সরল দোলন গতির অন্তরক বা ব্যবকলনীয় সমীকরণ | Differential Equation of Simple Harmonic Motion

সরল দোলন গতির সংজ্ঞা থেকে আমরা জানি, বল সরণের সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী। কোনো কণার উপর ক্রিয়াশীল বল F এবং সরণ x হলে সরল দোলন গতির ক্ষেত্রে,

F\propto -x\\ F\propto -x

এ ধ্রুবক k কে বলা হয় বল ধ্রুবক। নিউটনের গতির দ্বিতীয় সূত্র থেকে আবার আমরা জানি বস্তুর ভর m এবং ত্বরণ a হলে, F=ma

\therefore \mathrm{ma}=-\mathrm{kx} \\ a=\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}\\ \therefore m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k x\\ বা, \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\frac{k}{m} x\\ বা, \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{k}{m} x=0\\ আমরা\; যদি, \;\frac{k}{m}=\omega^{2} \; লিখি,\; তাহলে\; এ\; সমীকরণ\; দাঁড়ায়, \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=0

এ সমীকরণে অন্তরক (derivative) সংশ্লিষ্ট, কাজেই এ সমীকরণটি একটি অন্তরক বা ব্যবকলনীয় সমীকরণ। এ সমীকরণ থেকে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময় t এর উপর নির্ভর করে তা জানা যায়। কোনো কণার সরণ x কীভাবে সময় t এর উপর নির্ভর করে তা জানার অর্থই হচ্ছে কণাটির গতি সম্পর্কে জানা। যেহেতু সমীকরণটি সমাধান করলে সময়ের সাথে সরণের সম্পর্ক তথা গতি সম্পর্কে জানা যায়, তাই এ সমীকরণকে সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণ বলা হয় হয়। এ সমীকরণের দুটি উল্লেখযোগ্য সাধারণ সমাধান হচ্ছে, x=A \sin (\omega t+\delta)\\ এবং,\; x=B \cos (\omega t+\delta)।

x=A \sin (\omega t+\delta) যে সরল দোলনগতির অন্তরক সমীকরণের একটি সমাধান আমরা তা নিম্নোক্ত উপায়ে প্রমাণ করতে পারি।

x=A \sin (\omega t+\delta) কে সময়ের সাপেক্ষে পরপর দুই বার অন্তরীকরণ করে আমরা পাই,

\frac{d x}{d t}=A \frac{d}{d t}[\sin (\omega t+\delta)]=\omega A \cos (\omega t+\delta) \\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)=\omega A \frac{d}{d t}[\cos (\omega t+\delta)]\\ বা,\; \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-\omega^{2} A \sin (\omega t+\delta)

এখন সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণ \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+\omega^{2} x=0 এ x=A \sin (\omega t+\delta) ব্যবহার করে আমরা পাই, \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}=-\omega^{2} x

\frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}} এর এই মান অন্তরক সমীকরণে বসালে পাওয়া যায়, 

বামপক্ষ =-\omega^{2} x+\omega^{2} x=0

বা, বামপক্ষ=ডানপক্ষ

সুতরাং \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} t^{2}}+\omega^{2} x=0 সমীকরণে x=A \sin (\omega t+\delta) বসালে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

কাজেই x=A \sin (\omega t+\delta) সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণের একটি সমাধান।

সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণের সমাধান (The solution of the Differential equation of simple oscillation speed)

সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণ

\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega^{2} x=0 \\ \frac{d}{d t}\left(\frac{d x}{d t}\right)+\omega^{2} x=0

বা, \frac{d v}{d t}+\omega^{2} x=0

বা, \frac{d x}{d t} \cdot \frac{d v}{d x}=-\omega^{2} x

বা, v d v=-\omega^{2} x d x

বা, \int v d v=-\omega^{2} \int x d x

বা, \frac{v^{2}}{2}=-\omega^{2} \frac{x^{2}}{2}+C, এখানে  C= যোগজীকরণ ধ্রুবক।

বা, v=0, এখানে x=A= বিস্তার

\therefore 0=-\omega^{2} \frac{A^{2}}{2}+C \therefore C=\omega^{2} \frac{A^{2}}{2}

C এর মান বসিয়ে পাওয়া যায়,

\therefore \frac{v^{2}}{2}=-\omega^{2} \frac{x^{2}}{2}+\omega^{2} \frac{A^{2}}{2}

বা, v^{2}=\omega^{2}\left(A^{2}-x^{2}\right)

\therefore v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}}

বা, \frac{d x}{d t}=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}}

বা, \frac{d x}{\sqrt{A^{2}-x^{2}}}=\omega d t

উভয় পক্ষকে যোগজীকরণ করে পাই,

\sin ^{-1} \frac{x}{A}=\omega t+\delta এখানে \delta= যোগজীকরণ ধ্রুবক

বা, \frac{x}{A}=\sin (\omega t+\delta)

\therefore x=A \sin (\omega t+\delta)

এ সমীকরণ সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণের সমাধান।