ভেক্টর: লব্ধি, বিভাজন ও উপাংশ

এক নজরে গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞাগুলো

কল্পনায় ফুটবলের অবস্থান
ধরো, একদিন তুমি ফুটবল খেলছ তোমার বন্ধুদের সাথে। একটা সময় বল এমন জায়গায় আসল যে তুমি শট নিলেই গোল হয়ে যাবে! তো তুমি দৌড় দিলে শট নেওয়ার জন্য। কিন্তু তোমার প্রতিপক্ষ দলের একজন খেলোয়াড় গোলটা যাতে না হয় সেজন্য বলের দিকে দৌড় দিল!!!
এখন পরিস্থিতি এমন হল যে তুমি আর তোমার প্রতিপক্ষ বন্ধু দুজনেই একসাথে বলের কাছে পৌঁছালে এবং একই সাথে বলের উপর শট করলে!
বল বেচারার হল বিপদ! সে এখন কোন দিকে যাবে! তুমি যেদিকে শট নিয়েছ সেদিকে নাকি তোমার প্রতিপক্ষ যেদিকে শট নিয়েছে সেদিকে!
এখন চলো আমরা চিন্তা করে দেখি বলটি আসলে কোন দিকে যাবে! কল্পনা করা শুরু করে দাও!!
কল্পনা করতে পেরেছ কি! দৃশ্যটা কী রকম হবে তা কি দেখতে পারলে মনের চোখ দিয়ে! দেখো তো ঘটনাটা এরকম কী না!

 


ফুটবল থেকে ভেক্টরে
তাহলে আমরা দেখতে পারলাম যে, ফুটবলটি আসলে কারো শটের দিকেই যায় না বরং দুই শটের মাঝখান দিয়ে যায়!
তাহলে ভেবে দেখ, শট গুলো ছিল আমাদের প্রয়োগকৃত “বল”। আর আমরা জানি বল এক প্রকার ভেক্টর রাশি
অর্থাৎ, দুইটি বল একই সাথে একই ফুটবলের উপর প্রয়োগ করায় একটি লব্ধি বলের সৃষ্টি হয় এবং সেই বলের দিক বরাবর ফুটবলটি চলে যায়!

এখন চলো, ফুটবলটিকে একটি বিন্দু হিসেবে বিবেচনা করি এবং শটগুলোকে দুইটি ভেক্টর হিসেবে কল্পনা করি। কল্পনা শেষ করে,আমাদের দেওয়া ছবির সাথে একটু মিলিয়ে নাও!

 

চিত্রের সাথে আশা করি তোমাদের কল্পনা মিলে গেছে! দেখ, দুইটি ভেক্টরের সাহায্যে একটি সামান্তরিক আঁকা হয়েছে। অদ্ভুত একটা ব্যাপার লক্ষ করেছ কি? লব্ধি বলটি আসলে আমাদের আঁকা সামান্তরিকের কর্ণ হিসেবে কাজ করে!
তাহলে পুরো ব্যাপারটাকে আমরা এভাবে বলতে পারি- “দুইটি একই রকম ভেক্টর একই সময়ে একই বিন্দুতে কাজ করলে যে লব্ধি ভেক্টর পাওয়া যায় সেটি ভেক্টর দুইটি দিয়ে আঁকা সামান্তরিকের কর্ণ বরাবর কাজ করে!”
এই পুরো বিষয়টিকে আমরা পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায় বলি “সামান্তরিক সূত্র”।

সামান্তরিক সূত্রের শর্তসমূহ

এখানে লক্ষণীয় বিষয় হল, সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করতে হলে –

শর্ত-১: ভেক্টর দুইটিকে একই ধরণের হতে হবে; (ধরা যাক তুমি কোন বিন্দুতে বল প্রয়োগ করলে, বিন্দুটির সরণ হল একদিকে, এক্ষেত্রে কিন্তু বল ও সরণের মধ্যে সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করা যাবে না, কারণ বল ও সরণ একই ধরণের ভেক্টর রাশি না।)

শর্ত-২: ভেক্টর দুইটিকে একই বিন্দুতে কাজ করতে হবে;

শর্ত-৩: ভেক্টর দুইটিকে একই সময়ে কাজ করতে হবে;

কারণ কি? নিজেরাই ভেবে দেখো! যদি তুমি আর তোমার বন্ধু আলাদা দুইটি ফুটবলে শট করো তাহলে এই সূত্র কি কাজ করবে? অথবা তুমি ফুটবলে শট করে ফেলেছ, তোমার প্রতিপক্ষ কি আর সেই বলের উপর ঐ মুহূর্তে শট করতে পারবে?

 

বন্ধুরা আশা করি আমরা সামান্তরিক সূত্র সম্পর্কে ধারণা পেয়ে গেছো! আরেকটু ভালভাবে জানার জন্য আমরা এই ভিডিও লিঙ্ক থেকে ঘুরে আসতে পারিঃ

 

 

আচ্ছা! আমরা তো জানলাম সামান্তরিক সূত্র বলতে কি বোঝায়! কিন্তু এটা আমরা কি কাজে ব্যবহার করতে পারবো!
ধরা যাক, একটি বিন্দু বস্তুকে একই সময় দুই দিক থেকে ধাক্কা দেওয়া হল! তাহলে আমরা কি বলতে পারবো বিন্দুটি কোন দিকে যাবে?
হ্যাঁ, অবশ্যই পারবই, যদি আমরা সামান্তরিক সূত্র প্রয়োগ করি! কোন দিকে যাবে সেটা তো বলতে পারবই, দুই দিক থেকে ধাক্কার ফলে ঐ বিন্দু বস্তুর উপর আসলে কি পরিমাণ বল কাজ করছে, তাও জানতে পারবো!
তাহলে চলো, নিচে দেওয়া দুইটি ভিডিও লিঙ্ক থেকে আমরা জেনে নিই, দুইটি ভেক্টর একই বিন্দুতে একই সময়ে কাজ করলে লব্ধি ভেক্টরের মান ও দিক কিভাবে বের করতে হয়।
মান নির্ণয়ের জন্যঃ

 

দিক নির্ণয়ের জন্যঃ

 

ভিডিও দেখার পর আমরা এটা জেনে গিয়েছি যে, দুইটি সমজাতীয় ভেক্টর এবং একই সময়ে একটি বিন্দুতে নিজেদের মধ্যে কোণ তৈরি করে কাজ করলে যদি লব্ধি ভেক্টর পাওয়া যায় তাহলে,


এই সূত্র থেকে আমরা দেখতে পাই এর মান শুধু এবং এর উপর নির্ভর করে না, এদের মধ্যবর্তী কোণের উপরও নির্ভর করে!

তাহলে চলো, একটু হাতে কলমে ব্যাপারটা করে দেখি!

আশা করি সবাই এই সমস্যার সমাধান করতে পেরেছি এবং একই সাথে আমরা বুঝতে পারলাম যে R এর মান α উপর নির্ভরশীল। যদি সমস্যাটি সমাধান করতে সমস্যা হয় তাহলে আমরা এই ভিডিও লিঙ্ক থেকে ঘুরে আসতে পারিঃ