test

হাইলাইট করা শব্দগুলোর উপর মাউসের কার্সর ধরতে হবে। মোবাইল ব্যবহারকারীরা শব্দগুলোর উপর স্পর্শ করো।

সে অনেকদিন আগের কথা। কোন এক এলাকায় এক ফাংশন বাস করত। ফাংশনটির একবার ভারি অসুখ হল। অসুখটা ছিল এরকম, তার যেকোনো এক পড়ার বই হাতে নিলেই সে চোখে অন্ধকার দেখত। আস্তে আস্তে সমস্যাটা প্রকট আকার ধারণ করল। পড়ার বইয়ের কাছে গেলেই তার হ্যালুসিনেশন (এক ধরণের দৃষ্টিভ্রম)  হওয়া শুরু হত। হ্যালুসিনেশনের ধরণটিও বড় অদ্ভুত! সে নিজের শরীরকে \(\frac{০}{০}\) কিংবা কখনো কখনো \(\frac{∞}{∞}\) আকারে দেখতে পেত। সহজ কথায়, স্কিতজোফ্রেনিয়া রোগীর মত সে বাস্তব জগতে বিচরণ করত না। অবস্থা গুরুতর দেখে তাকে হাসপাতালে নিয়ে যাওয়া হল। হাসপাতালের নিউরো ডাক্তার রোগীর অবস্থা ভাল করে পর্যবেক্ষণ করে তারপর রোগীকে বলল, “আপনার এই সমস্যা তো ভয়াবহ ! আপনার নিউরো সার্জারি করা লাগবে। এবং এই সমস্যা একবার অপারেশনে নাও দূর হতে পারে। সেক্ষেত্রে যতক্ষণ পর্যন্ত না এই রোগ দূর হয়, ততক্ষণ পর্যন্ত অপারেশন চালিয়ে যাওয়া লাগতে পারে।”

রোগী আঁতকে উঠে বলল, “ডাক্তার সাহেব, এই রোগ কি সারবে?”

ডাক্তার বলল, “অবশ্যই!”

তারপর ফাংশনের অপারেশন চলল। একবার অপারেশনেই রোগী সুস্থ হয়ে ওঠে। এরপর থেকে তার আর বই পড়তে কোন সমস্যা হয়নি।

পরবর্তীতে ঐ ডাক্তারের কাছে আরও অনেক রোগী আসে একইধরনের সমস্যা নিয়ে। কারো কারো একবার অপারেশনে রোগটা সেরে ওঠে না, এমনকি দুইবার, তিনবারও অপারেশন করা লাগে। কিন্তু এই পদ্ধতিতে সব রোগীই সুস্থ হয়ে ওঠে।

পদ্ধতিটির নাম তোমরা শুনতে চাও? পদ্ধতির নাম হল L’Hôpital’s rule. অনেকে একে L’Hospital’s Law ও বলে থাকে।

চল আমরা উপরের গল্পের সাথে L’Hospital’s Law এর যোগসাদৃশ্য খুঁজে বের করি। বইয়ের কাছে গমনকে আমরা ফাংশনের চলরাশির লিমিট ধরতে পারি। তাহলে, অপারেশন করাকে চলরাশির সাপেক্ষে ফাংশনের লব ও হরকে পৃথকভাবে অন্তরীকরণ করার সাথে তুলনা করা যায়।

Image: MAT-1.9.2.2

তোমরা কিন্তু সৃজনশীল উত্তরে এই পদ্ধতি ব্যবহার করবে না! এটি শুধুমাত্র MCQ বা নৈব্যত্তিক উত্তর দেওয়ার সময় ব্যবহার করবে।

L’Hôpital’s rule বা L’Hospital’s Law ব্যবহার করে চল কিছু অংক কষি:

১)\(lim_{h→0} \frac{1-cos\ h}{h^{2}}\)

এই ফাংশনের চলরাশি h এর লিমিট ফাংশনে বসালে 00 আকার পাই।

∴L’Hospital প্রয়োগ করা যাবে।

\(lim_{h→0} \frac{1-cos\ h}{h^{2}} = lim_{h→0} \frac{sin\ h}{2h}\) [লব ও হরকে h এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

পুনরায় L’Hospital Rule প্রয়োগ করে পাই,

\(lim_{h→0} \frac{cos\ h}{2}\) [লব ও হরকে h এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

Limit এর মান ফাংশনে বসিয়ে পাই,

\(= \frac{cos\ 0°}{2} = \frac{1}{2}\) [Ans]

২)\(lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}}\)

এ ফাংশনে চলরাশির লিমিট বসালে \(\frac{∞}{∞}\) আকারে ফাংশনটি পাই, [ যেকোন সংখ্যার ঘাত \(→ ∞\) হলে সংখ্যাটিও \( → ∞\)]
একারণে L’ Hospital rule প্রয়োগ করা যাবে,

\(lim_{x→∞} \frac{x}{e^{x}}\)

\(=lim_{x→∞} \frac{1}{e^{x}}\)

[লব ও হরকে পৃথকভাবে x এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে]

\(=0 [∵ \frac{1}{∞}=0]\) [Ans]

অংক করতে হলে থিওরি সম্পর্কে জ্ঞান থাকা অতীব জরুরি। তাই এখনো তোমরা লিমিটের থিওরি পড়ে না থাকলে ঝটপট এই বইটি পড়ে ফেল:

বইটি পড়তে এখানে ………………….