বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ (Inverse Trigonometric Functions and Trigonometric Equations)

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন(Inverse trigonometric functions):

\sin \theta=x:(-1 \leq x \leq 1 \text { এবং } x \in \mathbb{R}) হলে আমরা বুঝি একটি কোণ যার sine এর মান x এর সমান। এ কথাটিকে উল্টোভাবে \theta=\sin ^{-1} x দ্বারাও প্রকাশ করা হয়। সুতরাং \sin ^{-1} x প্রতীকটি এমন একটি কোণ নির্দেশ করে যার sine  অনুপাত x এর সমান। তাই দেখা যাচ্ছে যে, \sin ^{-1} x একটি কোণ। কিন্তু \sin \theta  একটি সংখ্যা। সুতরাং, \sin \theta = x  এবং \theta=\sin ^{-1} x সমীকরণদ্বয় সমতুল্য। এদের একটি থেকে অপরটি সহজেই প্রতিপাদন করা যায়। \sin ^{-1} x কে সাইন ইনভার্স x  ( sine inverse x ) বা ইনভার্স সাইন অফ x  (inverse sine of x ) পড়া হয়। \sin ^{-1} x এর পরিবর্তে এর মুখ্য মানকে অনেক সময় arc sinx এবং সাধারণ মানকে Arc sinx লেখা হয়ে থাকে। \cos ^{-1} x , \tan ^{-1} x , \cosec ^{-1} x  প্রভৃতি কোণকে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বা বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশন বলা হয়। 

বি.দ্র. (i) \sin ^{-1} x এবং (\sin x)^{-1} এক নয়। প্রথমটি একটি কোণ এবং দ্বিতীয়টি একটি বিশুদ্ধ রাশি নির্দেশ করে। অর্থাৎ \sin ^{-1} x  এর পরিবর্তে (\sin x)^{-1} বা \frac{1}{\sin x}  লেখা যাবে না।

(ii) \frac{1}{\sin ^{2} x}  কে  (\sin x)^{-2} লেখা যাবে কিন্তু \frac{1}{\sin ^{2} x}   কে  \sin ^{-2} x লেখা যাবে না। অন্যান্য বিপরীত ফাংশনের ক্ষেত্রে একই নিয়ম প্রযোজ্য।

(iii)\sin ^{-1} x , x  এর যেকোনো মানের জন্য সংজ্ঞায়িত নয়। যেমন x=2 হলে \sin ^{-1} x  সংজ্ঞায়িত হয় না। অনুরূপে \cos ^{-1} x , \sec ^{-1} x , \cosec ^{-1} x  এর যেকোনো মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় না।

মুখ্যমান (Principal Value): একটি ত্রিকোণমিতিক বিপরীত ফাংশনের মুখ্যমান হল সেই মান (ধনাত্মক/ঋণাত্মক) যার সাংখ্যিক মান সব সাংখ্যিক মধ্যে ক্ষুদ্রতম।

মুখ্য মানগুলোর সীমা হচ্ছে (Range of Principal values):

1. কোন বাস্তব সংখ্যা x , -1 \leq x \leq 1 শর্ত সিদ্ধ করলে \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] বদ্ধ ব্যবধিতে \sin ^{-1} x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে \sin ^{-1} x  এর মুখ্যমান বলে। যেমন:   \sin ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) এর মুখ্যমান \frac{\pi}{6} এবং    \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) এর মুখ্যমান \frac{-\pi}{6}
2. কোন বাস্তব সংখ্যা -1 \leq x \leq শর্ত সিদ্ধ করলে [0, \pi] , বদ্ধ ব্যবধিতে \cos ^{-1} x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে \cos ^{-1} x  এর মুখ্যমান বলে। যেমন: \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) এর মুখ্যমান 3 এবং \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)  এর মুখ্যমান 23
3. কোন বাস্তব সংখ্যা x , -\infty<x<\infty শর্ত সিদ্ধ করলে \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) বদ্ধ ব্যবধিতে \tan ^{-1} x এর যে মান বিদ্যমান তাকে \tan ^{-1} x এর মুখ্যমান বলে। \tan ^{-1} 1  এর মুখ্যমান \frac{\pi}{4} এবং \tan ^{-1} (-1 ) এর মুখ্যমান -\frac{\pi}{4}
4. কোন বাস্তব সংখ্যা x \leq-1 or x \leq1 শর্ত সিদ্ধ করলে \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)ব্যবধিতে \cosec ^{-1} x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে \cosec ^{-1} x  এর মুখ্যমান বলে। \cosec ^{1} (2)  এর মুখ্যমান \frac{\pi}{3} এবং \cosec ^{-1} (-2) এর মুখ্যমান -\frac{\pi}{3}
5. কোন বাস্তব সংখ্যা x \leq-1 or x \leq1শর্ত সিদ্ধ করলে[0, \pi] , ব্যবধিতে \sec ^{-1} x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে \sec ^{-1} x  এর মুখ্যমান বলে। যেমন: \sec ^{-1} 2  এর মুখ্যমান \frac{\pi}{3} এবং \sec ^{-1} (-2)  এর মুখ্যমান \frac{2\pi}{3}
6. কোন বাস্তব সংখ্যা x \leq-1 or x \leq1শর্ত সিদ্ধ করলে\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ব্যবধিতে \cot ^{-1} x  এর যে মান বিদ্যমান তাকে \cot ^{-1} x এর মুখ্যমান বলে। যেমন: [katex]\cot ^{-1} 1 [/katex] এর মুখ্যমান -\frac{\pi}{3} এবং\cot ^{-1} (-2) এর মুখ্যমান -\frac{\pi}{4}

Tips:

1. \ sin^{-1} x  এর মুখ্য মান $\alpha$ হয় তবে  \sin ^{-1} x  এর সাধারণ মান হবে n \pi \pm(-1)^{n} \alpha মধ্যে যে কোণটির মান সাংখ্যিকভাবে (numerical) ক্ষুদ্রতম সেই কোণটিকে (ঋণাত্মক বা ক্ষুদ্রতম) বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের প্রধান বা মুখ্যমান (Principle value) ধরা হয়। যদি কোন বিপরীত তৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে ক্ষুদ্রতম মানটি ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হয় যাদের সাংখ্যমান সমান সেক্ষেত্রে ধনাত্মক মানটিকে মুখ্যমান ধরা হয়।

যেমন: \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} এবং \cos \frac{-\pi}{3}=\frac{1}{2} সুতরাং \cos ^{-1} \frac{1}{2} এর মুখ্যমান হবে \frac{\pi}{3}

বিভিন্ন প্রকার বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মুখ্যমান (Different types of inverse trigonometric functions)

বিপরীত সাইন ফাংশন (Inverse sine function)

চিত্র হতে দেখা যায় f(x)=\sin x ফাংশন \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]ব্যবধিতে এক-এক। অর্থাৎ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] ব্যবধিতে x এর প্রত্যেকটি মানের জন্য f(x)=\sin x এর পৃথক পৃথক মান পাওয়া যায়, যা [-1, 1] ব্যবধিতে বিদ্যমান এবং x এর এই মানকে ফাংশনের মুখ্যমান বা মুখ্য সমাধান বলা হয়।

যদি  f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow[-1,1] যেখানে f(x)=\sin x কোনো ফাংশন হয় তাহলেf(x) এর বিপরীত ফাংশন f^{-1}:[-1,1] \rightarrow\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] যেখানে f^{-1}(x)=\sin ^{-1} x\left(\neq \frac{1}{\sin x}\right) , একে সাইন এর বিপরীত ফাংশন বলা হয়। সুতরাং y=\sin ^{-1} x ⇔x=\sin y

যেমন: y=\sin ^{-1} \frac{1}{2} \Rightarrow \sin y=\frac{1}{2} \Rightarrow y=\frac{\pi}{6}

যেহেতু \sin ^{-1} x ∈\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], অতএব বিপরীত সাইন ফাংশনের মুখ্যমান \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]ব্যবধিতে অবস্থিত এবং ফাংশনের মানগুলি প্রথম বা ৩য় চতুস্কোণে থাকবে। [চিত্র দ্রষ্টব্য]

বিপরীত কোসাইন ফাংশন (Inverse cosine function)

চিত্র হতে,[0, \pi], ব্যবধিতে \cos x এর মান এক-এক। এ ব্যবধিতে \cos x  এর মান [-1, 1] এবং অনন্য সমাধান আছে। যদি g:[0, \pi] \rightarrow[-1,1]  যেখানে g(x)=\cos x হয় তাহলে g(x) এর বিপরীত ফাংশন g^{-1}:[-1,1] \rightarrow[0, \pi] , যেখানে g^{-1}(x)=\cos ^{-1} x

আবার, y=\cos ^{-1} x ⇔x=\text { cosy }

সুতরাং \text { cosy } এর মুখ্যমান [0, \pi], ব্যবধিতে অবস্থিত এবং ফাংশনটির লেখ সর্বদাই ১ম বা ৪র্থ চতুষ্কোণে থাকবে।

বিপরীত ট্যানজেন্ট ফাংশন (Inverse tangent function):

f(x)=\tan x ফাংশনের মান \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ব্যবধিতে অনন্য। এই ব্যবধিতে \tan x  এর মান (-∞, ∞) । এই ব্যবধিতে ফাংশনের সমাধানকে \tan x  এর মুখ্যমান বলা হয়।

যদিh: \rightarrow\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow \mathbb{R}  যেখানে h(x)=\tan x কোনো ফাংশন হয় তাহলে h(x) এর বিপরীত ফাংশন h^(-1):R→(-π/2, π/2) যেখানে h^{-1}(x)=\tan ^{-1} x  দ্বারা সূচিত করা হয় এবং y=〖tan〗^(-1) x⇔x=tany । সুতরাং \tan ^{-1} x এর মুখ্যমান \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ব্যবধিতে অবস্থিত এবং ১ম ও ৩য় চতুষ্কোণে অবস্থিত।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন	বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন	মুখ্যমান যখন,  x≥0	মুখ্যমান যখন,  x<0
x=\sin( y)	y=\sin ^{-1} x=\arcsin (x)	0 \leq \sin ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \sin ^{-1} x<0
x=\cos( y)	y=\cos ^{-1} x=\arccos (x)	0 \leq \cos ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \cos ^{-1} x<0
x=\tan( y)	y=\tan ^{-1} x=\arctan (x)	0 \leq \tan ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \tan ^{-1} x<0
x=\cot( y)	y=\cot ^{-1} x=\operatorname{arccot}(x)	0 \leq \cot ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \cot ^{-1} x<0
x=\sec( y)	y=\sec ^{-1} x=\operatorname{arcsec}(x)	0 \leq \sec ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \sec ^{-1} x<0
x=\cosec( y)	y=\operatorname{cosec}^{-1} x=\operatorname{arccosec}(x)	0 \leq \cosec  ^{-1} x \leq \frac{\pi}{2}	-\frac{\pi}{2} \leq \cosec ^{-1} x<0

মুখ্য সীমায় বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির মধ্যে সম্পর্ক (Relation of inverse trigonometric functions in the principal range):

(i) \sin ^{-1} x=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x} ;-1 \leq x \leq 1

(ii) \operatorname{cosec}^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{1}{x} ;x \leq-1  অথবা x≥1

(iii) \cos ^{-\mathbf{1}} x=\sec ^{-\mathbf{1}} \frac{1}{x};-1 \leq x \leq 1  (iv) \sec ^{-\mathbf{1}} x=\cos ^{-1} \frac{1}{x} ;x≤-1 অথবা x≥1

(v) \tan ^{-1} x=\cot ^{-1} \frac{1}{x}  (vi) \cot ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{1}{x}

প্রমাণ: (i) ধরি, \sin \theta =x ∴\theta =\sin ^{-1} x

আবার, \sin \theta =x ⇒\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} =x ⇒\operatorname{cosec} \theta =\frac{1}{x} ⇒ \theta= \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x}

∴\sin ^{-1} x = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x}

(ii) ধরি, \operatorname{cosec} \theta =x ∴ \theta = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x}

আবার, \operatorname{cosec} \theta =x ⇒\frac{1}{\sin \theta} =x ⇒\sin \theta =\frac{1}{x} ⇒ \theta =\sin ^{-1} \frac{1}{x}  ∴\operatorname{cosec} \theta = \sin ^{-1} \frac{1}{x}

অনুরূপভাবে অন্যান্য সম্পর্কগুলি প্রমাণ করা যায়। 

(i) \sin \left(\sin ^{-1} x\right) =x  (ii) \cos \left(\cos ^{-1} x\right) =x

(iii) \tan \left(\tan ^{-1} x\right) =x  (iv) \cot \left(\cot ^{-1} x\right) =x

(v) \sec \left(\sec ^{-1} x\right) =x  (vi) \operatorname{cosec}\left(\operatorname{cosec}^{-1} x\right) =x

প্রমাণ: (ii) ধরি, \cos \theta =x ∴ \theta =\cos ^{-1} x

এখন $\theta$ এর মান \cos \theta =x সমীকরণে বসিয়ে পাই, \cos \left(\cos ^{-1} x\right) =x

অনুরূপভাবে অন্যান্য সম্পর্কগুলি প্রমাণ করা যায়। 

(i) \sin ^{-1}(\sin x)=x  (ii) \cos ^{-1}(\cos x) =x

(iii) \tan ^{-1}(\tan x) =x  (iv) \cot ^{-1}(\cot x) =x

(v) \sec c^{-1}(\sec x) =x  (iv) \operatorname{cosec}^{-1}(\operatorname{cosec} x)=x

প্রমাণ: (iii) ধরি, tanx=θ ∴x = \tan ^{-1} \theta

এখন,x এর মান  tanx =θ সমীকরণে বসিয়ে পাই, tan-1(tanx)=x

অনুরূপভাবে অন্যান্য সম্পর্কগুলি প্রমাণ করা যায়। 

\sin ^{-1} x =\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x} =\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}} =\sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} = \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}

প্রমাণ: ধরি, \sin ^{-1} x =tanx  ∴\sin \theta =x

এখন,

\cos \theta = \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow \theta ⇒\theta =\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}} অর্থাৎ \sin ^{-1} x= \cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}…(i)

আবার, \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}= ⇒\theta =\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} অর্থাৎ \sin ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}…(ii)

\tan \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} ⇒\theta = \cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} অর্থাৎ \sin ^{-1} x = \cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} \ldots \text { ( }…(iii)

\sin \theta =x ⇒\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta} =x ⇒ \operatorname{cosec} \theta=\frac{1}{x} ⇒\theta =\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x} অর্থাৎ \sin ^{-1} x =\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x} …(iv) 

\sec \theta =\frac{1}{\cos \theta} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} ⇒ \theta= \frac{1}{x}⇒\theta =\sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} অর্থাৎ \sin ^{-1} x= \sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}…(v) 

(i), (ii), (iii), (iv) ও (v) নং হতে পাই,

\sin ^{-1} x = \operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x}=\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}} = \sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}= \cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}=\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}  

জ্যামিতিক পদ্ধতি (Geometric method): জ্যামিতিক পদ্ধতিতে যে কোন বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে অপর যে কোন বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনে রূপান্তর করা যায়।

ধরি, \sin ^{-1} x = \theta তাহলে \sin \theta =x = \frac{x}{1}

একটি সমকোণী ত্রিভুজ ABC অঙ্কন করি, যার ∠BAC= \theta, BC (লম্ব) =x AC (অতিভুজ) =1

∴AB (ভূমি) =\sqrt{A C^{2}-B C^{2}} =\sqrt{1-x^{2}} , \theta =\frac{\text { ভূমি }}{\text { অতিভুজ }}

∴\theta =\cos ^{-1}\left(\frac{\text { ভূমি }}{\text { অতিভুজ }}\right) =\cos ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{1}\right) =\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}} =\sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}  

অনুরূপভাবে, \theta =\tan ^{-1}\left(\frac{\text { লম্ব }}{\text { ভূমি}}\right) =\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} =\cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}

∴ \sin ^{-1} x=\operatorname{cosec}^{-1} \frac{1}{x} =\cos ^{-1} \sqrt{1-x^{2}} =\sec ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\cot ^{-1} \frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x} =\tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}  

[বি.দ্র. \sin ^{-1} \frac{x \text { (লম্ব) }}{y \text { (ভূমি) }} =\tan ^{-1} \frac{\text { লম্ব }(x)}{\text { ভূমি }\left(\sqrt{y^{2}-x^{2}}\right)} ,\tan ^{-1} \frac{x}{y} =\sin ^{-1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

\cos ^{-1} \frac{x \text { (লম্ব) }}{y \text { (ভূমি) }} =\tan ^{-1} \frac{\text { লম্ব }(\sqrt{y^{2}-x^{2}})}{\text { ভূমি }\left(x\right)} ,\tan ^{-1} \frac{x}{y} =\cos ^{-1} \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}