বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখ (Graphs of inverse trigonometric functions)

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখ (Graphs of inverse trigonometric functions): 

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখ অঙ্কন করতে y=\sin ^{-1} x ও  y=\cos ^{-1} x  এর জন্য x \in[-1,1] , y=\tan ^{-1} x  ও y=\cot ^{-1}  এর জন্য x \in \mathbb{R} এবং y=\sec ^{-1} x ও y=\operatorname{cosec}^{-1} x  এর জন্য x≤-1 বা x≥1 এর ভিন্ন মানের জন্য y এর প্রতিরূপী মূখ্যমান নির্ণয় করতে হয়। x ও y সমন্বয়ে গঠিত বিন্দুগুলি ছক কাগজে স্থাপন করে স্থাপিত বিন্দুগুলি মুক্ত হস্তে বক্রাকারে সংযুক্ত করলে বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের লেখচিত্র অঙ্কিত হয়।

উদাহরণ: y=\sin ^{-1} x  লেখচিত্র অঙ্কন কর, যখন x \in[-1,1]

সমাধান: নিচের তালিকায় x∈[-1, 1] sine এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য sine  এর প্রতিরূপী মান নির্ণয় করি।

একটি ছক কাগজে স্থানাঙ্কের অক্ষ রেখা XOX ‘ ও YOY ‘ আঁকি।

স্কেল নির্ধারণ: x -অক্ষ বরাবর ছোট বর্গের 10 বাহু =1 এবং y –অক্ষ বরাবর ছোট বর্গের এক বাহ =15°

এখন নির্ধারিত স্কেল অনুযায়ী তালিকাভুক্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করি। স্থাপিত বিন্দুগুলো মুক্ত হস্তে বক্রাকারে যোগ করে y=\sin ^{-1} x  এর লেখচিত্র অঙ্কন করা হল।

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য (Chart features): লেখটি অবিচ্ছিন্ন এবং তা মূলবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

সমস্যা (Problem): y=\tan ^{-1} x  এর লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।

সমাধান: তত্ত্ব:  tanx ফাংশনটি \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ব্যবধিতে এক-এক এবং এর রেঞ্জ \mathbb{R} । কাজেই \tan ^{-1} x ফাংশনের ডোমেন = \mathbb{R} এবং রেঞ্জ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)

উপকরণ: ছক কাগজ, পেন্সিল, রাবার, সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটর।

কার্যপদ্ধতি (Procedure):

1. গ্রাফ কাগজে পরস্পর লম্ব XOX' এবং YOY' রেখাদ্বয় আঁকি।
2. x এর কয়েকটি মানের জন্য y=\tan ^{-1} x হতে y এর মান নির্ণয় করি।
3. প্রাপ্ত (x, y) বিন্দুগুলি ছক কাগজে সুবিধাজনক স্কেলে স্থাপন করি। 
4. একটি সরু শিষযুক্ত পেন্সিল দিয়ে মসৃন বক্ররেখার সাহায্যে বিন্দুগুলি যোগ করে ফাংশনটির লেখ আঁকি।

ফল সংকলন:

সতর্কতা:

1. বিন্দুগুলির মান নির্ণয়ে সতর্কতা অবলম্বন করতে হবে।
2. ফাংশনের গাণিতিক বিশ্লেষণ করে ফাংশনের লেখের সত্যতা যাচাই করতে হবে।
3. বিন্দুগুলি যোগের সময় সাবধানতা অবলম্বন করতে হবে।

বৈশিষ্ট্য:

•   x এর সকল বাস্তব মানের জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।
• \left[0, \frac{\pi}{2}\right) ব্যবধিতে ফাংশনের মান ধনাত্মক অসীমের দিকে ধাবিত হয় এবং \left[0, \frac{\pi}{2}\right)  ব্যবধিতে ফাংশনের মান ঋণাত্মক অসীমের দিকে ধাবিত হয়।
• x \rightarrow \infty হলে \tan ^{-1} x \rightarrow\frac{\pi}{2} এবং x \rightarrow -\infty  হলে \tan ^{-1} x \rightarrow-\frac{\pi}{2} হওয়ায় x=\frac{\pi}{2} এবং x=\frac{\pi}{2}  রেখাদ্বয় ফাংশনের অসীমতট রেখা।
• \tan \left(\tan ^{-1} x\right)= যখন -\infty<x<\infty  
• \tan \left(\tan ^{-1} x\right)= যখন \frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}
• \operatorname{Arctan}(x)=t বা, \tan ^{2} x=t যদি এবং কেবল যদি \frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}   এবং -\tan (t)=x
• \operatorname{Arctan}(x) বা, \tan ^{-1} x  একটি অযুগ্ম ফাংশন।

Note: \operatorname{Arctan}(x)  = \tan ^{-1} x  

সমস্যা (Problem): একই লেখচিত্রে f(x)=\cos x এবং এর বিপরীত ফাংশন f^{-1}(x) = \cos ^{-\mathbf{1}} x এর লেখচিত্র অঙ্কন করতে হবে।

সমাধান: তত্ত্ব:  y= f(x)=\cos x ফাংশনের ডোমেন = \mathbb{R}  এবং রেঞ্জ =[-1, 1] কিন্তু [0, \pi] ব্যবধিতে f(x) এক-এক এবং সার্বিক। সুতরাং f^{-1}(x)  এর ডোমেন = [-1, 1]  এবং রেঞ্জ = [0, \pi] । f(x) ও f^{-1}(x) ফাংশনের লেখ y=x রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম। y=x রেখার সাপেক্ষে f(x) রেখার প্রতিফলিত চিত্র আঁকলে  f^{-1}(x) এর লেখচিত্র পাওয়া যাবে।

উপকরণ: ছক কাগজ, পেন্সিল, স্কেল, রাবার, সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটর।

কার্যপদ্ধতি:

1. গ্রাফ কাগজে পরস্পর লম্ব XOX' এবং YOY' রেখাদ্বয় আঁকি।
2. y=cosx এর ফাংশন থেকে [0, \pi]  ব্যবধিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য   y এর মান নির্ণয় করি। 
3. ছক কাগজে x -অক্ষ ও y -অক্ষ নির্ধারণ করে সুবিধাজনক স্কেলে ( x -অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্র 5 বাহু =6 ও   y অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্র 10 বাহু =1 একক) বিন্দুগুলি স্থাপন করি।
4. সরু করে কাঁটা পেন্সিল দিয়ে বিন্দুগুলি সংযোগ করে f(x) = cosx এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।
5. y = x রেখার সাপেক্ষে f(x) ফাংশনের উপরস্থ বিন্দুগুলির প্রতিচ্ছবি নির্ণয় করি।
6. প্রতিফলিত বিন্দুগুলি পেন্সিল দিয়ে যোগ করে f^{-1}(x)  এর লেখচিত্র অঙ্কন করি।

ফল সংকলন:

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য:

1. লেখ থেকে এটা স্পষ্ট যে,  [0, \pi] ব্যবধিতে f(x) = cosx  ফাংশনটি অনন্য।
2. f^{-1}(x) ফাংশনের ডোমেন [-1, 1] এবং রেঞ্জ = [0, \pi]
3. cos-1x=t যদি এবং কেবল যদি 0 \leq t \leq \pi  এবং \cos (t)  = (x)
4. \cos \left(\cos ^{-1}(x)\right) = x যদি এবং কেবল যদি -1≤x≤1
5. \cos ^{-1}(\cos (x)) যদি এবং কেবল যদি 0 \leq x \leq \pi