সমতলীয় ভেক্টর

ধরো, আজকের তাপমাত্রা 26 ডিগ্রি সেলসিয়াস। বলতে পারো, তাপমাত্রা কোন দিকে? বন্ধুরা, তাপমাত্রার কোনো দিক নেই। তাই প্রশ্নটাই অবাঞ্ছিত। তাহলে, তাপমাত্রা পরিমাপে বা তার প্রকাশে দিকের দরকার পরে না।

Hard Tackle f ootball tackle app web doctor healthcare wellbin animation video explainer
এবার ধরো, একটা ফুটবল বা এরকম কিছু আছে তোমার সাথে। যদি বলি ফুটবলটা কোন দিকে, বা আরো নির্দিষ্ট করে বলি, ফুটবলের ভর কোন দিকে? ভরেরও কোনো দিক নেই। তার পরিমাপেও দিকের প্রয়োজন নেই। তাহলে বন্ধুরা, এবার ধর ফুটবলটাকে লাথি দিলে। ফুটবলকে যেদিকে আঘাত করছো, সেদিকে যাবে, বা বাতাস থাকলে একটা বাতাসের বেগ আর তোমার বেগের একটা লব্ধি হয়ে অন্য দিকে যাবে। তো একটু বিষদভাবে চিন্তা করি ব্যাপারটা। ধরলাম A বিন্দু থেকে AB বরাবর তোমার নিক্ষেপ করা বলের বেগ 5 m/s। আর বাতাসের বেগ ফুটবলের উপর A বিন্দুতে AC বরাবর 2 m/s। তাহলে লব্ধির বেগ কত হবে? আর কোন দিকে যাবে? 7 m/s? আর AB এর দিকে? না বন্ধুরা, এবার শুধু যোগ করলেই হবে না, দিক বিবেচনায় যা আসে, সেটা হবে। আর দিক হবে AB আর AC এর মাঝামাঝি।

তাহলে বন্ধুরা, দেখতেই পাচ্ছো হিসাব নিকাশের জন্য আমাদের আসলে বীজগাণিতিক নিয়মে
যোগ, বিয়োগ করলেই হয় না। কিছু রাশি আছে যাদের পরিমাপে শুধু মান নয়, দিকেরও প্রয়োজন হয়। এরাই হচ্ছে ভেক্টর রাশি।

যেসকল রাশি কে প্রকাশ করার জন্য শুধু মানের প্রয়োজন, তাদেরকে স্কেলার রাশি বলে।
যেসকল রাশি কে প্রকাশ করার জন্য মান ও দিক উভয়ের প্রয়োজন হয় তাদেরকে ভেক্টর বলে।
তো চল যাই আমরা ভেক্টরের রাজ্যে।

 

ভেক্টরের ইতিহাস

১৮৩৫ – আজ অব্দ
ভেক্টরের ইতিহাস খুব বেশি আগের না হলেও ভেক্টরের ধারণা অনেক দিন আগে থেকেই। দীর্ঘকাল আগে না গিয়ে ১৮৩৫ সালে গুইসটো বেলাভিটিস কোনো তলে দুটি বিন্দুর মধ্যে দিকের ব্যবহারের ধারণা তৈরি করেন। উইলিয়াম হ্যামিলটন জটিল সংখ্যা ব্যাখ্যায় ভেক্টর নামটি ব্যবহার করেন। তারপর উনবিংশ শতাব্দীতে অনেক গণিতজ্ঞ ভেক্টর জাতীয় বিষয় আর তত্ত্ব নিয়ে কাজ করেন। জোসায়াহ উইলিয়ার্ড গিবস ম্যাক্সওয়েলের তড়িৎচৌম্বকত্ব ব্যখ্যায় ভেক্টর অ্যানালাইসিস তৈরি করেন, যেটা ভেক্টরের সবচেয়ে আধুনিক রূপ আর পরবর্তীতে গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান শাস্ত্রে ব্যবহৃত হয়।

ভেক্টর ও তল

বন্ধুরা, তোমরা এতোদিনে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক পদ্ধতি শিখে আসছো। আমি ঠিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে যাচ্ছি না। শুধু তার কনসেপ্ট ব্যবহার করছি। দেখ, তোমরা কার্তেসীয় পদ্ধতিতে যেই স্থানাঙ্ক ব্যবহার করেছো, সেটায় কি ছিলো? ভুজ আর কোটি। যেটা ছিলো xy তলের জন্য। অর্থাৎ একটা দ্বিমাত্রিক তলের জন্য। আমাদের এই জগতটা কিন্তু ত্রিমাত্রিক। তাই আমাদের জগতে কোনো বিন্দুর অবস্থান বোঝাতে একটা মূলবিন্দু প্রয়োজন, আর x,y,z তিনটা অক্ষ প্রয়োজন। যেভাবে xy তলে একটা বিন্দুর অবস্থান বের করে ছিলে এখানেও ঠিক একই ভাবে কোনো বিন্দুর ভুজ, কোটি আর উচ্চতা দরকার হবে।

কোনো ভেক্টর ত্রিমাত্রিক জগতে যেকোনো দুটি বিন্দু নিয়ে থাকতে পারে। বড় হলে তোমরা ভেক্টরের স্থানাংক বের করবে, কোনো মূলবিন্দু সাপেক্ষে অবস্থান বলে দিতে পারবে। এই অধ্যায়ে আমরা একটি দ্বিমাত্রিক তলের জন্য অর্থাৎ একটি সমতলের জন্য ভেক্টর নিয়ে হিসাব নিকাশ করব। তাই আমাদের অধ্যায়টির নাম সমতলীয় ভেক্টর।

ভেক্টরকে কিভাবে প্রকাশ করবো?

মনেকরি, কোনো সমতলে অবস্থিত একটি ভেক্টর দেয়া আছে। তার একটি বিন্দু P, অপর বিন্দু Q আর দিক P থেকে Q এর দিকে। তাহলে ভেক্টরটিকে লিখা হয় P̅Q̅। যদি তার দিক হতো Q থেকে P এর দিকে তাহলে তাকে লিখা হতো Q̅P̅। আবার এই ভেক্টরকে কোনো ছোট হাতের অক্ষরে বা ইংরেজী small letter এর নিচে আন্ডারস্কোর দিয়েও লেখা হয়। যেমন u।
কোনো ভেক্টরের মানকে সেই ভেক্টরের মডুলাস দ্বারা প্রকাশ করা হয়। চিত্রে, PQ রেখাংশের দৈর্ঘ্যই PQ ভেক্টরের মান।
একে লেখা হয় |P̅Q̅| = P̅Q̅
তাহলে আমরা ভেক্টর প্রকাশের দুইটি পদ্ধতি জানলাম, একটা হলো তার আদি আর শেষবিন্দু থেকে প্রকাশ (PQ) অথবা ইংরেজি ছোট হাতের অক্ষর দিয়ে প্রকাশ।

এবার চল ভেক্টর সম্পর্কিত সংজ্ঞাগুলো দেখে নিই।

বন্ধুরা, এবার আমরা বিভিন্ন প্রকার ভেক্টর নিয়ে আলোচনা করব।

বিভিন্ন প্রকারের ভেক্টর

ভেক্টরের সমতা আর বৈপরীত্য (আবার আলোচনা)

তো বন্ধুরা, চল আবার চলি ভেক্টরের সমতা পুনরায় বুঝতে। এবার একটু গভীরে যাব, আর কি।
একটি ভেক্টর অপর একটি ভেক্টরের সমান হবে যদি
1. ভেক্টর দুটি দৈর্ঘ্যে সমান হয়
2. ভেক্টর দুটির ধারক অভিন্ন বা সমান্তরাল হয়
3. ভেক্টর দুটির দিক একই হয়

চিত্রে A̅B̅ , C̅D̅ ভেক্টর মান সমান, দিক অভিন্ন। তাই এরা সমান ভেক্টর।

একটি ভেক্টর অপর একটি ভেক্টরের বিপরীত হবে যদি
1. ভেক্টর দুটি দৈর্ঘ্যে সমান হয়
2. ভেক্টর দুটির ধারক অভিন্ন বা সমান্তরাল হয়
3. ভেক্টর দুটির দিক বিপরীত হয়

চিত্রে A̅B̅ , C̅D̅ ভেক্টর মান সমান, দিক বিপরীত। তাই এরা বিপরীত ভেক্টর।

ভেক্টরের যোগ, বিয়োগ ও বিধিসমূহ