এইচএসসি উচ্চতর গণিত ১ম পত্র

সমাবেশ

বিন্যাস ও সমাবেশ সম্পর্কে আরো জানতে দেখে নাও এই ক্লাসটি


সমাবেশ টাইপভিত্তিক সমস্যা ও সমাধান
আমরা পূর্ববর্তী পেইজে সমাবেশ সম্পর্কে জেনে এসেছি। এখন আমরা সমাবেশ সংক্রান্ত বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা ও সমাধানের উপায় নিয়ে আলোচনা করবো। আলোচনার সুবিধার্থে আমরা সমস্যাগুলোকে বিভিন্ন টাইপ বা প্রকারে বিভক্ত করে নিবো যাতে আমরা সহজেই একটি সমস্যা বুঝতে পারি ও তা সমাধান করতে পারি।

টাইপ ০১


n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে প্রতিবারে r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ যেমন ধরো, তোমার ক্লাসে ৭ জন বন্ধু আছে । এখন তাদের মধ্যে থেকে যেকোন তিনজনকে নিয়ে দল গঠন করার উপায়।উদাহরণ: 10 জন ছাত্র থেকে 4 জন নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 ছাত্রের মধ্য থেকে আমাদেরকে 4 জন করে ছাত্র নিয়ে দল গঠন করতে হবে।
অর্থাৎ, এখানে n = 10 এবং r = 4 হবে।
সুতরাং, দল গঠন করা যাবে = 10C4= 210 টি।

টাইপ ০২


কমিটি, দল ইত্যাদি গঠন সংক্রান্ত সমস্যা যেমন ধরো, পরীক্ষার প্রশ্নে 2টি বিভাগে 5 টি করে প্রশ্ন দেওয়া আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে দুটি বিভাগ হতে প্রশ্ন উত্তর দিতে হবে মোট 6 টি। সে কোন বিভাগ হতেই 4টির বেশি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবেনা। এক্ষেত্রে সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে তা নির্ণয় সম্পর্কিত সমস্যা।

উদাহরণ:
(a) 9 জন লোকের একটি দল দুইটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে, এ যানবাহন দুটির একটিতে 7 জনের বেশি অপরটিতে 4 জনের বেশি ধরে না। দলটি কত রকমে ভ্রমণ করতে পারবে?
সমাধান:
প্রথমে আমরা গাড়ির ধারণক্ষমতা অনুযায়ী যাত্রী ভাগ করে দিব প্রতি গাড়িতে। এরপর প্রতিটি গাড়িতে যাত্রীদের আসন গ্রহণের উপায়ের সমাবেশ গণনা করব এবং দুই গাড়ির হিসাব গণনার গুণন বিধি অনুযায়ী গুণ করে দিব। তাহলে আমরা ভ্রমণের উপায় পেয়ে যাব।

 

১ম বাহন (7 জন) ২য় বাহন (4 জন) ভ্রমণের উপায়
 7  2  9C7 x 4C2 = 36
 6  3  9C6 x 4C3 = 84
 5  4  9C5 x 4C4 = 126
মোট উপায় =  246

 

(b) পরীক্ষার প্রশ্নে 2 টি বিভাগে 5 টি করে মোট 10 টি প্রশ্ন দেওয়া আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে দুটি বিভাগ হতে প্রশ্ন উত্তর দিতে হবে মোট 6 টি। সে কোন বিভাগ হতেই 4টির বেশি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারবেনা। এক্ষেত্রে সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান:
এখানেও আমরা প্রদত্ত শর্তানুসারে প্রশ্নসংখ্যা বাছাই করে সেখান থেকে সমাবেশ বের করব প্রতিটি বিভাগের জন্য। তারপর প্রতিক্ষেত্রের সমাবেশ-জোড়া গুণ করে সবগুলো গুণফল যোগ করে উত্তর বের করব।

 

১ম বিভাগ (5টি প্রশ্ন) ২য় বিভাগ (5টি প্রশ্ন) উত্তর করার উপায়
 4  2   5C4 x 5C2 = 50
 3  3 5C3 x 5C3 = 100
 2  4 5C2 x 5C4 = 50
মোট উপায় = 200 টি

 

টাইপ ০৩


কতগুলো বিন্দু বা রেখা নিয়ে রেখা বা জ্যামিতিক আকৃতি গঠন যেমন ধরো, 7 টি বিন্দু দ্বারা গঠিত রেখার সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে; যেখানে যেকোন 3 টি বিন্দু একই রেখায় অবস্থান করে না।

উদাহরণ:

 

১) 7 টি বিন্দু নিয়ে কতটি রেখা গঠন করা যাবে, যেখানে কোন 3 টি বিন্দু সমরেখ নয়?
সমাধান:
এখানে আমাদেরকে 7 টি বিন্দু পরস্পর যোগ করে রেখা তৈরি করতে হবে। খেয়াল কর, যেকোন তিনটি রেখা সমরেখ নয়। অর্থাৎ, যেকোন দুটি বিন্দু যোগ করলেই রেখা পাওয়া যাবে।
এখন, 7 টি বিন্দু থেকে 2 টি করে বিন্দু নিয়ে রেখা গঠিত হয়, তাই n = 7 এবং r = 2 ।
সুতরাং, দল গঠন করা যাবে = 7C2টি = 21 টি।

 

২) 7 টি বিন্দু নিয়ে কতটি রেখা গঠন করা যাবে, যেখানে 3 টি বিন্দু সমরেখ?
সমাধান:
এখানে আমাদেরকে 7 টি বিন্দু পরস্পর যোগ করে রেখা তৈরি করতে হবে। খেয়াল করো, তিনটি রেখা সমরেখ। অর্থাৎ, যেকোনো দুটি বিন্দু যোগ করলেই রেখা পাওয়া যাবে কিন্তু এই তিনটি বিন্দু যোগ করে একটি মাত্র রেখা পাওয়া যাবে।

এখন, 7 টি বিন্দু থেকে 2 টি করে বিন্দু নিয়ে রেখা গঠিত হয়, তাই n = 7 এবং r = 2 ।

সুতরাং, দল গঠন করা যাবে = 7C2 = 21 টি।কিন্তু সমরেখ বিন্দু 3 টি থেকে রেখা পাবার কথা 3C2= 3 টি, অথচ রেখা পাচ্ছি আমরা 1 টি।

সুতরাং, অতিরিক্ত রেখা হিসাব করা হয়েছে = 3 – 1 = 2 টি।
এক্ষেত্রে প্রকৃতপক্ষে রেখা পাওয়া যাবে = 21 – 2 = 19 টি।

 

৩) সাতটি সরলরেখার দৈর্ঘ্য 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cm. দেখাও যে, এদের দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের সংখ্যা 32।
সমাধান:
আমরা জানি চতুর্ভুজ গঠনের জন্য 4 টি করে রেখা প্রয়োজন। সুতরাং, 7 টি সরলরেখা হতে 4টি করে রেখা বাছাই করার উপায় =

7C4 = 35 কিন্তু আমরা জানি, কোন চতুর্ভুজের যেকোন তিনটি বাহুর সমষ্টির মান চতুর্থ বাহুর চেয়ে অবশ্যই বড় হবে। তাই

নিচের 3টি বাছাই এর জন্য কোন চতুর্ভুজ পাওয়া যাবে না -1, 2, 3, 6 { 1 + 2 + 3 এর মান 6 এর চেয়ে বড় নয় }
1, 2, 3, 7 { 1 + 2 + 3 এর মান 7 এর চেয়ে বড় নয় }
1, 2, 4, 7 { 1 + 2 + 4 এর মান 7 এর চেয়ে বড় নয় }

সুতরাং, চতুর্ভুজ পাওয়া যাবে = 35 – 3 = 32 টি। [দেখানো হলো]