i এর শক্তি, জটিল সংখ্যার বর্গমূল, এককের ঘনমূল, ওমেগা এর ঘাতসমূহ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।


রিতু নবম শ্রেণিতে পড়ে। অংকে একটু কাঁচা হলেও সে থিওরির বিষয়গুলি বেশ মনোযোগ দিয়ে পড়ে। একদিন সে বীজগাণিতিক সমীকরণ সংক্রান্ত কিছু অংকের উত্তর দেখার সময় খেয়াল করলো যে বইয়ে \(x^{3}-1=0\) সমীকরণের মাত্র একটি সমাধান দেয়া আছে। অথচ রিতু থিওরি পড়ার সময় জেনেছিল যে কোনো সমীকরণে সর্বোচ্চ ঘাত যত হয়, তার সমাধানও ততোটি হয়। অর্থাৎ, ত্রিঘাতবিশিষ্ট সমীকরণে চলক x এর তিনটি সমাধান থাকে। ব্যাপারটা তো ঠিকমতো বুঝা দরকার! যে ভাবা সেই কাজ। রিতু দৌড় দিল তার চার বছরের বড় ভাই জিতুর কাছে। জিতু কাহিনী পুরোটা মনোযোগ দিয়ে শুনল। তারপর ফিক করে একটু হেসে দিয়ে বলল, “আরে, তোরা এখনও ছোট ক্লাসে তো, তাই তোদের কাছে বিষয়টা সহজ রাখার জন্য এই সমীকরণের সমাধান একটি দেয়া হয়েছে। আসলে এই সমীকরণের বাস্তব সমাধান মাত্র একটি। আর বাকি দুইটি সমাধান কাল্পনিক। অবশ্য পুরোপুরি কাল্পনিক না, সমাধান দুইটি বাস্তব সংখ্যা এবং কাল্পনিক সংখ্যার মিলিত হওয়া অন্যরকম একটি সংখ্যা, যাকে জটিল সংখ্যা বলে। এ সম্পর্কে তোরা কলেজে উঠে উচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রের “জটিল সংখ্যা” নামক একটি অধ্যায়ে বিস্তারিত জানতে পারবি।”

রিতুর মতো তোমরাও নিশ্চয়ই কলেজে উঠার আগে মনে করতে এ ধরণের সমীকরণের সমাধান মাত্র একটিই, না? এখন তোমরা এইচ.এস.সি এর পাঠ্যবই পড়ো; তাই মনে রাখবে, এতদিন বাস্তব না হওয়ার কারণে এ ধরণের সমীকরণ থেকে যেই দুইটি সংখ্যা বাস্তব নয় বলে অবহেলা করে বাদ দিয়েছ, তাদেরকে আর বাদ দেয়া যাবে না। যে সমীকরণের মাত্রা যত, তার সমাধান সংখ্যা ততো।

একইভাবে, তোমাদের যারা এ অধ্যায় সম্পর্কে তেমন কিছু জানো না, তাদের কাউকে যদি জিজ্ঞেস করা হয় যে 1 এর ঘনমূল কয়টি, তোমরা নিশ্চয়ই উত্তর দিবে, “ভাই, এ তো খুব সোজা! 1 কে ঘন করলে যেমন 1 পাওয়া যায়, তেমনি 1 এর ঘনমূল করলেও তো 1 ই পাব।”
কিন্তু উত্তরটি ভুল। 1 এর ঘনমূল তিনটি। এ সম্পর্কে বিস্তারিত জানতে এখনি মনোযোগ দিয়ে পড়ে ফেলো এই স্মার্টবুকটি।

i এর শক্তি

i হল কাল্পনিক সংখ্যা (Imaginary Number). বিখ্যাত গণিতবিদ অয়লার প্রথম এই সংখ্যাকে i দ্বারা সূচিত করেন। অবশ্যই ধারণা করতে পারছ যে “Imaginary” শব্দের প্রথম বর্ণ i বলে এ সংখ্যার চিহ্ন দেয়া হয়েছে i. i এর শক্তি নিয়ে MAT-2.3.1 এ বিস্তারিত ধারণা দেয়া হয়েছে এবং এ সম্পর্কিত কিছু গাণিতিক উদাহরণও সাথে দেয়া হয়েছে। স্মার্টবুকটি এখনও না পড়ে থাকলে চটজলদি করে একবার উপরের Link টি থেকে ঘুরে এসো।
তারপরও সংক্ষেপে এখানে i এর শক্তি নিয়ে একটু আলোচনা করা হল: i এর শক্তিi হচ্ছে কাল্পনিক একটি সংখ্যা। এই সংখ্যার বৈশিষ্ট্য হল এটি যেকোনো সংখ্যার সাথে গুণ অবস্থায় যুক্ত হলে সংখ্যাটিকে আরগঁ চিত্রে ৯০⁰ কোণে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরিয়ে দেয়। এভাবে একটির পর একটি করে যতগুলি i গুণ করা হবে, অর্থাৎ i এর শক্তি যতবার বাড়বে, ততোবার এটি 90⁰ কোণে ঘুরে যাবে এবং প্রত্যেকবার চারটি নির্দিষ্ট মানের একটি পাওয়া যাবে। এই চারটি নির্দিষ্ট মান হল: 1, i, -1 ও -i . নিচের ভিডিওটি তোমরা MAT-2.3.1 স্মার্টবুকে একবার দেখেছো, আবার লক্ষ্য করো, তাহলে বিষয়টি আবার মনে পড়বে।জটিল সংখ্যাআমরা জানি, \(i=\sqrt{-1}\)
\(i^{2} = i.i = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1\)
\(i^{3} = i^{2}.i = -1.i= -i\)
\(i^{4} = i^{3}.i = -i.i = -i^{2} = -(-1) = 1\)
.
.
.
মনে করি, n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। তাহলে,
\(i^{4n} = (i^{4})^{n} = (1)^{n} = 1 [\because i^{4} = 1]\)
\(i^{4n+1} = i^{4n}.i = (i^{4})^{n}.i=(1)^{n}.i=i\)
\(i^{4n+2} = i^{4n}.i^{2} = (i^{4})^{n}.i^{2}=(1)^{n}.(-1)=-1\)
\(i^{4n+3} = i^{4n}.i^{3} = (i^{4})^{n}.(-i)=(1)^{n}.(-i)=-i [\because i^{3} = -1]\)i এর শক্তিতাহলে আশা করছি তোমাদের কাছে এখন i এর শক্তি সম্পর্কিত সব ধারণা স্পষ্ট।

এককের ঘনমূল

এই স্মার্টবুকটির শুরুর দিকে একবার বলা হয়েছে যে ছোট ক্লাসে আমরা যেমন শিখতাম 1 এর ঘনমূল 1-ই হয়, এখন আর টা শিখবো না। 1 এর বর্গমূল যেমন দুইটি (+1 এবং -1) তেমনি 1 এর ঘনমূল তিনটি। এর মধ্যে একটি বিশুদ্ধ বাস্তব আর বাকি দুইটি জটিল।
নিচে তাহলে আমরা একটি সমীকরণ গঠন করে তা সমাধান করার মাধ্যমে 1 এর ঘনমূল নির্ণয় করি:

ধরি,\(\sqrt[3]{1}=x\)
\(\therefore x^{3}=1\)
\(\Rightarrow x^{3}-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1) [ \because a^{3}-b^{3}=(a-b).(a^{2}+ab+b^{2})]\)
\(x=1\) বা, \(x^{2}+x+1=0\)
\(\Rightarrow x= \frac{-1\pm\sqrt{1^{2}-4.1.1}}{2.1}\)
\(= \frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2}\)
\(= \frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2}\)
\(= \frac{-1\pm x\sqrt{3}}{2}\)
তাহলে, আমরা দেখতে পেলাম যে, 1 এর ঘনমূল তিনটি (একটি বাস্তব সংখ্যা ও দুইটি জটিল সংখ্যা)
(i) \(1\)
(ii) \(\frac{-1+ x\sqrt{3}}{2}\)
(ii) \(\frac{-1- x\sqrt{3}}{2}\)
Remark 1: 1 এর জটিল ঘনমূল দুইটির \(\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\) একটিকে \(\omega^{4}\) এবং অপরটিকে \(\omega^{2}\) হিসেবে চিহ্নিত করা হয়।
Remark 2: উপরে প্রাপ্ত \(x^{2}+x+1=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
\(ax^{2}+bx+c=0\) আকারের কোনো সমীকরণ থেকে \(x= \frac{-x\pm \sqrt{x^{2}-4.x.x}}{2.x}\) আকারের দুইটি মূল বের করার ফর্মুলাটি বের করেছিলেন শ্রদ্ধেয় শ্রীধর আচার্য নামধারী একজন গণিতবিদ।

এককের জটিল ঘনমূলদ্বয়ের বৈশিষ্ট্য

ড্রপডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও \(\omega\) এবং \(\omega^{2}\) এর বৈশিষ্ট্য!

1 এর জটিল মূলদ্বয়ের একটিকে বর্গ করলে অপরটি পাওয়া যায়।
Proof: যেকোনো একটি জটিল ঘনমূল নিয়ে কাজ শুরু করলাম:
\((\frac{-1+i\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{(-1)^{2}+2.(-1).i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})}4^{2}\)
\(=\frac{1-2i\sqrt{3}-3}{4}\)
\(=\frac{-2-i2\sqrt{3}}{4}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
∴জটিল ঘনমূলদ্বয়ের একটি \(\omega\) হলে অপরটি \(\omega^{2}\) (Proved)
∴1 এর ঘনমূল তিনটি দাড়ালো, \(1,\omega,\omega^{2}\)
\(\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) এবং \(\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) এর মধ্যে যেকোনোটিকে আমরা \(\omega\) ধরতে পারি। তবে যেটিকে \(\omega\) ধরবো, সেটি ব্যতীত অপরটি অবশ্যই \(\omega^{2}\) হবে।

1 এর ঘনমূল তিনটির সমষ্টি শূণ্য
Proof:
1 এর ঘনমূল তিনটির যোগফল=\(1+\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}+\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2-1+i\sqrt{3}-1-i\sqrt{3}}{2}=\frac{2-2}{2}=\frac{0}{2}=0\)
\(1+\omega+\omega^{2}=0\) (Proved)

1 এর ঘনমূল তিনটির গুণফল=1
Proof:
1 এর ঘনমূল তিনটির গুণফল=\(1.\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}.\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{(1)^{2}(i\sqrt{3})^{2}}{4}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1\)
\(\therefore\omega.\omega^{2}=1\)
\(\omega^{3}=1\) (Proved)
তাহলে, \(\omega^{4}=\omega^{3}.\omega=1.\omega=\omega\)

1 এর জটিল ঘনমূলদ্বয়ের যেকোন একটি অপরটির উল্টোর সমান।
Proof:
Property 3 থেকে আমরা জানি,
\(\omega^{3}=1\)
\(\Rightarrow \omega^{2}.\omega=1\)
\(\therefore \omega^{2}=\frac{1}{\omega}\)
আবার, \(\omega=\frac{1}{\omega^{2}}\) (Proved)

জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়

একটি অংকের মাধ্যমে তোমরা কোনো জটিল সংখ্যার বর্গমূল কীভাবে নির্ণয় করতে পারো, তা দেখে নাও:

গাণিতিক সমস্যা: \(7-30\sqrt{-2}\) এর বর্গমূল বের করো।
সমাধান:  ধরি,\(\sqrt{7-30\sqrt{-2}}=x+iy;\) যখন, \(x,y \in R\)
[কারণ আমরা জানি একটি জটিল সংখ্যার যেকোনো তম মূল জটিল হবে]
\(\Rightarrow 7-30\sqrt{-2}=(x-iy)^{2}=x^{2}+i2xy+i^{2}y^{2}\)
\(\Rightarrow 7-i30\sqrt{2}=x^{2}-y^{2}+i2xy………(i)\) [\((\because \sqrt{-2}=\sqrt{-1\times2}=\sqrt{-1}\times\sqrt{2}=i\sqrt{2}\) এবং, \(i^{2}=-1\)]
(i) নং এর বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
\(x^{2}-y^{2}=7………….(ii)\)
এবং, \(2xy=-30\sqrt{2}………(iii)\)
বীজগাণিতিক সূত্রানুসারে,
\((x^{2}+y^{2})^{2}=(x^{2}-y^{2})+4x^{2}y^{2}\)
\(=7^{2}+(-30\sqrt{2})^{2}\) [(ii) ও (iii) নং হতে]
\(=49+1800=1849\)
\(\therefore x^{2}+y^{2}=\sqrt{1849}=43…………(iv)\)
[\(\pm\) চিহ্ন দেওয়া হয়নি কারণ দুটি বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কখনো 0 হতে পারে না]
এখন, \(ii+iv\Rightarrow 2x^{2}=50\Rightarrow x^{2}=25\)
\(\therefore x=\pm5\)
\(ii-iv\Rightarrow -2y^{2}=-36\)
\(\Rightarrow y^{2}=18\)
\(\therefore y=\pm\sqrt{18}=\pm3\sqrt{2}\)
\(\therefore \sqrt{7-30\sqrt{-2}}=\pm5\pm i3\sqrt{2}\)
\(=\pm(5-i3\sqrt{2})\) [Ans]
[প্রথম বন্ধনীর ভেতর ‘-’ নেয়ার কারণ হলো (iii) নং এ আমরা পেয়েছি, \(2xy=-30\sqrt{2}\)
\(\because 2xy<0, x\) ও \(y\) বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে]

এখন তোমাদের এই অংক সমাধানের একটি বিকল্প পদ্ধতি দেখাবো। তবে তোমরা ক্লাসে বা এইচ.এস.সি তে উপরের পদ্ধতিটিই অনুসরণ করবে। নিচের বিকল্প পদ্ধতিটি তোমরা শুধুমাত্র নৈর্ব্যক্তিক এর জন্য অথবা বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষায় লিখিত অংশে ব্যবহার করতে পারবে।


মোবাইলের স্ক্রিনে ডানে এবং বামে swipe করে ব্যবহার করো নিচের প্রেজেন্টেশনটি। পুরো স্ক্রিনজুড়ে দেখার জন্য স্লাইডের নিচে পাবে আলাদা একটি arrow বাটন।


তাহলে বর্গমূল সংক্রান্ত প্রথম সমস্যাটিই আমরা আবার সমাধান করবো, তবে এখন এই বিকল্প নিয়মটি ব্যবহার করে। তোমাদের সুবিধার্থে উপরের স্লাইডগুলির সাথে Step সহকারে সমাধান করা হল:
Step 1: \(7-30\sqrt{2}=7-i30\sqrt{2}=7-i.2.15.\sqrt{2}\)
Step 2 & Step 3: y এর সাথে i যুক্ত আছে ধরা হল।

\(\therefore x^2-y^2=7\) হবে এবং
\(2xy=2.15\sqrt{2}\) হবে
\(\Rightarrow xy=15\sqrt{2}\) হবে

\(x\) \(3\sqrt{2}\) \(5\)
\(y\) \(5\) \(3\sqrt{2}\)
\(\) \((3\sqrt{2})^2-5^2=-7\) \(5^2-(3\sqrt{2})^2=7\)

\(\therefore x^2-y^2=(3\sqrt{2})^2\) হবে

Step 4:\( \therefore \sqrt{7-i30\sqrt{2}}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2-i.2.15\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{5^2-2.5.3\sqrt{2}i+(i3\sqrt{2})} [\because i^2=-1]\)
\(=\sqrt{(5-i3\sqrt{2})}\)
\(=\pm(5-i3\sqrt{2})\) [Ans]

গাণিতিক সমস্যাবলী

বর্গমূল নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন: -i এর বর্গমূল নির্ণয় করো।
সমাধান: \(-i=\frac{1}{2}(-2i)\)
\(=\frac{1}{2}(0-2i)\)
\(=\frac{1}{2}(1^2-1^2-2i)\)
\(=\frac{1}{2}(1^2-2.1.i-i^2)\)
\(=\frac{1}{2}(1-i)^2\)
\(\therefore \sqrt{-i}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
Remark: এভাবে আমরা \(+i\) কেও সর্বদা \((1+i)^2\) রূপে নিতে পারি।

ঘনমূল নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন: -i এর ঘনমূল নির্ণয় করো।
সমাধান: \(\sqrt[3]{-i}=x\)
\(\Rightarrow x^3=-i\)
\(\Rightarrow x^3+i=0\)
\(\Rightarrow x^3-i^3=0 [\because i^3=-i]\)
\(\Rightarrow (x-i)(x^2+i.x+i^2)=0\)
\(\therefore x-i=0\) বা, \(x^2+i.x-1=0\)
\(\Rightarrow x=i\)
বা, \(x=\frac{-i\pm\sqrt{i^2-4.1(-1)}}{1.a}\)
\(\frac{-i\pm\sqrt{-1+4}}{2}=\frac{-i\pm\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore \sqrt[3]{-1}=i, \frac{-i\pm\sqrt{3}}{2} [Ans]\)
Remark: এখানে তিনটি মূলই অবাস্তব (কাল্পনিক)।

n-তম মূল নির্ণয় সংক্রান্ত (n = 4,6,8 ইত্যাদি)

প্রশ্ন: \(\sqrt[6]{-64}\)
সমাধান:
ধরি, \(\sqrt[6]{-64}\)
\(\Rightarrow -64=x^6\)
\(\Rightarrow (x^2)^3+(4)^3=0\)
\(\Rightarrow (x^2+4)(x^4-4x^2+16)=0\)
\(\Rightarrow x^2+4=0\) অথবা, \(x^4-4x^2+16=0\)
\(x^2=-4\) \(m^2-4m+16=0\) [\(x^2=m\)ধরে]
\(=\pm i.2\) \(\therefore m=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^2}-4.1.16}{2.1}\)
\(=\frac{4\pm\sqrt{16-64}}{2}\)
\(=\frac{4\pm\sqrt{-48}}{2}\)
\(=\frac{4\pm i4\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow x^2=2\pm i2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x^2=(\sqrt{3})^2-(1)^2\pm i2\sqrt{3}\)
\(=(\sqrt{3})\pm i2\sqrt{3}+i^2\)
\(=(\sqrt{3}\pm i)^2\)
\(\therefore x=\pm(\sqrt{3}\pm i)\)
বা, \(x=\pm\sqrt{_4}\)
\(\therefore x=\pm i.2, \pm(\sqrt{3}\pm i)\) \([Ans]\)

নির্দিষ্ট শর্তাধীনে কোনো প্রমাণ সংক্রান্ত

প্রশ্ন (ক): \((a+ib)(c+id)=x+iy\) হলে, প্রমাণ করো, \((a-ib)(c-id)=x-iy\)
সমাধান: \((a+ib)(c+id)=x+iy\)
বা, \(ac+i.bc+i.da+i^2bd=x+iy\)
\(\Rightarrow ac+i.ad+i.bc-bd=x+iy\)
\(\Rightarrow(ac-bd)+i.(ad+bc)=x+iy\)
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,
\(x=ac-bd\)
\(y=ad-bc\)
এখন, L.H.S বা বামপক্ষ \(=(a-ib)(c-id)\)
\(=ac-iad-ibc+i^2bd\)
\(=(ac-bd)-i(ad+bc)\)
\(=x-iy\)
\(= R.H.S\) \((Proved)\)

প্রশ্ন (খ): a, b বাস্তব সংখ্যা এবং \(a^2+b^2=1\) হলে দেখাও যে, x এর একটি বাস্তব মানের জন্য \(\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib\) হবে।
সমাধান:
দেওয়া আছে, \(a,b \in R\) এবং \(a^2+b^2=1\)
\(\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib\)
বা, \(a+i.ax-i.b-i^2bx=1-ix\)
বা, \(bx+i.ax+i.x=(1-a)+i.b\)
বা, \(x{b+i.(1+a)}=(1-a)+i.b\)
বা, \(x=\frac{(1-a)+i.b}{b+i(1+a)}\)
\(=\frac{((1-a)+i.b)(b-1(1+a))}{b^2+(1+a)^2}\) [লব ও হরকে হরের অনুবন্ধী রাশি দ্বারা গুণ করে]
\(=\frac{b-ab+ib^2-i(1-a^2)-i^2b(1+a)}{b^2+a^2+2a+1}\)
\(=\frac{b-ab+i(b^2-1+a^2)+b+ab}{a^2+b^2+2a+1}\)
\(=\frac{2b+i(a^2+b^2-1)}{a^2+b^2+2a+1} [\because a^2+b^2=1]\)
\(=\frac{2b+i(1-1)}{1+2a+1}=\frac{2b}{2a+2}\)
\(\therefore x=\frac{b}{a+1}\)

∴ x এর একটি বাস্তব মান প্রদত্ত সমীকরণকে সিদ্ধ করে (Showed)
Remark: এবার খাতা-কলম নিয়ে বসো এবং নিজেরা এই অংকটি সমাধান করো: যদি x এর একটি বাস্তব মান \(\frac{1-ix}{1+ix}=a-ib\) কে সিদ্ধ করে, তবে প্রমাণ করো যে \(a^2+b^2=1\)

এককের ঘনমূল ω সংক্রান্ত

প্রশ্ন (ক): 1 এর জটিল ঘনমূল ω হলে প্রমাণ করো,
\((1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega^4)(1-\omega^4+\omega^8)(1-\omega^8+\omega^{16})=16\)

সমাধান:
\(L.H.S=(1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega)(1-\omega+\omega^2)(1-\omega^2+\omega)\)
\(=(1-\omega+\omega^2)^2(1-\omega^2+\omega)^2\)
\(=(1+\omega+\omega^2-2\omega)^2(1+\omega+\omega^2-2\omega^2)^2\)
\(=(0-2\omega)^2(0-2\omega^2)^2\)
\(=4\omega^2.4\omega^4\)
\(=16\omega^6=16\) [Ans]

প্রশ্ন (খ): এককের একটি জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে প্রমাণ করো,
\((1-\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{16})=9\)

সমাধান:
(1-\omega^2)(1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{16})
\(=(1-\omega^2)(1-\omega^)(1-\omega^2)(1-\omega)\)
\(=(1-\omega^2)^2(1-\omega)^2\)
\(=((1-\omega^2)(1-\omega))^2\)
\(=(1-\omega-\omega^2+\omega^3)^2\)
\(=(2-\omega-\omega^2)^2=(2-(\omega+\omega^2))^2\)
\(=(2+1)^2 [\because1+\omega+\omega^2=0]\)
\(=3^2=9\) [Ans]

নির্দিষ্ট শর্তসাপেক্ষে মান নির্ণয় সংক্রান্ত

প্রশ্ন: 1 এর জটিল ঘনমূল \(\omega\) হলে এবং \((a+b\omega+c\omega^2)^2+(a\omega+b+c\omega^2)^2+(a\omega+b\omega^2+c)^2=0\) হলে a এবং b এর মান নির্ণয় করো।
সমাধান: \((a+b\omega+c\omega^2)^2+(a\omega+b+c\omega^2)^2+(a\omega+b\omega^2+c)^2=0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\omega^2+c^2\omega+2abc\omega+2bc+2ca\omega^2+a^2\omega^2+b^2+c^2\omega+2ab\omega\)

\(+
2abc\omega^2+2ca+a^2\omega^2+b^2\omega+c+2ab+2bc\omega^2+2ca\omega=0\)

\(\Rightarrow a^2(1+\omega^2+\omega^2)+b^2(1+\omega+\omega^2)+c^2(1+\omega+\omega)\)

\(+2ab(1+\omega+\omega)+2bc(1+\omega^2+\omega^2)+2ca(1+\omega+\omega^2)=0\)

\(\Rightarrow (1+\omega^2+\omega^2)(a^2+2bc)+(1+\omega+\omega)(c^2+2ab)=0\)
\(\Rightarrow (\omega+\omega^2)(a^2+2bc)+(\omega^2+\omega)(c^2+2ab)=0\)
\(\Rightarrow (\omega^2-\omega)(a^2+2bc)(\omega^2\omega)(c^2+2ab)=0\)
\(\Rightarrow (\omega^2-\omega)(a^2+2bc-c^2-2ab)=0\)
\(\Rightarrow a^2+2bc-c^2-2ab=0 [\because\omega^2-\omega\neq0]\)
\(\Rightarrow (a+c)(a-c)-2b(a-c)=0\)
\(\Rightarrow (a-c)(a+c-2b)=0\)
\(\therefore a-c=0\) অথবা, \(a+c-2b=0\)
\(\Rightarrow a=c\) \(\Rightarrow b=\frac{1}{2}(a+c)\) [Ans]


সঠিক উত্তরটিতে ক্লিক করো


নিচের সত্য/মিথ্যা গুলো নির্ণয় করে ঝালাই করে নাও নিজেকে।


আমরা আশা করছি, এই স্মার্টবুকটি পড়ার মাধ্যমে তোমার উপাত্ত, কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও বিস্তার পরিমাপ এর ব্যাপারে ধারণা বেশ স্পষ্ট হবে। অবশ্যই বিষয়গুলো নিয়মিত চর্চার মাঝে রাখবে। এর পাশাপাশি আমাদের অন্যান্য স্মার্টবুকগুলো পড়তে ভুলো না কিন্তু! আর মনের মাঝে সব সময় গেঁথে রাখবে এই বাক্যটি রাখবে-

 

 

subheading

yourText

 

গাণিতিক সমস্যা ():
সমাধান:

আমরা আশা করছি, এই স্মার্টবুকটি পড়ার মাধ্যমে তোমার উপাত্ত, কেন্দ্রীয় প্রবণতা ও বিস্তার পরিমাপ এর ব্যাপারে ধারণা বেশ স্পষ্ট হবে। অবশ্যই বিষয়গুলো নিয়মিত চর্চার মাঝে রাখবে। এর পাশাপাশি আমাদের অন্যান্য স্মার্টবুকগুলো পড়তে ভুলো না কিন্তু! আর মনের মাঝে সব সময় গেঁথে রাখবে এই বাক্যটি রাখবে-