Uncategorized

i এর শক্তি, জটিল সংখ্যার বর্গমূল, এককের ঘনমূল, ওমেগা এর ঘাতসমূহ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

রিতু নবম শ্রেণিতে পড়ে। অংকে একটু কাঁচা হলেও সে থিওরির বিষয়গুলি বেশ মনোযোগ দিয়ে পড়ে। একদিন সে বীজগাণিতিক সমীকরণ সংক্রান্ত কিছু অংকের উত্তর দেখার সময় খেয়াল করলো যে বইয়ে \(x^{3}-1=0\) সমীকরণের মাত্র একটি সমাধান দেয়া আছে। অথচ রিতু থিওরি পড়ার সময় জেনেছিল যে কোনো সমীকরণে সর্বোচ্চ ঘাত যত হয়, তার সমাধানও ততোটি হয়। অর্থাৎ, ত্রিঘাতবিশিষ্ট সমীকরণে চলক x এর তিনটি সমাধান থাকে। ব্যাপারটা তো ঠিকমতো বুঝা দরকার! যে ভাবা সেই কাজ। রিতু দৌড় দিল তার চার বছরের বড় ভাই জিতুর কাছে। জিতু কাহিনী পুরোটা মনোযোগ দিয়ে শুনল। তারপর ফিক করে একটু হেসে দিয়ে বলল, “আরে, তোরা এখনও ছোট ক্লাসে তো, তাই তোদের কাছে বিষয়টা সহজ রাখার জন্য এই সমীকরণের সমাধান একটি দেয়া হয়েছে। আসলে এই সমীকরণের বাস্তব সমাধান মাত্র একটি। আর বাকি দুইটি সমাধান কাল্পনিক। অবশ্য পুরোপুরি কাল্পনিক না, সমাধান দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং কাল্পনিক সংখ্যার মিলিত হওয়া অন্যরকম একটি সংখ্যা, যাকে জটিল সংখ্যা বলে। এ সম্পর্কে তোরা কলেজে উঠে উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রের “জটিল সংখ্যা” নামক একটি অধ্যায়ে বিস্তারিত জানতে পারবি। ”

রিতুর মতো তোমরাও নিশ্চয়ই কলেজে উঠার আগে মনে করতে এ ধরণের সমীকরণের সমাধান মাত্র একটিই, না? এখন তোমরা এইচ.এস.সি এর পাঠ্যবই পড়ো; তাই মনে রাখবে, এতদিন বাস্তব না হওয়ার কারণে এ ধরণের সমীকরণ থেকে যেই দুইটি সংখ্যা বাস্তব নয় বলে অবহেলা করে বাদ দিয়েছ, তাদেরকে আর বাদ দেয়া যাবে না। যে সমীকরণের মাত্রা যত, তার সমাধান সংখ্যা ততো।

একইভাবে, তোমাদের যারা এ অধ্যায় সম্পর্কে তেমন কিছু জানো না, তাদের কাউকে যদি জিজ্ঞেস করা হয় যে 1 এর ঘনমূল কয়টি, তোমরা নিশ্চয়ই উত্তর দিবে, “ভাই, এ তো খুব সোজা! 1 কে ঘন করলে যেমন 1 পাওয়া যায়, তেমনি 1 এর ঘনমূল করলেও তো 1 ই পাব।”
কিন্তু উত্তরটি ভুল। 1 এর ঘনমূল তিনটি। এ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে এখনি মনোযোগ দিয়ে পড়ে ফেলো এই স্মার্টবুকটি।


i এর শক্তি (Power of i)


i হল কাল্পনিক সংখ্যা (Imaginary Number). বিখ্যাত গণিতবিদ অয়লার প্রথম এই সংখ্যাকে i দ্বারা সূচিত করেন। অবশ্যই ধারণা করতে পারছ যে “Imaginary” শব্দের প্রথম বর্ণ i বলে এ সংখ্যার চিহ্ন দেয়া হয়েছে i.
i এর শক্তি নিয়ে জটিল সংখ্যা বেসিক ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট, জটিল সংখ্যার পোলার আকা এ বিস্তারিত ধারণা দেয়া হয়েছে এবং এ সম্পর্কিত কিছু গাণিতিক উদাহরণও সাথে দেয়া হয়েছে। স্মার্টবুকটি এখনও না পড়ে থাকলে চটজলদি করে একবার উপরের Link টি থেকে ঘুরে এসো।
তারপরও সংক্ষেপে এখানে i এর শক্তি নিয়ে একটু আলোচনা করা হল:

i হচ্ছে কাল্পনিক একটি সংখ্যা। এই সংখ্যার বৈশিষ্ট্য হল এটি যেকোনো সংখ্যার সাথে গুণ অবস্থায় যুক্ত হলে সংখ্যাটিকে আরগঁ চিত্রে ৯০° কোণে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরিয়ে দেয়। এভাবে একটির পর একটি করে যতগুলি i গুণ করা হবে, অর্থাৎ i এর শক্তি যতবার বাড়বে, ততোবার এটি 90° কোণে ঘুরে যাবে এবং প্রত্যেকবার চারটি নির্দিষ্ট মানের একটি পাওয়া যাবে। এই চারটি নির্দিষ্ট মান হল: 1, i, -1 ও -i। নিচের ভিডিওটি তোমরা জটিল সংখ্যা বেসিক ও এর জ্যামিতিক প্রতিরূপ, মডুলাস ও আর্গুমেন্ট, জটিল সংখ্যার পোলার আকার, অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা স্মার্টবুকটিতে দেখেছিলে আবার দেখো বিষয়টি আবার মনে পড়বে।


আমরা জানি, \(i =\sqrt{-1}\)

\(i^{2} = i.i = \sqrt{-1} \sqrt{-1} = -1\)

\(i^{3} = i^{2}.i = -1.i = -i \)

\(i^{4} = i^{3}.i = -i.i = -i^{2} = -(-1) = 1\)

.
.

মনে করি, n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

তাহলে,

\(i^{4n} = (i^{4})^{n} = (1)^{n} = 1\) \([∵ i^{4} = 1]\)

\(i^{4n+1} = i^{4n}.i = (i^{4})^{n}.i = (1)^{n}.i = i\)

\(i^{4n+2} = i^{4n}.i^{2} = (i^{4})^{n}.i^{2} = (1)^{n}.(-1) = -1\)

\(i^{4n+3} = i^{4n}.i^{3} = (i^{4})^{n}.(-i) = (1)^{n}.(-i) = -i\) \([∵ i^{3} = -i]\)

তাহলে আশা করছি তোমাদের কাছে এখন i এর শক্তি সম্পর্কিত সব ধারণা স্পষ্ট।


এককের ঘনমূল (Cubic root of 1)


এই স্মার্টবুকটির শুরুর দিকে একবার বলা হয়েছে যে ছোট ক্লাসে আমরা যেমন শিখতাম 1 এর ঘনমূল 1-ই হয়, এখন আর টা শিখবো না। 1 এর বর্গমূল যেমন দুইটি (+1 এবং -1) তেমনি 1 এর ঘনমূল তিনটি। এর মধ্যে একটি বিশুদ্ধ বাস্তব আর বাকি দুইটি জটিল।
নিচে তাহলে আমরা একটি সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করার মাধ্যমে 1 এর ঘনমূল নির্ণয় করি:

ধরি, \(\sqrt[3]{1}=x\)

\( ∴ x^{3}=1\)

\(⇒ x^{3}-1=0\)

\( ⇒ (x-1)(x^{2}+x+1)\) \([∵ a^{3} – b^{3} = (a – b).(a^{2} + ab + b^{2}) ]\)

\(x=1\) বা, \(x^{2}+x+1=0\)

\(⇒ x= \frac{-1± \sqrt{1^{2}-4.1.1}}{2.1}\)

\(= \frac{-1\sqrt{±1-4}}{2}\)

\(= \frac{-1± \sqrt{-3}}{2}\)

\(=\frac{-1±i \sqrt{3}}{2}\)

তাহলে, আমরা দেখতে পেলাম যে, 1 এর ঘনমূল তিনটি (একটি বাস্তব সংখ্যা ও দুইটি জটিল সংখ্যা)

\(1\)

\( \frac{-1+i \sqrt{3}}{2}\)

\( \frac{-1-i^{3}}{2}\)

Remark 1: 1 এর জটিল ঘনমূল দুইটির (\(\frac{-1±i \sqrt{3}}{2}\)) একটিকে \(ω\) এবং অপরটিকে \(ω^{2}\) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়।

Remark 2:

উপরে প্রাপ্ত \(x^{2}+x+1=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।

\(ax^{2} + bx + c = 0\) আকারের কোনো সমীকরণ থেকে \(x = \frac{-b ± \sqrt{b^{2}-4.a.c}}{2.a}\) আকারের দুইটি মূল বের করার ফর্মুলাটি বের করেছিলেন শ্রদ্ধেয় শ্রীধর আচার্য নামধারী একজন গণিতবিদ।


এককের জটিল ঘনমূলদ্বয়ের বৈশিষ্ট্য (Properties of Cube Root of 1)


\(ω\) এবং \(ω^{2}\) এর বৈশিষ্ট্য

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


ওমেগা (ω) এর ঘাতসমূহ (Power of ω)


\(ω^{3}=1\)

\(ω^{4}=ω^{3}.ω=1.ω=ω\)

\(ω^{5}=ω^{3}ω^{2}=1.ω^{2}=ω^{2}\)

\(ω^{6}=ω^{3}.ω^{3}=1.1=1\)

\(ω^{7}=ω^{3}.ω^{4}=ω^{3}.ω=ω^{4}=ω\)
.
.
\(ω^{3}n =(ω^{3})n =(1)^{n} =1\)

\(ω^{3n + 1} =ω^{3n} .ω =(ω^{3})^{n}.ω =(1)^{n}.ω =ω\)

\(ω^{3n + 2} =ω^{3n} .ω^{2} =(ω^{3})^{n}.ω^{2} =(1)^{n}.ω^{2} =ω^{2}\)


জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় (Determining the Square Root of a Complex Number)


একটি অংকের মাধ্যমে তোমরা কোনো জটিল সংখ্যার বর্গমূল কীভাবে নির্ণয় করতে পারো, তা দেখে নাও:

প্রশ্ন: \((7-30\sqrt{-2})\) এর বর্গমূল বের করো।

সমাধান: ধরি, \(\sqrt{7-30 \sqrt{-2}}=x+iy\); যখন, x, y ∈ R

[কারণ আমরা জানি একটি জটিল সংখ্যার যেকোনো তম মূল জটিল হবে]

\(⇒7-30 \sqrt{-2}=(x-iy)^{2}=x^{2}+i2xy+i^{2}y^{2}\)

\(⇒7-i30 \sqrt{2}=x^{2}-y^{2}+i^{2}xy\)………(i) [∵ \(\sqrt{-2}=\sqrt{-1×2}=\sqrt{-1}×\sqrt{2}=i \sqrt{2}\) এবং, \(i^{2} = -1\) ]

(i) নং এর বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

\(x^{2}-y^{2}=7\)………(ii)

এবং, \(2xy=-30 \sqrt{2}\)……(iii)

বীজগাণিতিক সূত্রানুসারে,

\((x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})+4x^{2}y^{2}\)

\(=7^{2}+(-30 \sqrt{2})^{2}\) [(ii) ও (iii) নং হতে]

\( =49+1800=1849\)

\(∴x^{2}+y^{2}=\sqrt{1849}=43\)………(iv)

[± চিহ্ন দেওয়া হয়নি কারণ দুটি বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কখনো 0 হতে পারে না]
এখন, \(ii+iv⇒2x^{2}=50⇒x^{2}=25\)

\(∴x=±5\)

\(ii-iv⇒-2y^{2}=-36\)

\(⇒y^{2}=18\)

\(∴y=± \sqrt{18}=± \sqrt{32}\)

\(∴ \sqrt{7-30 \sqrt{-2}}=±5±i3 \sqrt{2}\)

\(=±(5-i3 \sqrt{2})\)

[প্রথম বন্ধনীর ভেতর ‘-’ নেয়ার কারণ হলো (iii) নং এ আমরা পেয়েছি, \(2xy= -30^{2}\)
\(∵2xy<0, x\) ও \(y\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে]

এখন তোমাদের এই অংক সমাধানের একটি বিকল্প পদ্ধতি দেখাবো। তবে তোমরা ক্লাসে বা এইচ.এস.সি তে উপরের পদ্ধতিটিই অনুসরণ করবে। নিচের বিকল্প পদ্ধতিটি তোমরা শুধুমাত্র নৈব্যত্তিক এর জন্য অথবা বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায় লিখিত অংশে ব্যবহার করতে পারবে।


মোবাইল স্ক্রিনের ডানে ও বামে swipe করে ব্যবহার করো এই স্মার্টবুকটি। পুরো স্ক্রিন জুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি বাটন।


তাহলে বর্গমূল সংক্রান্ত প্রথম সমস্যাটিই আমরা আবার সমাধান করবো, তবে এখন এই বিকল্প নিয়মটি ব্যবহার করে। তোমাদের সুবিধার্থে উপরের স্লাইডগুলির সাথে Step সহকারে সমাধান করা হল:

Step 1: \(7-30 \sqrt{-2}=7-i30 \sqrt{2}=7-i.2.15. \sqrt{2}\)
Step 2 & Step 3: y এর সাথে i যুক্ত আছে ধরা হল।

\(∴ x^{2}-y^{2}=7\) হবে এবং

\(2xy=2.15 \sqrt{2}\) হবে

\(⇒ xy=15 \sqrt{2}\) হবে

x \(3 \sqrt{2}\) 5
y 5 \(3 \sqrt{2}\)
\(3 \sqrt{2})^{2}-5^{2}= -7\) \(5^{2}-(3 \sqrt{2})^{2}= 7\)

\(∴ x^{2}-y^{2}=5^{2}-(3 \sqrt{2})^{2}\) হবে

Step 4: \(∴ \sqrt{7-i30 \sqrt{2}}=\sqrt{5^{2}-(3 \sqrt{2})^{2}-i.2.15 \sqrt{2}}\)

\(= \sqrt{5^{2}-2.5.3 \sqrt{2}i+(i3 \sqrt{2})}\) \([∵i^{2}= -1]\)

\(= \sqrt{(5-i3 \sqrt{2}})\)

\(=±(5-i3 \sqrt{2})\) [Ans]


গাণিতিক সমস্যাবলী


টাইপ ১: বর্গমূল নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন:\( -i\) এর বর্গমূল নির্ণয় করো।

সমাধান: \(-i= \frac{1}{2}(-2i)\)

\(= \frac{1}{2}(0-2i)\)

\(=\frac{1}{2}( 1^{2}-1^{2}-2i)\)

\( = \frac{1}{2}(1^{2}-2.1.i+i^{2})\)

\(=\frac{1}{2}(1-i)^{2}\)

\(∴ \sqrt{-i}=± \frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)

Remark: এভাবে আমরা +i কেও সর্বদা \((1+i)^{2}\) রূপে নিতে পারি।


টাইপ ২: ঘনমূল নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন: -i এর ঘনমূল নির্ণয় করো।

সমাধান: \(\sqrt[3]{-i}=x\)

\(⇒x^{3}= -i\)

\(⇒x^{3}+i=0\)

\(⇒x^{3}-i^{3}=0\) \([∵i^{3}= -i]\)

\(⇒(x-i)(x^{2}+i.x+i^{2})=0\)

\(∴x-i=0\) বা, \(x^{2}+i.x-1=0\)

\(⇒x=i\) \(x= \frac{- i ± \sqrt{i^{2}- 4.1.(-1)}}{1.a}\)

\(= \frac{- i ± \sqrt{-1+4}}{2}= \frac{- i ± \sqrt{3}}{2}\)

\(∴ \sqrt[3]{-i}=i, \frac{- i ± \sqrt{3}}{2}\) [Ans]

Remark: এখানে তিনটি মূলই অবাস্তব (কাল্পনিক)।


টাইপ ৩: n-তম মূল নির্ণয় সংক্রান্ত (n = 4, 6, 8 ইত্যাদি)

প্রশ্ন: \( \sqrt[6]{-64} = ?\)

সমাধান:

ধরি, \(\sqrt[6]{-64}=x\)

\(⇒-64=x^{6}\)

\(⇒(x^{2})^{3}+(4)^{3}=0\)

\(⇒(x^{2}+4)(x^{4}-4x^{2}+16)=0\)

\(⇒x^{2}+4=0\)
\(x^{2}= -4\)
\(=± i.2\)

অথবা, \(x^{4}-4x^{2}+16=0\)

\(m^{2}-4m+16=0\) [\(x^{2} = m\) ধরে ]

\(∴ m= \frac{4± \sqrt{(-4)^{2}-4.1.16}}{2.1}\)

\(= \frac{4± \sqrt{16-64}}{2}\)

\(=\frac{4± \sqrt{-48}}{2}\)

\(= \frac{4±i4 \sqrt{3}}{2}\)

\(⇒x^{2}=2±i2 \sqrt{3}\)

\(⇒x^{2}=(\sqrt{3})^{2}-(1)^{2}±i 2\sqrt{3}\)

\( =( \sqrt{3})^{2}±i2 \sqrt{3}+i^{2}\)

\(=( \sqrt{3}±i)^{2}\)

\(∴ x=±( \sqrt{3}±i)\)

বা, \(x=± \sqrt{-4}\)

\(∴x=±i∙2, ±( \sqrt{3}±i)\) [Ans]


টাইপ ৪: নির্দিষ্ট শর্তাধীনে কোনো প্রমাণ সংক্রান্ত

প্রশ্ন (ক): \((a+ib)(c+id)=x+iy\) হলে, প্রমাণ করো, \((a-ib)(c-id)=x-iy\)

সমাধান: \((a+ib)(c+id)=x+iy\)

বা, \(ac+i.bc+i.da+i^{2}bd=x+iy\)

\(⇒ac+i.ad+i.bc-bd=x+iy\)

\(⇒(ac-bd)+i.(ad+bc)=x+iy\)

বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

\(x=ac-bd\)

\(y=ad-bc\)

এখন, L.H.S বা বামপক্ষ \(=(a-ib)(c-id)=ac-iad-ibc+i^{2}bd\)

\(=(ac-bd)-i(ad+bc)\)

\(=x-iy\)

= R.H.S (Proved)

প্রশ্ন (খ): a, b বাস্তব সংখ্যা এবং \(a^{2}+b^{2}=1\) হলে দেখাও যে, x এর একটি বাস্তব মানের জন্য \( \frac{1 – i.x}{1 + i.x}=a-i.b\) হবে।
সমাধান:

দেওয়া আছে, \(a, b ∈ R\) এবং \(a^{2}+b^{2}=1\)

\( \frac{1 – i.x}{1 + i.x}=a-i.b\)

বা, \(a+i.ax-i.b-i^{2}bx=1-ix\)

বা, \(bx+i.ax+i.x=(1-a)+i.b\)

বা, \(x{b+i.(1+a)}=(1-a)+i.b\)

বা, \(x= \frac{(1-a) + i.b}{b + i.(1+a)}\)

\(= \frac{\left\{(1-a)+ib\right\}\left\{b-i(1+a)\right\}}{b^{2}+(1+a)^{2}} \) [লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি দ্বারা গুণ করে]

\(= \frac{b-ab+ib^{2}-i(1-a^{2})-i^{2}b(1+a)}{b^{2}+a^{2}+2a+1}\)

\(= \frac{b-ab+i(b^{2}-1+a^{2})+b+ab}{a^{2}+b^{2}+2a+1}\)

\(= \frac{2b+i(a^{2}+b^{2}-1)}{a^{2}+b^{2}+2a+1}\) \([∵a^{2}+b^{2}=1]\)

\(= \frac{2b+i(1-1)}{1+2a+1}= \frac{2b}{2a+2}\)

\(∴x= \frac{b}{a+1}\)

\(∵a,b ϵR;∴ x= \frac{b}{a+1} ∈ R\)

∴ x এর একটি বাস্তব মান প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে (Showed)

এবার খাতা-কলম নিয়ে বসো এবং নিজেরা এই অংকটি সমাধান করো: যদি x এর একটি বাস্তব মান \( \frac{1 – i.x}{1 + i.x}=a-ib\) কে সিদ্ধ করে, তবে প্রমাণ করো যে \(a^{2}+b^{2}=1\)


টাইপ ৫: এককের ঘনমূল \(ω\) সংক্রান্ত

প্রশ্ন (ক): 1 এর জটিল ঘনমূল \(ω\) হলে প্রমাণ করো,

\((1-ω+ω^{2})(1-ω^{2}+ω^{4})(1-ω^{4}+ω^{8)}(1-ω^{8}+ω^{16})=16\)

সমাধান:

L.H.S \(=(1-ω+ω^{2})(1-ω^{2}+ω)(1-ω+ω^{2})(1-ω^{2}+ω)\)

\(=(1-ω+ω^{2})^{2}(1-ω^{2}+ω)^{2}\)

\(=(1+ω+ω^{2}-2ω)^{2}(1+ω+ω^{2}-2ω^{2})^{2}\)

\(=(0-2ω)^{2}(0-2ω^{2})^{2}\)

\(=4ω^{2}.4ω^{4}\)

\(=16ω^{6}=16\) [Ans]

প্রশ্ন (খ): এককের একটি জটিল ঘনমূল ω হলে প্রমাণ করো,

\((1-ω^{2})(1-ω^{4})(1-ω^{8})(1-ω^{16})=9\)

সমাধান:

\((1-ω^{2})(1-ω^{4})(1-ω^{8})(1-ω^{16})\)

\(=(1-ω^{2})(1-ω)(1-ω^{2})(1-ω)\)

\(=(1-ω^{2})^{2}(1-ω)^{2}\)

\(={(1-ω^{2})(1-ω)}^{2}\)

\(=(1-ω-ω^{2}+ω^{3})^{2}\)

\(=(2-ω-ω^{2})^{2}={2-(ω+ω^{2})}^{2}\)

\(=(2+1)^{2}\) \([∵1+ω+ω^{2}=0]\)

\(=3^{2}=9\) [Ans]


টাইপ ৬: নির্দিষ্ট শর্তসাপেক্ষে মান নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন: 1 এর জটিল ঘনমূল ω হলে এবং \((a+bω+cω^{2})^{2}+(aω+b+cω^{2})^{2}+(aω+bω^{2}+c)^{2}=0\)
হলে a এবং b এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান: \(a+bω+cω^{2})^{2}+(aω+b+cω^{2})^{2}+(aω+bω^{2}+c)^{2}=0\)

\(⇒a^{2}+b^{2}ω^{2}+c^{2}ω+2abcω+2bc+2caω^{2}+a^{2}ω^{2}+b^{2}+c^{2}ω+2abω+2abcω^{2}+2ca+a^{2}ω^{2}+b^{2}ω+c+2ab+2bcω^{2}+2caω=0\)

\(⇒a^{2}(1+ω^{2}+ω^{2})+b^{2}(1+ω+ω^{2})+c^{2}(1+ω+ω)+2ab(1+ω+ω)+2bc(1+ω^{2}+ω^{2})+2ca(1+ω+ω^{2})\)

\(⇒(1+ω^{2}+ω^{2})(a^{2}+2bc)+(1+ω+ω)(c^{2}+2ab)=0\)

\(⇒(-ω+ω^{2})(a^{2}+2bc)+(-ω^{2}+ω)(c^{2}+2ab)=0\)

\(⇒(ω^{2}-ω)(a^{2}+2bc)-(ω^{2}-ω)(c^{2}+2ab)=0\)

\(⇒(ω^{2}-ω)(a^{2}+2bc-c^{2}-2ab)=0\)

\(⇒a^{2}+2bc-c^{2}-2ab=0\) \([∵ω^{2}-ω≠ 0]\)

\(⇒(a+c)(a-c)-2b(a-c)=0\)

\(⇒(a-c)(a+c-2b)=0\)

\(∴a-c=0 \)

\(⇒a=c\)

অথবা, \(a+c-2b=0\)

\(⇒b= \frac{1}{2}(a+c)\) [Ans]


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো



আশা করি, এই স্মার্ট বুকটি থেকে তোমরা i এর শক্তি, জটিল সংখ্যার বর্গমূল, এককের ঘনমূল, ওমেগা এর ঘাতসমূহ সম্পর্কে পরিষ্কার ধারণা পেয়েছো। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।