অনুপাত, সদৃশ্যতা ও প্রতিসমতা

অনন্যার বাসার সামনে বিশাল বাগান। প্রতিদিন সে বাগানে যায়, বাগানের ফুল, পাতাগুলো তার খুব প্রিয়। তার বান্ধবীরাও মাঝে মাঝে তার সাথে আসে, তার বাসায় আসলে বাগানে যেন না গেলেই নয়। তো পাপিয়া আসলো একদিন, ওইদিন তাদের অংক করার কথা। পাপিয়া বাগানের দুইটা গোলাপ ফুল দেখিয়ে বলল, “দেখো, এই ফুল দুইটা যেন দেখতে একই রকম” অনন্যা বলে উঠলো “উহু তারা তো একই রকম হবে, গোলাপ ফুল বলে!” পাপিয়া ফের বলে, “আচ্ছা, তাহলে তারা সদৃশ, তাই না? কারণ তাদের প্রতিটির অনুপাত একই।” ছোট্ট বন্ধুরা, অনন্যা আর পাপিয়ার সাথেই আমরা তাহলে চলো যাই অনুপাত, সদৃশ্যতা ও প্রতিসমতা অধ্যায়ে।

Image result for garden cartoon

অনুপাত

অনুপাত নিয়ে আশা করি তোমাদের ধারণা আছে। তবুও অনুপাতের একেবারে মৌলিক কিছু তত্ত্ব আর সমানুপাতের সংজ্ঞা আর জ্যামিতিতে সমানুপাতের প্রয়োগ দেখে নিতে পারো।

(>) চিহ্নিত অংশে ক্লিক করে জেনে নাও পরবর্তী তথ্য!


অনুপাত সম্পর্কে আরো জানতে আমাদের লাইভ ক্লাসটি দেখে নাও!



বন্ধুরা, এই ছোট্ট মুল্যায়নটির পর আমরা উপপাদ্য শুরু করছি


উপপাদ্য এক

ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর সমান্তরাল সরলরেখা অপর বাহুদ্বয়কে বা তাদের বর্ধিত্বাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।

বিশেষ নির্বচন ABC ত্রিভুজের BC বাহুর সমান্তরাল রেখা DE, AB ও AC বাহুকে বা তার বর্ধিতাংশকে D ও E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB : DB = AC : EC.
অঙ্কন B,E ও D,C যোগ করি।
উপপাদ্য এক
প্রমাণ ΔADE আর ΔBDEএকই উচ্চতা বিশিষ্ট।

\(\frac{ΔADE}{ΔBDE}\) = \(\frac{AD}{BD}\) …..(1) [দুইটি ত্রিভুজের উচ্চতা সমান হলে, তাদের ক্ষেত্রফল ও ভূমি সমানুপাতিক]
ΔADE আর ΔDEC একই উচ্চতা বিশিষ্ট।
\(\frac{ΔADE}{ΔDEC}\) = \(\frac{AE}{EC}\) …..(2)
কিন্তু, BDE আর DEC ত্রিভুজদ্বয় ক্ষেত্রফলে সমান।
\(\frac{ΔADE}{ΔBDE}\) = \(\frac{ΔADE}{ΔDEC}\)
সমীকরণ 1 আর 2 থেকে পাই,
\(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\)

উপপাদ্য দুই

কোনো সরলরেখা কোনো ত্রিভুজের দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিত্বাংশকে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল।
বিশেষ নির্বচন DE রেখাংশ ABC ত্রিভুজের AB ও AC বাহুদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করেছে। অর্থাৎ AD : DE = AE : EC। প্রমাণ করতে হবে যে, BC ও DE পরস্পর সমান্তরাল।
অঙ্কন B,E ও D,C যোগ করি।
উপপাদ্য দুই
প্রমাণ ADE ও BDE ত্রিভুজদ্বয় একই উচ্চতা বিশিষ্ট।
\(\frac{ΔADE}{ΔBDE}\) = \(\frac{AD}{DB}\)
আবার ADE ও DEC একই উচ্চতা বিশিষ্ট।
\(\frac{ΔADE}{ΔDEC}\) = \(\frac{AE}{EC}\)
কিন্তু,
\(\frac{AD}{DB}\) = \(\frac{AE}{EC}\)
\(\frac{ΔADE}{ΔBDE}\) = \(\frac{ΔADE}{ΔDEC}\)
ΔBDE আর ΔDEC এর ক্ষেত্রফল সমান।
কিন্তু, ΔBDE আর ΔDEC একই ভূমি DE এর মাঝে অবস্থিত। সুতরাং তারা একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত। BC || DE


উপপাদ্য তিন

ত্রিভুজের যেকোনো কোনের অন্তর্দ্বিখন্ডক বিপরীত বাহুকে কোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় এর অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
বিশেষ নির্বচন মনে করি, AD রেখাংশ ABC ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণ A কে সমদ্বিখন্ডিত করে BC বাহুকে D বন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, BD : DC = BA : AC
অঙ্কন DA রেখাংশের সমান্তরাল করে C বিন্দু দিয়ে CE রেখাংশ অঙ্কন করি, যেন তা বর্ধিত BA বাহুকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
উপপাদ্য তিন
DA||CE এবং AC তাদের ছেদক,
সুতরাং, ∠AEC = ∠BAD [অনুরূপ কোণ বলে]
এবং ∠ACE = ∠CAD[একান্তর কোণ বলে]
∠BAD = ∠CAD [AD, BAC কে সমদ্বিখণ্ডিত করে]
∠AEC = ∠ACE
AC = AE

আবার,
DA||CE
তাই, BDDC =BAAE
যেহেতু, AC = AE
সুতরাং, BDDC = BAAC
BD : DC = BA : AC


আরো জানতে চলে যাও পরবর্তী পৃষ্ঠায়!