রেখা, কোণ ও ত্রিভুজ

স্কুল এর টিফিন এর ছুটিতে অথবা বিকেল হতেই তো রাফিদ নেমে আসে মাঠে ক্রিকেট, ফুটবল খেলার জন্য। ফুটবল নিয়ে ছোটাছুটি করে খেলে, আচ্ছা, ফুটবল এর আকার টার কথা কি কখনো ভেবেছো তোমরা? কিরকম হয় একটু চিন্তা করে দেখো তো!
আমাদের আশেপাশে যা কিছুই আছে, একটু দেখে কল্পনা করো তো, সবগুলো কে আসলে রেখা, কোণ, ত্রিভুজ দিয়েই আঁকা যায়। রেখা, ত্রিভুজ আসলে জাদুকরী একটা জিনিস। একটা রেখা দিয়েই তো দুনিয়ার সব কিছুই বানানো সম্ভব।

জ্যামিতির একদম বেসিক জিনিস হচ্ছে এই রেখা, কোণ, ত্রিভুজ। এত বড় একটা শাখা জ্যামিতি, কত কঠিন কাটখোট্টা জিনিস, কিন্তু সবকিছুর মূলে কিন্তু এই রেখা, কোণ এগুলোই। আর এই বেসিক জিনিসগুলোই আমাদের এই অধ্যয় এর বিষয়।

জ্যামিতির একদম বেসিক জিনিস হচ্ছে এই রেখা, কোণ, ত্রিভুজ। এত বড় একটা শাখা জ্যামিতি, কত কঠিন কাটখোট্টা জিনিস, কিন্তু সবকিছুর মূলে কিন্তু এই রেখা, কোণ এগুলোই। আর এই বেসিক জিনিসগুলোই আমাদের এই অধ্যয় এর বিষয়।

 

প্রাথমিক ধারণা


ইউক্লিডের স্বীকার্য

ইউক্লিড তার ‘ইলিমেন্টস’ বই এ কিছু স্বতঃসিদ্ধ ও স্বীকার্য তুলে ধরেছেন যেগুলোকে জ্যামিতির ভিত্তি ধরা হয়।
ইউক্লিড ৫ টি স্বীকার্য তুলে ধরেছেন যেগুলো বাস্তব ধারণার সাথে সঙ্গতি রেখেই নির্ধারণ করা হয়েছে। যাদের মধ্যে প্রথম চারটি স্বীকার্য সত্য বলে প্রতীয়মান হলেও প্রমাণ করা যায় না।

  • একটি বিন্দু থেকে অন্য একটি বিন্দু পর্যন্ত একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
  • খন্ডিত রেখাকে যথেচ্ছভাবে বাড়ানো যায়।
  • যেকোনো কেন্দ্র ও যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকা যায়।
  • সকল সমকোণ পরস্পর সমান।

৫ম স্বীকার্যটি হল: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের চেয়ে কম, সেদিকে মিলিত হয়।

 

প্রতিজ্ঞার যৌক্তিকতা প্রমাণের পদ্ধতি

অবরোধ পদ্ধতি

জ্যামিতিক প্রমান

জ্যামিতির প্রমাণের জন্য কিছু ধাপ থাকে।
১) সাধারণ নির্বচন

২) বিশেষ নির্বচন

৩) প্রয়োজনীয় অঙ্কনের বর্ণনা
৪) প্রমাণের যৌক্তিক ধাপগুলোর বর্ণনা

 

উপপাদ্য ১

একটি সরলরেখার একটি বিন্দুতে অপর একটি রশ্মি মিলিত হলে ,যে দুইটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমস্টি দুই সমকোণ

এখানে AB রেখার O বিন্দুতে OD রশ্মি মিলিত হয়েছে।

OD লম্ব আঁকি।

তাহলে AOD =BOD = এক সমকোণ

আবার,  AOC = AOD + COD

এখন, AOC +BOC = AOD + ( COD  + BOC ) = এক সমকোণ + এক সমকোণ = দুই সমকোণ

 

উপপাদ্য ২

দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে , তৈরি হওয়া বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান ।

AOC = বিপ্রতীপBOD এবং AOD = বিপ্রতীপ BOC

দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা একটি ছেদক ছেদ করলে আমরা এরুপ একটি চিত্র (কোণের মান পরিবর্তিত হতেই পারে)। এখান থেকে অনুরূপ, একান্তর, অন্তঃস্থ কোণ সম্পর্কে ধারণা পেতে পারি।