক্ষ বরাবর ডিফারেন্সিয়েশান করতে হবে। বাকি রয়ে গেল দিকের বিষয়টি।

তাপমাত্রা স্কেলার রাশি তাহলে তাপমাত্রার ফাংশানও স্কেলার রাশি। তাহলে স্কেলার রাশিকে কিভাবে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করা যায়?

খুব সহজেই বন্ধুরা! স্কেলার রাশিকে একটা ভেক্টর রাশি দিয়ে গুন করলেই ফলাফলে আমরা ভেক্টর রাশি পাই। তাহলে যদি আমরা এমন একটা ভেক্টর ডিফারেন্সিয়েশাল অপারেটর দিয়ে তাপমাত্রার ফাংশানটিকে গুন করি, তবে আমরা একই সাথে ডিফারেন্সিয়েশানও করতে পারবো আবার ভেক্টর রাশিও পেয়ে যাবো।

এরকম একটা অপারেটর হলো নাবলা। এইভাবে একটি স্কেলার রাশিকে ভেক্টর রাশিতে পরিণত করার পুরো প্রক্রিয়াটি হল গ্র্যাডিয়েন্ট।
এলিয়েনের গ্র্যাডিয়েন্ট ব্যবহারের কারণ আশা করি আমরা বুঝতে পেরেছি!

এখন প্রশ্ন হলো কিভাবে হাতে কলমে আমরা একটি স্কেলার ফাংশনের গ্র্যাডিয়েন্ট বের করবো! তো সেটা জানার জন্য চলো আমরা এই ভিডিও লেকচারটি ঝটপট করে দেখে ফেলি-

 

 

আমরা আশা করি এখন যেকোনো স্কেলার রাশির গ্র্যাডিয়েন্ট বের করতে পারবো। তো বন্ধুরা, এলিয়েনটির তাপমাত্রা ফাংশন ছিলো T = ˣ²+ 3y – zx, সে গ্র্যাডিয়েন্ট করে ফলাফল পেলো grad T = (2x – z)i + 3j – xk……(1)

 

তোমরা নিজেরা একটু চেষ্টা করে দেখো তো এই ফাংশনের গ্র্যাডিয়েন্ট বের করতে পারো কি না এবং মিলিয়ে দেখো এলিয়েন সঠিক হিসাব বের করতে পেরেছে কি না! এলিয়েন তার নিজের অবস্থান (3, 4, 5) (1) নং সমীকরণে বসিয়ে ফলাফল পেলো,
T”= i + 3j – 3k তাহলে এই T” ভেক্টর রাশিটি (1, 3, -3) বিন্দুকে নির্দেশ করে!

 

তাহলে এই (1, 3, -3) বিন্দুই হল তাপমাত্রা সর্বোচ্চ বৃদ্ধির হারের দিক। অর্থাৎ (1, 3, -3) বিন্দুর দিকে গেলেই এলিয়েন সর্বোচ্চ তাপমাত্রা অনুভব করতে পারবে।
আশা করি আমরা সবাই এখন গ্র্যাডিয়েন্ট কি এবং তার ব্যবহার সম্পর্কে ধারণা লাভ করতে পেরেছি!

নদী এবং সিডি (কার্লের আগমনী)
একদিন জনৈক বালক প্রিয় গেম এর সিডি কিনে এসে মনের আনন্দে লাফাতে লাফাতে বাসায় এসে কম্পিউটার অন করলো। ইন্সটলের জন্য সিডির প্যাকেট খোলা মাত্র তার আনন্দের সাগরে ভাটার উপস্থিতি তাকে স্তম্ভিত করলো। কারণ সিডিতে কালো রঙের স্কচটেপ লাগানো!!!

 

পড়িমড়ি করে বালক দোকানের উদ্দেশ্যে ছুটলো। কিন্তু দোকানদার পুরো বিষয়টা অস্বীকার করলো, উল্টো বালককে অসাধু প্রমাণের চেষ্টা করলো। বালক ব্যথিত হৃদয় নিয়ে শহরের প্রান্তের নদীর কিনারায় এসে বসে পড়লো। মনের দুঃখে সে সিডিটি নদীর জলে ছুড়ে ফেলে দিলো।

 

ক্ষীণ স্রোতের সাথে সিডিটি ভেসে যেতে থাকলো। বালক লক্ষ্য করলো, সিডিটি ঘুরছে। বালকের মেজাজ আরও খারাপ হলো। সে পুড়ছে প্রতারণার জ্বালায়। আর সিডিটা কিনা মনের আনন্দে ঘুরছে। সে দৌড়ে গিয়ে হাঁটু পানিতে নেমে সিডিটাকে তুলে নিয়ে প্রায় নদীর মাঝ বরাবর ছুড়ে ফেলে দিল। এবার সে দেখল সিডির ঘোরাঘুরি বন্ধ হয়েছে। অতঃপর, সে ঘরে ফিরে গেলো।

 

সেই রাতে ঘুমানোর আগে বালকের মাথায় প্রশ্ন আসলো নদীতে যখন প্রথমবার ফেলা হলো তখন তা ঘুরছিল কেন? আবার যখন সিডিটাকে নদীর মাঝামাঝি ফেলা হলো তখন ঘোরাঘুরি বন্ধ হয়ে গেলো কেন? সে তখন ভাবল নদীর বেগের সাথে এর কোন সম্পর্ক থাকতে পারে! যদি সে সিডি নদীর অপর প্রান্তে ফেলত তাহলে কি সিডি ঘুরতো? কি মনে হয় বন্ধুরা? এবারও সিডি ঘুরতো তবে আগের বার যেদিকে ঘুরছিল তার বিপরীত দিকে সিডি ঘুরতো। নিচের ছবিগুলোর সাথে মিলিয়ে দেখো ঘটনাটি এরকম ছিল কি না!

স্লাইডের নিচের ডান পাশের বাটনে ক্লিক করতে ভুলোনা যেনো:


আসলে সিডির দুই পাশে বেগের পার্থক্য থাকায় এরকম হচ্ছিল। যেমন সিডি যখন নদীর বাম পাশে ছিলো তখন সিডির A পাশে নদীর স্রোতের বেগ কম ছিল সিডির B পাশের স্রোতের বেগের চেয়ে। তাই এই সময় সিডি ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরছিলো! যখন সিডি নদীর ডান পাশে ছিলো তখন ঠিক এর বিপরীত ঘটনা ঘটেছিলো তাই সিডি ঘড়ির কাঁটার দিকে ঘুরছিলো। আর যখন সিডি নদীর মাঝে ছিলো তখন সিডির দুই পাশে স্রোতের বেগ সমান থাকায় সিডি ঘুরছিলো না।

তো এটা ছিল সিডি কেন ঘুরছে সেই প্রশ্নের উত্তর। কিন্তু এই প্রশ্নগুলো ভাবতে ভাবতে আমাদের সেই বালক বন্ধু আরেকটা বিষয় খেয়াল করলো যে এখানে ঘূর্ণন গতির পরিবর্তন হচ্ছে। দেখো বন্ধুরা, সিডিটি নদীর বাম পাশে থাকা অবস্থায় ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরছিলো।

যতই সিডিটিকে নদীর মাঝ বরাবর নিয়ে যাওয়া যায় ততই সিডির ঘূর্ণন বেগ কমতে থাকে এবং নদীর একদম মাঝে ঘূর্ণন বেগ শুন্য হয়ে যায়। আবার নদীর মাঝখান থেকে ডান দিকে যাওয়া যায় ততই ঘূর্ণন গতি বাড়তে থাকে কিন্তু এবার সিডি ঘুরতে থাকে ঘড়ির কাঁটার দিকে। অর্থাৎ নদীর বাম পাশ থেকে ডান পাশে সিডির ঘূর্ণন বেগের হ্রাস বৃদ্ধি ঘটে! আর যেহেতু ঘূর্ণন দিকের পরিবর্তন হচ্ছে তাহলে ঘূর্ণন অক্ষেরও পরিবর্তন হচ্ছে সিডির অক্ষের সাপেক্ষে!

তো আমদের সেই বালক বন্ধু ভাবলো, “আমি যদি সিডির ঘূর্ণন গতি প্রকাশের জন্য কোন ফাংশন তৈরি করতে পারি এবং তাকে ডিফারেন্সিয়েট করতে পারি তাহলেই আমি এই ঘূর্ণনগতির পরিবর্তনের হার বের করে ফেলতে পারবো। কিন্তু এই ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনের হার কোনদিকে সবচেয়ে বেশি তা কিভাবে বোঝা যায়! আচ্ছা আমি যদি নাবলা অপারেটরের সাথে ফাংশনটির ক্রস গুণ করি তাহলেই তো দিকটা বের করে ফেলতে পারি!!

কারণ ক্রস গুনন দিক নির্দেশ করে।’’ এইসব ভাবতে ভাবতে তার মুখে কিঞ্চিৎ হাসি ফুটে উঠলো। কারণ সে বুঝতে পারলো পুরো প্রক্রিয়াটি আসলে কার্ল।

কারণ একটি ভেক্টর ফাংশনকে (এখানে ঘূর্ণন গতির ফাংশন) নাবলার সাথে ক্রস গুনন এবং একই সাথে ডিফারেন্সিয়েট করার প্রক্রিয়াই কার্ল। অর্থাৎ কার্ল নির্দেশ করে ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনের হার এবং এই পরিবর্তনের হার সর্বোচ্চ কোনদিকে।
আশা করি বন্ধুরা তোমরা কার্ল কি তা বুঝতে পেরেছো।

তাহলে কোন ভেক্টর ফাংশনের কার্ল কিভাবে বের করতে হয় চলো তা দেখে নিই এই ভিডিও লেকচার থেকে –

 

 


কোন ভেক্টর রাশির কার্লের ফলাফল আরেকটি ভেক্টর রাশি হয়, কারণ কার্লের ফলাফল ঘূর্ণন গতির পরিবর্তনের হারের সাথে সাথে দিকটাকেও প্রকাশ করে। তাহলে আশা করি বন্ধুরা আমরা কার্ল কি এবং এর ব্যবহার সম্পর্কে জেনে নিলাম।

চলো এবার কয়েকটি ছোট প্রশ্নের মাধ্যমে আমাদের ধারণাগুলো কে যাচাই করে নিই-

সত্য/মিথ্যা যাচাই করো:



সঠিক উত্তরটিতে ক্লিক করো-


আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা কার্ল এবং গ্র্যাডিয়েন্ট সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।