সসীম ধারা

আমাদের প্রতিদিনের জীবনে প্রায়ই খেয়াল করি আশেপাশের মানুষ অথবা প্রকৃতি নিজেও কোনো কিছু সাজিয়ে নেবার চেষ্টা করে – আমরা দেখি প্রকৃতির সব জীব ছোট থেকে আস্তে আস্তে বড় হয়, সময়ের সাথে মানুষের আবিষ্কার এর সংখ্যা বেড়েই চলছে। আবার মোমবাতি আলো দিতে দিতে নিজেই ক্ষয় হয়ে যায় বা বড় থেকে ছোট হয়।

বাস্তব জীবনের এই প্রতিটি উদাহরণ ক্রম বা ধারার আওতায় না পড়লেও এই যে বড় থেকে ছোট কিংবা ছোট থেকে বড় হবার এই ধারণাটা – এটাই হচ্ছে ক্রমের ধারণা। গণিতের অনেক বিস্ময়কর বিষয় জড়িত এই ধারার সাথে। ফিবোনাকি ধারা – যেটা যুগেযুগে অনেকের বিস্ময় আর নতুন আবিষ্কারের উৎস হয়ে আছে – প্রকৃতিতেও তার অস্তিত্ব লক্ষ্য করা যায় গাছের বৃদ্ধির সময়। আধুনিক গণিত আর বিজ্ঞানের অগ্রগতির অনন্য কারণ ক্যালকুলাস, এখানেও অসীম ধারার ব্যবহার রয়েছে। ছোট্ট বন্ধুরা, এখন আমরা ধারা নামে গণিতের সেই মজার অধ্যায় শুরু করব।

অনুক্রমের মৌলিক ধারণা

ধারা শুরু করার আগে আমাদের কয়েকটি বিষয়ের সাথে পরিচিত হতে হবে। তাহলে আসো আমরা কয়েকটি সংজ্ঞা জেনে নেই।


পরপর পদের সম্পর্কের উপর ভিত্তি করে ধারা অনেক প্রকারের হতে পারে, আমরা দুইটি গুরুত্বপূর্ণ ধারা সমান্তর ধারা আর গুনোত্তর ধারা আলোচনা করব। এই অধ্যায়ে আমরা মূলত সসীম সমান্তর আর গুনোত্তর ধারা নিয়েই আলোচনা করব।
তার আগে আসো কিছু সহজ গাণিতিক সমস্যা আলোচনা করে নেই।

অনুক্রম সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যা

Type 1.2 সাধারণ পদ সম্পর্কিত

নিচের ধারাগুলোর সাধারণ পদ লিখ:


৩. নিচের সাধারণ পদগুলো দেখে প্রথম পাঁচটি পদ সহ ধারাগুলো লিখ:
ক. \(\frac{2^n} {1}\)
খ. \(\frac{2n-1} {n+1}\)
গ. \(\frac{(-1)^n} {2n+1}\)

সমাধান:
ক.
\(\frac{2^1}{1}+\frac{2^2}{1}+\frac{2^3}{1}+\frac{2^4}{1}+\frac{2^5}{1}\)
\(=\frac{2}{1}+\frac{4}{1}+\frac{8}{1}+\frac{16}{1}+\frac{32}{1}\)
খ.
\(\frac{1+1}{2\cdot1-1}+\frac{2+1}{2\cdot2-1}+\frac{3+1}{2\cdot3-1}+\frac{4+1}{2\cdot4-1}+\frac{5+1}{2\cdot5-1}\)
\(=\frac{2}{1}+\frac{3}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{7}+\frac{6}{9}\)
গ.
\(\frac{2\cdot1+1}{(-1)^1}+\frac{2\cdot2+1}{(-1)^2}+\frac{2\cdot3+1}{(-1)^3}+\frac{2\cdot4+1}{(-1)^4}+\frac{2\cdot5+1}{(-1)^5}\)
=\(-\frac{3}{1}+\frac{5}{1}-\frac{7}{1}+\frac{9}{1}-\frac{11}{1}\)


সত্য না মিথ্যা উত্তর দাও!



সমান্তর ধারা

এবার তাহলে আমরা আগাই সমান্তর ধারা নিয়ে। আগের আলোচনা থেকেই তোমরা সমান্তর ধারার সংজ্ঞাটা অনুমান করতে পারছ। তাহলে চল আমরা সমান্তর ধারা সম্পর্কে জেনে নেই।


তো ছোট্ট বন্ধুরা, সমান্তর ধারা সম্পর্কে তোমাদের ধারণা হয়েছে। চল এবার সমান্তর ধারার যেকোনো পদ কিভাবে বের করতে হয়, আর ধারার সমষ্টি কিভাবে বের করতে হয় সেগুলো জেনে নেই।

n তম পদ নির্ণয়

ধরি কোনো সমান্তর ধারা 1+2+3+4+5…..+n
তাহলে প্রথম পদ = 1 = 1+(1-1)X1
দ্বিতীয় পদ=2 = 1+(2-1)X1
তৃতীয় পদ=3 = 1+(3-1)X1
… … ….
n তম পদ = n = 1+(n-1)X1

তাহলে a + (a+d) + (a+2Xd)+… ধারাটি বিবেচনা করা যাক
ধারাটির প্রথম পদ =a, সাধারণ অন্তর =d,
প্রথম পদ=a = a + (1-1)Xd
দ্বিতীয় পদ=a+d = a + (2-1)Xd
তৃতীয় পদ=a+2*d= a + (3-1)Xd
… … ….
n তম পদ = a + (n-1)Xd

এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা যেকোনো সমান্তর ধারার যেকোনো পদ বের করতে পারব।


সমান্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

ধরি, কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, n তম পদ =p, ধারার সমষ্টি Sn
তাহলে,
Sn = a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)+………..+p
Sn = p +(p-d)+(p-2d)+(p-3d)+………….+a
2Sn =(a+p)+(a+p)+(a+p)+(a+p)+………+(a+p)
2Sn =nX(a+p)
p= a+(n-1)Xd
2Sn =nX(a+a+(n-1)Xd)
Sn =n/2*[2a+(n-1)d]

এই ছিলো সমান্তর ধারার সমষ্টি বের করার সূত্র। তাহলে চলো এখনি কিছু ম্যাথ দেখে নেই!


সমান্তর ধারা সম্পর্কিত গাণিতিক সমস্যা

Type 2.1: n তম পদ সংক্রান্ত
প্রশ্ন ১. 1+3+5+….87 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a=1
সাধারন অন্তর, d=2
মনেকরি, n তম পদ = 87
তাহলে, a+(n-1)d =87
1+(n-1)X2=87
or, (n-1)X2=87-1=86
or,n-1=43
or, n=44

প্রশ্ন: ২. 8+11+14+17…. ধারাটির কোন পদ 392?

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a=8
সাধারন অন্তর, d=11-8=3
মনেকরি, n তম পদ = 392
তাহলে, a+(n-1)d = 392
8+(n-1)X3=392
or, (n-1)X3=392-8=384
or,n-1= 128
or, n = 129


Type 2.2: সমষ্টি সংক্রান্ত

প্রশ্ন ৩. 8+16+24+…. ধারাটির প্রথম 10 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a=8
সাধারন অন্তর, d=16-8=8
সমান্তর ধারার সমষ্টির সুত্র অনুযায়ী,
S = (n/2)X[2a +(n-1)Xd]
= 10/2 X[2X8 + 9X8]
= 5X(16+72)
= 440

প্রশ্ন ৪. 29+25+21…..-23=?

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a = 29
সাধারন অন্তর, d = 25 – 29 = -4
মনেকরি, n তম পদ = -23
তাহলে, a+(n-1)d = -23
29 + (n-1)X(-4) = -23
or,(n-1)X(-4)= -23-29= -52
or,n-1= 13
or, n = 14

সমান্তর ধারার সমষ্টির সুত্র অনুযায়ী,
S = (n/2)X[2a +(n-1)Xd]
= (14/2)X[2X29 +(14-1)X(-4)]
= 7X[58-52]
=42
এবার সামনের কয়েকটি অংকের জন্য একটু কাগজ কলম নিয়ে বস।



কিছু বিশেষ ধারার সাথে পরিচয়

ছোট্ট বন্ধুরা আমরা এতোক্ষণে সমান্তর ধারা আর সমান্তর ধারার সাথে জড়িত অনেক সমস্যার সমাধান করেছি।এখন আমরা এমন গুরুত্বপূর্ণ কিছু ধারা সম্পর্কে জানব যেগুলো আসলে সমান্তর বা গুণোত্তর ধারার মধ্যে পরেনা, তবে বাস্তব জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে কাজে দিবে। তোমরা বড় হয়ে প্রোগ্রামিং করলে এগুলো মজার মজার উপায়ে করতে পারবে।

বিশেষ ধারা ১
প্রথম n সংখ্যক পদের ধারা।
1+2+3+4+5+6+…..n
প্রথম পদ=1
শেষ পদ=n
সমান্তর ধারার সমষ্টির সূত্রমতে, S = n*(n+1)/2


বিশেষ ধারা ২
প্রথম n সংখ্যক বর্গের সমষ্টি
12+22+32+42+….+n2

r3 -3r2 +3r -1 = (r-1)3
r3 -(r-1)3 = 3r2 -3r +1

13 -03 = 3X12 -3X1 +1
23 -13 = 3X22 -3X2 +1
33 -23 = 3X32 -3X3 +1
…………………………..
…………………………..
n3 -(n-1)3 = 3Xn2 -3Xn +1

n3 -03 = 3 (12+22+32+42+….+n2 ) -3(1+2+3+4+5+6+…..n) +n
n3 = 3Sn{3XnX(n+1)}/2+n
3Sn = n3 + {3n(n+1)}/2-n = (2n3+3n2+3n-2n)/2=n(n+1)(2n+1)/2
Sn = n(n+1)(2n+1)/6


বিশেষ ধারা ৩
প্রথম n সংখ্যক ঘনের সমষ্টি
13+23+33+43+….+n3

(r+1)2 – (r-1)2 = 4r
r2 {(r+1)2 – (r-1)2} = 4rXr2 = 4r3

22 X1 – 12 X02 = 4*13
32 X22 – 22 *12 = 4*23
…… …… …..
…… …… …..
(n+1)2 *n2 – n2 *(n-1)2 = 4*n3

(n+1)2 Xn2 – 12 X02 = 4X( 13+ 23+ 33+ 43+ ….+ n3 )
or, (n+1)2 Xn2 = 4XSn
or, Sn = n2*(n+1)2/4


আরো মজার সব টেকনিক জানতে চলে যাও পরবর্তী পৃষ্ঠায়