অপ্রাসঙ্গিক মূল (Extraneous Root)

অপ্রাসঙ্গিক মূল (Extraneous Root):

যে সমস্ত মূল সমীকরণকে সিদ্ধ করে না তাদেরকে অপ্রাসঙ্গিক মূল বলা হয়। কোনো সমীকরণ সমাধান করার সময় যদি উভয় পক্ষকে বর্গ করা হয় তবে সাধারণত এক বা একাধিক মূল পাওয়া যায় যাদের দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না।

যেমন: $cosx$ – $sinx$ = 1 সমীকরণটি নিম্নের পদ্ধতিতে সমাধান করা হলে অপ্রাসঙ্গিক মূল পাওয়া যায়:

$cosx$ – $sinx$ =1 ⇒ $cosx$ =1+ $sinx$

⇒ $\cos ^{2} x$ =1+ $\sin x$ + $\sin ^{2} x$

⇒1- $\sin ^{2} x$ =1+ $\sin x$ + $\sin ^{2} x$

⇒2 $\sin ^{2} x$ +2 $\sin x$ =0

⇒ $\sin x$ ( $\sin x$ + 1 )=0

যদি $\sin x$ =0 হয়, তবে $x$ = $n \pi$ , $n$ ∈ $\mathbb{Z}$

যদি $\sin x$ +1=0⇒ $\sin x$ =-1 হয়, তবে $x$ =(4 $n$ -1)2, $n$ ∈ $\mathbb{Z}$

কিন্তু $x$ =± $\pi$ ± $3\pi$ ± $5\pi$ ,…… ইত্যাদি মূল $\cos x$ – $\sin x$ =1 সমীকরণকে সিদ্ধ করেনা।

তাই এখানে $x$ =± $\pi$ ± $3\pi$ ± $5\pi$ ,…… ইত্যাদি মূল $\cos x$ – $\sin x$ ,…… ইত্যাদি অপ্রাসঙ্গিক মূল এবং $\cos x$ – $\sin x$ =1 সমীকরণের প্রকৃত সমাধান হবে, $x$ =2 $n \pi$ ,(4 $n$ -1)2, যেখানে $n$ ∈ $\mathbb{Z}$

এই জাতীয় ( $acosx$ + $bsinx$ = $c$ ) সমীকরণের সমাধানে যাতে অপ্রাসঙ্গিক মূলের অনুপ্রবেশ না ঘটে এজন্য নিম্নের পদ্ধতি অনুসরণ করা যায়: $\cos x$ – $\sin x$ =1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ $cosx$ – $\cos x-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $sinx$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ [উভয় পক্ষকে $\sqrt{1^{2}+1^{2}}=$ $\sqrt{2}$ দ্বারা ভাগ করে]

⇒ $\cos x$ . $\cos \frac{\pi}{4}$ – $\sin x$ . $\sin \frac{\pi}{4}$ = $\cos \frac{\pi}{4}$

⇒ $\cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ = $\cos \frac{\pi}{4}$

∴ $x$ + $\frac{\pi}{4}$ =2 $n \pi$ $\pm\frac{\pi}{4}$ যেখানে $n$ ∈ $\mathbb{Z}$

⇒ $x$ + $\frac{\pi}{4}$ =2 $n \pi$ + $\frac{\pi}{4}$ ⇒ $x$ =2 $n \pi$

অথবা, $x$ + $\frac{\pi}{4}$ =2 $n \pi$ – $\frac{\pi}{4}$ ⇒ $x$ =2 $n \pi$ -2 $\frac{\pi}{4}$

⇒ $x$ =2 $\frac{\pi}{4}$ – $\frac{\pi}{2}$

∴ $x$ =(4 $n$ -1) $\frac{\pi}{2}$

∴ নির্ণেয় সমাধান $x$ =(4 $n$ -1) $\frac{\pi}{2}$ , যেখানে $n$ ∈ $\mathbb{Z}$

দৃষ্টি আকর্ষণ (Attention):

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধানে সীমা অর্থাৎ – $\pi$ < $\theta$ < $\pi$ বা, – $2\pi$ < $\theta$ < $2\pi$ ইত্যাদি থাকলে, আমরা সুত্রের সাহায্যে $θ$ নির্ণয় করি। $n$ এর বিভিন্ন মান বসিয়ে প্রাপ্ত মানগুলোর যেগুলো প্রদত্ত সীমার মাঝে থাকে তাদের গ্রহণ করে, বাকিগুলো বাদ দেই। এই process অনেক সময় consume করে। বিশ্বাস না হলে নিচের অংকটি Solve করে দেখ। আমরা একটু অন্য process এ Solve করব, যেখানে $n$ এর প্রকৃত মানগুলো আগেই জানা যাবে। তারপর সূত্রে $n$ এর মান বসিয়ে $θ$ এর যথার্থ মান বের করব। নিচের সমীকরণটি দেখা যাক-

2 $\sin ^{2} x$ + $\sin ^{2} 2 x$ =2, [ – $2\pi$ < $\theta$ < $2\pi$ ]

⇒1- $\cos 2 x$ +1- $\cos ^{2} 2 x$ =2

⇒- $\cos 2 x$ ( $\cos 2 x$ +1)=0

∴ $\cos 2 x$ =0⇒ $2x$ = $(2n+1)$ $\frac{\pi}{2}$ ⇒ $x$ = $(2n+1)$ $\frac{\pi}{4}$

যেহেতু, – $2\pi$ < $\theta$ < $2\pi$ ⇒- $2\pi$ < $\frac{\pi}{4}$ < $2\pi$

আবার, $cos2x$ +1=0

⇒ $\cos 2 x$ =-1⇒ $2x$ =(2 $n$ +1) $\pi$

⇒ $x$ = $(2n+1)$ $\frac{\pi}{2}$

এক্ষেত্রেও – $2 \pi$ <(2 $n$ +1) $\frac{\pi}{2}$ < $2 \pi$ ⇒-5<2 $n$ <3

$n$ =-2, -1, 0, 1, ∴ $x$ =-3. $\frac{\pi}{2}$ , – $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ , 3 $\frac{\pi}{2}$

নির্ণেয় সমাধান: x=-7 $\frac{\pi}{4}$ , -5 $\frac{\pi}{4}$ , -3 $\frac{\pi}{4}$ , – $\frac{\pi}{4}$ , $\frac{\pi}{4}$ , 3. $\frac{\pi}{4}$ , 5. $\frac{\pi}{4}$ , 7. $\frac{\pi}{4}$ ,-3. $\frac{\pi}{2}$ , – $\frac{\pi}{2}$ , $\frac{\pi}{2}$ , 3 $\frac{\pi}{2}$ সমাধান 12 টি

পদ্ধতিটি বেশ বড় মনে হচ্ছে, তাই না। আসলে practice কর, আরও ছোট হবে।

পুরনো পদ্ধতিতে করে দেখ কত বড় হয়, আর 12 টি সমাধান পাওয়া যায় কিনা?

⇒8<2 $n$ +1<8⇒-9<2 $n$ <7……(i)

যেহেতু, $n$ ∈ $\mathbb{Z}$ তাই দেখি, $n$ এর কোন মানগুলোর জন্য (i) নং অসমতাটি সিদ্ধ, $n$ =-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3

এই মানগুলো বসিয়ে পাই, $x$ =-7 $\frac{\pi}{4}$ , -5 $\frac{\pi}{4}$ , -3 $\frac{\pi}{4}$ , –4, $\frac{\pi}{4}$ , 3. $\frac{\pi}{4}$ , 5. $\frac{\pi}{4}$ , 7. $\frac{\pi}{4}$

নির্দিষ্ট ব্যবধিতে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান (Solution of trigonometric equation in a finite interval)

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন পর্যায়বৃত্ত হওয়ায় এর মানগুলো পর্যায়ক্রমে আবর্তিত হয়। নির্দিষ্ট ব্যবধিতেও সমাধানের পুনরাবৃত্তি হয়। ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান থেকে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে অবস্থিত মানগুলি নির্ণয় করা যায়। আবার লেখচিত্রের সাহায্যে নির্দিষ্ট ব্যবধিতে সমীকরণের সমাধানগুলি নির্ণয় করা যায়।

নিম্নে লেখের সাহায্যে সমাধান নির্ণয়ের কৌশল আলোচনা করা হলো:

(i) প্রদত্ত ব্যবধিতে ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কন (মুক্ত হস্তে) করতে হবে।

(ii) ফাংশনের নির্দেশিত স্থানে $x$ -অক্ষের সমান্তরাল রেখা আঁকতে হবে।

(iii) সমান্তরাল রেখাটি ফাংশনকে যতবার ছেদ করবে ঠিক ততটি সমাধান বিদ্যমান থাকবে।

(iv) ছেদবিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক প্রতিসমতা বা ফাংশনের পর্যায়কাল ব্যবহার করে নির্ণয় করতে হবে। অতঃপর ছেদবিন্দুগুলির x স্থানাঙ্কই ফাংশনের সমাধান।

অপ্রাসঙ্গিক মূল (Extraneous Root)