এসএসসি সাধারণ গণিত

সসীম ধারা

গুনোত্তর ধারা

তাহলে আমরা প্রায় শেষের পথে এসে পড়েছি। গুনোত্তর ধারা, আর তার জন্য বিশেষ কিছু সমস্যার সমাধান করেই আমাদের এই অধ্যায়ের সমাপ্তি।


n তম পদ নির্ণয়

তাহলে গুনোত্তর ধারার জন্য সাধারণ পদ কী হবে?

নিচের ধারাটিকে একটি গুনোত্তর ধারা হিসেবে বিবেচনা করা যাবে।
a +ar +ar2 +ar3 +ar4 +….
প্রথম পদ =a =ar1-1
দ্বিতীয় পদ =ar = ar2-1
তৃতীয় পদ = ar2 = ar3-1
…..
n তম পদ = arn-1
তাহলে আমাদের গুনোত্তর ধারাটি দাঁড়ায়
a +ar +ar2 +ar3 +ar4 +….arn-1

গুনোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয়

ছোট্ট বন্ধুরা, আমরা এখন গুনোত্তর ধারার সমষ্টি নির্ণয় করতে শিখব।

ধরি, a +ar +ar2 +ar3 +ar4 +….arn-1 ধারাটির সমষ্টি S
তাহলে, S= a +ar +ar2 +ar3 +ar4 +….arn-1….(a)
r*S = ar +ar2 +ar3 +ar4 +……….arn ……(b)

এখন যদি সাধারণ অনুপাত এক এর চেয়ে ছোট হয়, তবে (a) থেকে (b) বিয়োগ করে,
S(1 -r) = a – arn = a(1 – rn)
or , S= a(1 – r<n)(1 -r)

যদি সাধারণ অনুপাত এক এর চেয়ে ছোট হয়, তবে (b) থেকে (a) বিয়োগ করে,

S=a(rn -1)(r – 1)

তোমরা তাহলে এবার দেখে নাও গুনোত্তর ধারা সংক্রান্ত কিছু গাণিতিক সমস্যা

গুনোত্তর ধারা সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা:

Type 4.1 n তম পদ সংক্রান্ত

প্রশ্ন ১। 1+3+9+27 ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a=1
r=3/1=3
দশম পদ=a*r10-1 =1*39 = 19683

প্রশ্ন ২। 128+64+32+… ধারাটির কোন পদ 1/2?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত,r=64/128= 1/2
ধরি, n তম পদ =1/2
তাহলে arn-1 =1/2
or,128*(1/2)n-1 =1/2
or,(1/2)n-1 =1/(2*128)=(1/2)8
or,n-1 =8
or, n=9

প্রশ্ন ৩। একটি গুনোত্তর ধারার পঞ্চম পদ আর দশম পদ যথাক্রমে 239324 । ধারাটির তৃতীয় পদ কত?

সমাধান:
ধরি প্রথম পদ a
ও সাধারণ অনুপাত r
তাহলে পঞ্চম পদ = a*r4
আর দশম পদ = a*r9
এখন,
দশম পদ/পঞ্চম পদ = r^5 = 32/4 *23/9= {(3/2)}5
r= (3/2)
a*r^4 =a*(9/4) =23/9 = 83/81
Or, a = 83/81
এখন তৃতীয় পদ
=a*r^2
= 83/81*(3/2) = 43/9

প্রশ্ন ৪। 3+x+y+z+243 গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে x,y,z নির্ণয় কর।

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a=3
5 তম পদ=243
মনেকরি,
সাধারণ অনুপাত=r
তাহলে, a*r5-1 =243
Or, 3*r4 =243
Or, r4 = 243/3= 81
Or, r = 3
দ্বিতীয় পদ, x = a*r =3*3 = 9
তৃতীয় পদ, y = a*r2 = 3*32 = 27
চতুর্থ পদ, z = a*r3 = 3*33 = 81


Type 4.2 গুণোত্তর ধারার সমষ্টি সংক্রান্ত
প্রশ্ন ৫. 1/2 + 1/8 + 1/32 + 1/128 + ধারাটির প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/8)/(1/2) = 1/4
r<1
সুতরাং, প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি হবে
(1/2)*{1-(1/2)^6}/(1-1/4)
=21/3


এবার কুইজটি দিয়ে ফেলা যাক


আমাদের স্মার্টবুকটি তোমার বন্ধুদের সাথে শেয়ার করতে ভুলো না!