ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

তোমাদের কী ফুয়াদের কথা মনে আছে? ঐযে সেই ফুয়াদ, যাকে বারবার খালি তার ক্লাসের গণিতের শিক্ষক দাঁড় করিয়ে প্রশ্ন করতেন এবং সে যত প্রস্তুতিই নিয়ে আসুক না কেন, প্রশ্ন শুনে ভ্যাবাচ্যাকা খেয়ে যেত, মনে আছে তার কথা? যারা ফুয়াদের গল্প জানো না, তারা আমাদের সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কিত স্মার্টবুকগুলি থেকে ঘুরে আস্তে পারো।
যাইহোক, ফিরে আসি ফুয়াদের কথায়। অনেকদিন পার হয়ে গিয়েছে, ফুয়াদদের ক্লাসে বর্তমানে গণিত দ্বিতীয় পত্র পড়ানো হচ্ছে। তো যেদিন ক্লাসে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ অধ্যায়টি পড়ানো শুরু করা হয়, ঐদিন শুরুতেই স্যার ক্লাসে এসে বোর্ডে একটি ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ লিখে সবাইকে সমাধান করতে বললেন। সমীকরণটি ছিল: \(3 tan^{2} \theta + 1 = \frac{2\sqrt{3}}{cot \theta}\)
তো প্রশ্নটি দেখার সাথে সাথে ফুয়াদ সমীকরণ সমাধান করতে বসলো। চলো, আমরা তার সমাধান পদ্ধতিটি একটু পর্যবেক্ষণ করি:

\(3 tan^{2} \theta + 1 = \frac{2\sqrt{3}}{cot \theta}\)

\(⇒ 3 tan^{2} \theta + 1 = 2 \sqrt{3}tan \theta\)

\(⇒ (\sqrt{3} tan \theta)^{2} – 2 \sqrt{3} tan \theta + 1 = 0\)

\(⁣⇒ (\sqrt{3} tan^{- 1} \theta )^{2} = 0\)

\(⇒ \sqrt{3} tan \theta = 1\)

\(⇒ tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}= tan \frac{\pi}{6}\)

\(∴ \theta = \frac{\pi}{6}\) [Ans]

এপর্যন্ত লিখে খুশিতে গদগদ হয়ে ফুয়াদ দৌড়ালো স্যারের কাছে, স্যারকে দেখাবে বলে। ক্লাসে কতদিন পর সে সবার আগে অংক শেষ করেছে! স্যার খাতাটি নিয়ে পাঁচ সেকেন্ড পর্যবেক্ষণ করে অতঃপর গম্ভীরভাবে বললেন, “অংকটি হয়নি।”
ফুয়াদের আরও একবার ভ্যাবাচ্যাকা খাবার পালা। সে তো ১০০% নিশ্চিত ছিল তার অংকটি হয়েছে! স্যারকে জিজ্ঞেস করলে স্যার বললেন, “জায়গায় যাও, বলছি।
ফুয়াদ নিজ জায়গায় ফেরত আসলে স্যার উঠে দাঁড়িয়ে সবার উদ্দেশ্যে বলা শুরু করলেন, “আমি জানি তোমাদের অধিকাংশেরই উত্তর এসেছে 6 । কিন্তু শুধুমাত্র এই উত্তরটি আসলে তোমাদের অংকটি হয়নি। \(tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}\) এই লাইনটি সমাধান করলে ত্রিকোণমিতিক কোণ এর অনেকগুলি মান আমরা পাই। যেমন: tan 210° এর মান \(\frac{1}{\sqrt{3}}\), tan (-150)° এর মান \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) এরকম অসংখ্য \(\theta\) এর মান পাওয়া যাবে যার জন্য \(tan \theta\) এর মান \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) হবে। তো তোমরা আর বাচ্চাকালে যেভাবে \(tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}= tan \frac{π}{6}\)
\(∴ \theta = \frac{π}{6}\) এভাবে লিখে দিতে, সেভাবে লিখলে এখন আর হবে না। প্রত্যেকটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এর সাধারণ সমাধান রয়েছে, এগুলি এখন থেকে তোমাদের জানতে হবে।”
এরপর স্যার এই সাধারণ সমাধানসমূহ সহ এবং সমীকরণ সমাধানের কিছু গুরুত্তপূর্ণ পদ্ধতি সবাইকে শিখিয়ে দিলেন।

চলো তাহলে আমরাও আস্তে আস্তে এসব শিখে ফেলি, যাতে আমরা নিজেরা নিজেরা সব সমীকরণ শুদ্ধভাবে সমাধান করতে পারি।


সমীকরণের সাধারণ সমাধান



কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় XOX’ কে X-অক্ষ YOY’ কে Y-অক্ষ এবং তাদের ছেদবিন্দু O কে মূলবিন্দু ধরি। মনে করি, OX স্থির রেখার উপর O বিন্দুকে কেন্দ্র করে একটি চলমান রেখা OP। OX থেকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতদিকে (Anti-clockwise) যাত্রা শুরু করে θ কোণ তৈরি করে দাঁড়ালো। P হতে OX এর উপর PQ ত্রিকোণমিতিক লম্ব টানি। OQ = x এবং OP = r ধরি।
তাহলে, P বিন্দুর স্থানাংক (x, y)।

এখন আমরা নিচের অপশনগুলিতে ক্লিক করে সাধারণ সমীকরণ নির্ণয়ের থিওরি দেখে নিই:


ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সাধারণ সমাধান সমূহ


Theory 1

sin θ = 0 হলে এর সাধারণ সমাধান নির্ণয়:

চিত্র থেকে পাই,
\(sin θ = \frac{y}{r}\)… (i)

যেহেতু বাস্তব ও সংজ্ঞায়িত মান পাওয়ার জন্য ভগ্নাংশের হর শূন্য হতে পারে না, তাই (i) নং সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য হয়ে যাবে শুধুমাত্র যদি y = 0 হয়।

অর্থাৎ, যদি কোণ উৎপন্নকারী ঘূর্ণায়মান রেখাটি X-অক্ষের উপর অবস্থান করে তবে (i) নং সমীকরণের ডানপক্ষ শূন্য হয়ে যাবে।

sin θ = 0 হলে তাই কোণের মান এমন হবে যেন রেখাটি সর্বদা X-অক্ষের উপর অবস্থান করে।

∴ θ = 0, ±π, ±2π, ±3π, … ইত্যাদি।

= nπ ; n যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

Remark: যদি sin θ = 0 হয়, তবে θ = nπ ; \(n \epsilon Z\)


Theory 2

cos θ = 0 হলে এর সাধারণ সমাধান নির্ণয়:

চিত্র থেকে দেখা যায়, \(cos θ = \frac{x}{r}\)… … (ii)

(ii) নং সমীকরণে ডানপক্ষ শূন্য হয়ে যাবে যদি কোণ উৎপন্নকারী ঘূর্ণায়মান রেখাটি Y-অক্ষের উপর অবস্থান করে, অর্থাৎ x = 0 হয়।

\(cos θ = 0\)

\(∴ θ = \frac{π}{2}, π+ \frac{π}{2}, 2π+ \frac{π}{2}\), … … ইত্যাদি

এবং, \(θ = -π+ \frac{π}{2}, -2π+ \frac{π}{2}\), … … ইত্যাদি

\(⇒ θ = \pm \frac{π}{2}, \pm \frac{3π}{2}, \pm \frac{5π}{2}\), … …

\( ∴ θ = (2n + 1) \frac{π}{2} ; n\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

Remark: যদি cos θ = 0 হয়, তবে \(θ = (2n + 1) \frac{π}{2} ; n \epsilon Z\)

ড্রপ ডাউনগুলোতে ক্লিক করে জেনে নাও বিস্তারিত


গাণিতিক সমস্যাবলী


প্রশ্ন: \(tan 2θ ⋅tan θ =1\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো।
সমাধান:
\(tan 2θ ⋅tan θ =1\)

\(⇒ \frac{2tan θ} {1-tan^{2} θ} . tan θ =1\)

\(⇒ 2tan^{2} θ =1-tan^{2} θ\)

\(⇒ 3tan^{2} θ =1\)

\(⇒tan^{2} θ = \frac{1}{3}\)

\(⇒tan θ =± \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(⇒tan θ =tan (± \frac{π}{6}) ⇒θ=nπ± \frac{π}{6}\)

Ans: \(nπ+ \frac{π}{6}, nπ- \frac{π}{6}\)


প্রশ্ন: \(tan x +tan 3x =0\) সমীকরণটির সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো।
সমাধান:
\( tan x +tan 3x =0\)

\(⇒\frac{sin x}{cos x} + \frac{sin 3x} {cos 3x} =0\)

\(⇒ \frac{cos 3x sin x +sin 3x cos x}{ cos x cos 3x} =0\)

\( \frac{1}{cos x} =sec x ≠0\) \(\frac{1}{cos 3x} =sec 3x ≠0\)

\(∴sin x cos 3x +sin 3x cos x =0\)

\(⇒sin (x+3x) =0\)

\(⇒sin 4x =0\)

\(4x=nπ\)

\(∴ x=n \frac{π}{4}\) n ϵ Z [Ans]


প্রশ্ন: সমাধান করো: \(cot θ +tan θ =2 sec θ\) যখন \(-2π<θ<2π\)
সমাধান:

\( cot θ +tan θ =2 sec θ ; -2π<θ<2π\)

\(⇒ \frac{cos θ} {sin θ} + \frac{sin θ} {cos θ} = \frac{2}{cos θ}\)

\(⇒ \frac{cos^{2} θ +sin^{2} θ} {sin θ cos θ} = \frac{2}{cos θ}\)

\(⇒2sin θ cos θ =cos θ\)

\(⇒2sin θ cos θ -cos θ=0\)

\(⇒cos θ (2sin θ -1)=0\)

\(cos θ ≠0\)

\(\frac{1}{sec θ} ≠0\)

\(2sin θ -1=0\)

\(⇒sin θ = \frac{1}{2}=sin \frac{π}{6}\)

\(⇒θ=nπ+(-1)^{n} \frac{π}{6}\)

\(n=0, θ= \frac{π}{6}\)

\(n=1, θ=π- \frac{π}{6}= \frac{5π}{6}\)

\(n=1, θ= \frac{7π}{6}\)

\(n=2, θ= \frac{11π}{6}\)

\(∴θ= \frac{π}{6}, \frac{5π}{6},- \frac{7π}{6}, – \frac{11π}{6}\) [Ans]


প্রশ্ন: সাধারণ সমাধান বের করো: \(tan\ x +tan\ 2x +tan\ x .tan\ 2x =1\)
সমাধান:
\(tan\ x +tan\ 2x +tan x .tan 2x =1\)

\(⇒ tan\ x +tan\ 2x =1-tan\ x .tan 2x\)

\(⇒ \frac{tan\ x +tan 2x} {1-tan\ x .tan\ 2x} =1\)

\(⇒tan\ (x+2x) =tan \frac{π}{4}\)

\(⇒tan\ 3x =tan \frac{π}{4}\)

\(⇒3x=nπ+ \frac{π}{4}\)

\(⇒x= \frac{1}{3}nπ+ \frac{π}{12}\)

\(= \frac{1}{12}(4nπ+π)\)

\(∴x=(4n+1) \frac{π}{12} ; n ϵ Z\)


সমাধান করো: \(4cos\ x\ cos\ 2x\ cos\ 3x =1\) যখন \(0<x<π\)

সমাধান:

\(4\ cos\ x\ cos\ 2x\ cos\ 3x =1 ; 0<x<π\)

\(⇒2cos\ 2x\ .2cos\ 3x\ cos\ x =1\)

\(⇒2cos\ 2x\ (cos\ 4x\ +cos\ 2x )=1\)

\(⇒2cos\ 4x\ cos\ 2x +2cos^{2} 2x -1=0\)

\(⇒2cos\ 4x\ cos\ 2x +cos\ 4x =0\) [\(∵ 2cos^{2} x -1=cos\ 4x\) ]

\(⇒cos\ 4x\ (2cos\ 2x +1)=0\)

\(cos\ 4x =0\)

\(⇒4x=(2n+1) \frac{π}{2};nϵZ\)

\(∴x=(2n+1) \frac{π}{8}\)

\(2cos\ 2x +1=0\)

\(2cos\ 2x = -1\)

\(⇒cos\ 2x = – \frac{1}{2}=cos \frac{2π}{3}\)

\(⇒2x=2nπ ± \frac{2π}{3}; n ϵ Z\)

\(∴ x=nπ± \frac{π}{3}\)

\(∴ x=nπ+\frac{π}{3}\) এবং \(x=nπ- \frac{π}{3}\)


n এর মান \(x=(2n+1) \frac{π}{8}\) \(x=nπ+ \frac{π}{3}\) \(x=nπ- \frac{π}{3}\) 0<x<π এর মধ্যে x এর মান
0 \(\frac{π}{8}\) \(\frac{π}{3}\) -\(\frac{π}{8}\) \(\frac{π}{3}, \frac{π}{8}\)
1 \(\frac{3π}{8}\) \(\frac{4π}{3}\) \(\frac{2π}{3}\) \(\frac{3π}{8}, \frac{2π}{3}\)
2 \(\frac{5π}{8}\) \(2π+ \frac{π}{3}\) \(2π- \frac{π}{3}\) \(\frac{5π}{8}\)
3 \(\frac{7π}{8}\) \(3π+ \frac{
π}{
3}\)
\(3π- \frac{π}{3}\) \(\frac{7π}{8}\)
4 \(\frac{9π}{8}\) \(4π+ \frac{
π}{
3}\)

Ans: \(\frac{π}{8}, \frac{π}{3}, \frac{3π}{8}, \frac{2π}{3}. \frac{5π}{8}, \frac{7π}{8}\)


সঠিক উত্তরে ক্লিক করো


তাহলে আজ এ পর্যন্তই। আশা করছি এ অধ্যায়ের সমস্ত অংক এখন নিজেরাই সমাধান করতে পারবে। 10 Minute School এর পক্ষ থেকে তোমাদের জন্য শুভকামনা রইলো।