ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Trigonometric equations)

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Trigonometric equations)

(i) ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোকে সরলীকরণের মাধ্যমে tan কিংবা cot কিংবা cos নেওয়া সুবিধাজনক।

(ii) সমীকরণের উভয়পক্ষকে বর্গ করে সমাধান এড়িয়ে যাওয়া ভাল। একান্ত সম্ভব না হলে দেখতে হবে প্রাপ্ত উত্তরগুলো যথাযথ কিনা অর্থাৎ শুদ্ধি পরীক্ষা করতে হবে এবং অবান্তর মূলগুলো বাদ দিতে হবে।

(iii) উর্দ্ধঘাতগুলোকে গুণিতক কোণে প্রকাশ করার চেষ্টা করতে হবে।

(iv) গুণফলগুলোকে যোগফল বা যোগফলগুলোকে গুণফলে নিয়ে যাওয়া অনেক ক্ষেত্রে সুবিধাজনক।

(v) n =0, ±1, ±2, …… কিংবা n  যে কোন পূর্ণ সংখ্যা কিংবা n∈Z লিখতে যেন ভুল না হয় এবং প্রশ্নে n   থাকলে n এর পরিবর্তে m ,k  ইত্যাদি ব্যবহার করতে হবে।

(vi) যেহেতু সাধারণ সূত্রটিতে π ব্যবহৃত হয় সুতরাং সমীকরণের বিশেষ সমাধান π এর মাধ্যমে নির্ণয় করা হয়। অর্থাৎ \sin \theta =12 হলে \sin 30^{\circ}  না লিখে \sin \frac{\pi}{6}  লেখাই শ্রেয়।

(vii) সীমা রেডিয়ানে অর্থাৎ π এর মাধ্যমে দেয়া থাকলে উত্তরগুলো π এর মাধ্যমে দিতে হবে। 

(viii) সমীকরণের উত্তর পক্ষের লব sinx ,cosx  জাতীয় উৎপাদক থাকলে সেটিকে অপসারণ করা যাবে না। কিন্তু উভয় পক্ষের হরে থাকলে সেটিকে অপসারণ করা যাবে। কারণ সমীকরণের হর 0 (শূন্য) হতে পারে না।

ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সাধারণ সমাধান (General solution of trigonometric equations)

দুই বা ততোধিক ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্বলিত সমীকরণকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ বলা হয়। যে সকল কোণ ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে তাদেরকে ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সমাধান বলা হয়।

পূর্বে আমরা জেনেছি, একাধিক কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা হতে পারে।

যেমন: θ=30°, 150°, 30°, 360°, ±360 ইত্যাদি কোণের জন্য, \sin \theta =\frac{1}{2}  হবে। 

\sin \theta =0, \cos \theta =0, \tan \theta =0, \cot \theta =0, \sin \theta =1 ইত্যাদি সমীকরণের সমাধান:

(i) আমরা জানি, \sin \theta =\frac{y}{r} । এখন \sin \theta =0 হলে y=0 হবে। আবার, y=0 হবে, যদি ঘূর্ণায়মান রশ্মি তার আদি অবস্থান (x-অক্ষ) এর সাথে মিশে যায়। পুনরায় ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান (x-অক্ষ) এর সাথে 0(0°), ±π(±180),±2π(±360),±3π(±540)…… ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করার পর তার আদি অবস্থানের সাথে মিশে যায়।

\sin \theta =0 হলে, \theta =n \pi  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(ii) আমরা জানি, \cos \theta =\frac{x}{r}  এবং \cos \theta =0 হলে x =0 হবে। আবার x =0 হবে, যদি ঘূর্ণায়মান রশ্মি y -অক্ষের সাথে মিশে যায়। পুনরায় ঘূর্ণায়মান রশ্মি আদি অবস্থান (x -অক্ষ) এর সাথে \frac{\pi}{2} , ±3.\frac{\pi}{2} , ±5.\frac{\pi}{2} ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করার পর y -অক্ষের সাথে মিশে যায়।

\cos \theta =0 হলে, \theta =(2n+1) \frac{\pi}{2}  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(iii) \tan \theta =0 হলে \frac{\sin \theta}{\cos \theta} =0 অর্থাৎ \sin \theta =0 ফলে  \theta =n \pi হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

\tan \theta =0 হলে,\theta =n \pi  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

তদ্রূপ, \cot \theta =0 হলে \frac{\cos \theta}{\sin \theta} =0 অর্থাৎ \cos \theta =0 ফলে \theta =(2n+1) \frac{\pi}{2} হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

\cot \theta =0 হলে, \theta =(2n+1) \frac{\pi}{2}  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

কিন্তু |cosecθ| ≥1 এবং |secθ| ≥1 বলেcosecθ  এবং secθ  এর মান কখনও শূন্য হতে পারে না ।

(iv) \sin \theta =1 হলে ঘূর্ণায়মান রেখা y -অক্ষের ধনাত্মক দিক OY এর সাথে মিশে যায় এবং এবং তা তার আদি অবস্থান OX এর সাথে \frac{\pi}{2} , -3\frac{\pi}{2} , 2π+\frac{\pi}{2} =5.\frac{\pi}{2} , -2π-3\frac{\pi}{2} =-7.\frac{\pi}{2} , 4π+\frac{\pi}{2} =9.\frac{\pi}{2} …… ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করে।

\sin \theta =1 হলে,\theta =(4n+1) \frac{\pi}{2}  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(v) \sin \theta =-1 হলে ঘূর্ণায়মান রেখা y-অক্ষের ঋনাত্মক দিক OY’ এর সাথে মিশে যায় এবং এবং তা তার আদি অবস্থান OX এর সাথে 3.\frac{\pi}{2} , –\frac{\pi}{2} -7.\frac{\pi}{2} , -5.\frac{\pi}{2} …… ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করে।

\sin \theta =-1 হলে, \theta =(4n-1)\frac{\pi}{2}  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(vi) \cos \theta =1 হলে ঘূর্ণায়মান রেখা x-অক্ষের ধনাত্মক দিক OX এর সাথে মিশে যায় এবং এবং তা তার আদি অবস্থান OX এর সাথে 0, ±2, ±4, ±6…… ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করে।

\cos \theta =1 হলে, \theta =2n হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(vii) \cos \theta =-1 হলে ঘূর্ণায়মান রেখা x-অক্ষের ঋনাত্মক দিক OX’ এর সাথে মিশে যায় এবং এবং তা তার আদি অবস্থান OX এর সাথে  ±{\Pi} ,±3{\Pi} , ±5{\Pi} …… ইত্যাদি কোণ উৎপন্ন করে।

\cos \theta =-1 হলে, \theta =(2n+1){\Pi} হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(viii) মনে করি,\sin \theta =\sin \alpha ⇒\sin \theta –\sin \alpha =0

⇒2\sin \frac{1}{2}(\theta-\alpha) –\cos \frac{1}{2}(\theta+\alpha) =0 

∴\sin \frac{1}{2}(\theta-\alpha) =0 হলে \frac{1}{2} (\theta-\alpha) =m \pi , যেখানে m \in \mathbb{Z}

⇒\theta =2m \pi +\alpha =2m \pi +(-1)^{2 m} [katex] \alpha [/katex]……(i); এখানে 2m জোড় সংখ্যা। 

অথবা, \cos \frac{1}{2}(\theta+\alpha) =0 হলে \frac{1}{2} (\theta-\alpha) =(2 m+1) \frac{\pi}{2} , যেখানে m \in \mathbb{Z}

⇒\theta =(2 m+1) \pi –\alpha =(2 m+1) \pi +(-1)^{2 m+1} \alpha ……ii; এখানে (2m+1) জোড় সংখ্যা। 

∴(i) ও (ii) হতে পাই, \theta =2 m \pi +(-1)^{2 m} \alpha +(2m+1) \pi +(2 m+1) \pi+(-1)^{2 m+1} \alpha যেখানে m \in \mathbb{Z} সুতরাং, n জোড় বা বিজোড় যে কোনো অঋণাত্মক বা ঋণাত্মক সংখ্যার জন্য অর্থাৎ n \in \mathbb{Z}  এর জন্য লিখা যায়, \theta =n \pi +(-1)^{n}  \alpha

cosecθ =cosecα বা, \sin \theta =\sin \alpha হলে, \theta =n \pi +(-1)^{n}  \alpha  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(ix) মনে করি, \cos \theta =cosα ⇒\cos \theta –cosα =0

⇒2\sin \frac{1}{2}(\theta+\alpha) \sin \frac{1}{2}(\theta-\alpha) =0 

∴\sin \frac{1}{2}(\theta+\alpha) =0⇒\frac{1}{2}(\theta+\alpha) =mπ ⇒\theta =2mπ –\alpha ……(i), যেখানে m \in \mathbb{Z}

অথবা, \sin \frac{1}{2}(\theta-\alpha) =0⇒\frac{1}{2}(\theta-\alpha) =mπ ⇒\theta =2mπ +\alpha ……ii, যেখানে m \in \mathbb{Z}

∴(i) ও (ii) হতে পাই, \theta =2mπ ±\alpha , যেখানে m \in \mathbb{Z}

secθ =secα বা, \cos \theta =cosα হলে, \theta =2mπ ±\alpha  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}

(x) মনে করি, tanθ =tanα ⇒\frac{\sin \theta}{\cos \theta} –\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =0

⇒\frac{\sin \theta \cos \alpha-\sin \alpha \cos \theta}{\cos \theta \cos \alpha} =0 

⇒\frac{\sin (\theta-\alpha)}{\cos \theta \cos \alpha} =0⇒sin (\theta-\alpha) =0⇒(\theta-\alpha) =nπ ⇒\theta =nπ +\alpha , যেখানে m \in \mathbb{Z}

cotθ =cotα বা, tanθ =tanα  হলে, \theta =nπ +\alpha  হবে, যেখানে n \in \mathbb{Z}