ক্ষেত্রফল সম্পর্কিত উপপাদ্য ও সম্পাদ্য

বলোতো  চিত্রে মিল কোথায় আছে? একটা লম্বাটে, একটা বক্সের মতো, একটা বিল্ডিং এর মতো, মিলটা কোথায় থাকতে পারে? মিলটা আর কোথাও নয়, ক্ষেত্রফলে। সবগুলো বস্তুই নয়টা সমান ক্ষেত্রফলের বক্স দিয়ে তৈরি, তাই তাদের ক্ষেত্রফল ও সমান! ক্ষেত্রফলের পুরো ব্যাপারটাই অনেক মজার। আর এ অধ্যায়ে আমরা এই ক্ষেত্রফল নিয়েই খেলা করবো আর সেই ভয়ানক বিখ্যাত পিথাগোরাস নিয়ে গবেষণা করবো।

একটি আয়তক্ষেত্রের কথা চিন্তা করো!

ABCD আয়তের ক্ষেত্রফল হবে = AB x BC = ab বর্গ একক

খেয়াল করো, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হল (½) ভুমি উচ্চতা। তোমাকে যদি একটি আয়ত এঁকে বলা হয় এর সমান ক্ষেত্রফলের একটি ত্রিভুজ আঁকো  তাহলে তোমাকে কী করতে হবে?

আসলে শুধু ভূমিকে দ্বিগুণ করে দিয়ে একই উচ্চতার একটি ত্রিভুজ আঁকলেই হবে।

দুটি ত্রিভুজ সর্বসম হলে তাদের ক্ষেত্রফল অবশ্যই একই হবে কিন্তু দুটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান হলে, তারা সর্বসম হতেও পারে, নাও হতে পারে।

উপপাদ্য ১

একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল সমান।

 

 


উপপাদ্য ২: 

কোনো ত্রিভুজ ও সামান্তরিক একই ভূমি ও একই সমান্তরাল যুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সামান্তরিকের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক।

খুব সহজেই এটা বুঝা যাচ্ছে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (½) ভুমি x উচ্চতা। আর সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ভূমি x উচ্চতা। কিন্তু এটা জ্যামিতিক ভাবে প্রমাণ কীভাবে করা যায়?


উপপাদ্য ৩:

একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিক ক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফল সমান।


উপপাদ্য ৪:

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রে ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।