সরল দোলক (Simple Pendulum)

সরল দোলক : একটি ভারী আয়তনহীন বস্তুকণাকে ওজনহীন, নমনীয় ও অপ্রসারণশীল সুতা দিয়ে ঝুলিয়ে দিলে এটি যদি ঘর্ষণ এড়িয়ে স্বাধীনভাবে একটি উলম্ব তলে দুলতে পারে তবে তাকে সরল দোলক বলে।

সরল দোলক

কিন্তু বাস্তবে এ রকম কোনো সরল দোলক সম্ভব নয়। কতগুলো গাণিতিক সুবিধার জন্য এরূপ দোলক কল্পনা করা হয়। একটি হালকা সুতার সাহায্যে কোনো দৃঢ় অবলম্বন থেকে একটি ভারী বস্তু ঝুলিয়ে দিলে এটি স্বাভাবিক অবস্থায় সোজা হয়ে ঝুলে থাকবে। সুতাসমেত বস্তুটিকে সরল দোলক বলা হয় (চিত্র)।

বব: যে ভারী বস্তুটিকে সুতার সাহায্যে ঝুলিয়ে সরল দোলক তৈরি করা হয় তাকে বব বা পিণ্ড বলে। চিত্রে $C$ হচ্ছে বব।

ঝুলন বিন্দু (Hanging point): যে বিন্দু থেকে সুতার সাহায্যে ববকে ঝুলানো হয় তাকে ঝুলন বিন্দু বলে। চিত্রে $O$ হচ্ছে ঝুলন বিন্দু।

কার্যকরী দৈর্ঘ্য (Functional length): ঝুলন বিন্দু থেকে ববের ভারকেন্দ্র পর্যন্ত দূরত্বকে সরল দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য বা দোলক দৈর্ঘ্য বলে। চিত্রে $OC$ কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$ । ববটি সুষম গোলক হলে ঝুলন বিন্দু থেকে ববের পৃষ্ঠ পর্যন্ত দূরত্বের ( $l$ ) সাথে ববের ব্যাসার্ধ ( $r$ ) যোগ করলে কার্যকরী দৈর্ঘ্য পাওয়া যায়। $\therefore L=l+r$

সরল দোলকের গতি ও দোলনকালের রাশিমালা

$AB$ একটি সরল দোলক। $B$ এর ভারকেন্দ্র। $m$ এর ভর। দোলকটিকে দুলতে দিলে ধরা যাক, যেকোনো এক সময় সাম্যাবস্থান থেকে $\theta$ কোণে $AC$ অবস্থানে আসে। এখন $C$ বিন্দুতে এর ওজন $mg$ খাড়া নিচের দিকে ক্রিয়া করে। এ ওজনকে দুটি লম্ব উপাংশে ভাগ করা যায়। একটি সুতার দৈর্ঘ্য বরাবর $CD$ -এর দিকে $mg \cos \theta$ ⁡ এবং অপরটি এর সাথে লম্বভাবে স্পর্শক বরাবর $CE$ -এর দিকে $mg \sin \theta$ ⁡

$mg \cos \theta$ ⁡ উপাংশটি সুতার টান $T'$ দ্বারা নিষ্ক্রিয় হয়, সুতরাং একমাত্র কার্যকরী বল $F$ হচ্ছে $mg \sin \theta$ ⁡ এবং এর দিক সাম্যাবস্থান বা মধ্যাবস্থানের দিকে।

$\therefore F=-mg \sin \theta$ ⁡⁡, যেহেতু কার্যকর বল সরণের বিপরীত দিকে তাই ঋণাত্মক চিহ্ন ব্যবহার করা হয়েছে। এই কার্যকরী বলের জন্য ত্বরণ $a$ হলে

$F=m a$

$\therefore m a=-m g \sin \theta$ ⁡

বা, $a=-g \sin \theta$ ⁡

$\theta$ এর মান খুব কম হলে, $4^{\circ}$ এর বেশি না হলে $\sin \theta=\theta$ রেডিয়ান লেখা যায়।

ফলে $a$ এর সমীকরণ দাঁড়ায় $a=-g \theta$ বা, $a=-g \frac{B C}{A C}$

যেহেতু $BC$ হচ্ছে সরণ $x$ এবং $AC$ হচ্ছে কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$

$\therefore a=-\frac{g}{L} x$

কিছু নির্দিষ্ট স্থানে নির্দিষ্ট দোলকের জন্য $\frac{g}{L}$ একটি ধ্রুবক। একে $\omega^2$ দ্বারা প্রকাশ করলে,

$\therefore a=-\omega^{2} x$

বা, $a \propto x$

একটি সরল দোলন গতির শর্ত। সুতরাং স্বল্প বিস্তারে সরল দোলকের গতি সরল দোলন গতি, যেক্ষেত্রে

$\omega^{2}=\frac{g}{L}$ বা, $\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$

সুতরাং সরল দোলকের দোলনকাল বা পর্যায়কাল $T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

সরল দোলকের সূত্রাবলি (Formulas of Simple Pendulum)

কৌণিক বিস্তার 4° এর বেশি না হলে সরল দোলকের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্র চারটি প্রযোজ্য।

প্রথম সূত্র—সমকাল সূত্র : কৌণিক বিস্তার ক্ষুদ্র হলে এবং দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত থাকলে কোনো নির্দিষ্ট স্থানে একটি সরল দোলকের প্রতিটি দোলনের জন্য সমান সময় লাগে। দোলনকাল কৌণিক বিস্তারের ওপর নির্ভর করে না।

দ্বিতীয় সূত্র—দৈর্ঘ্যের সূত্র : কৌণিক বিস্তার ক্ষুদ্র হলে কোনো নির্দিষ্ট স্থানে সরল দোলকের দোলনকাল ( $T$ )-এর কার্যকরী দৈর্ঘ্য ( $L$ )-এর বর্গমূলের সমানুপাতে পরিবর্তিত হয়।

অর্থাৎ $T \propto \sqrt{L}$ যখন $g$ ধ্রুব।

তৃতীয় সূত্র—ত্বরণের সূত্র : কৌণিক বিস্তার ক্ষুদ্র হলে এবং সরল দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য ( $L$ ) অপরিবর্তিত থাকলে এর দোলনকাল ( $T$ ) অভিকর্ষজ ত্বরণ ( $g$ )-এর বর্গমূলের ব্যস্তানুপাতে পরিবর্তিত হয়।

অর্থাৎ $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ যখন $L$ ধ্রুব।

চতুর্থ সূত্র—ভরের সূত্র : কৌণিক বিস্তার ক্ষুদ্র হলে এবং কার্যকরী দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত থাকলে কোনো নির্দিষ্ট স্থানে সরল দোলকের দোলনকাল ববের ভর, আয়তন, উপাদান ইত্যাদির ওপর নির্ভর করে না। বিভিন্ন ভর, আয়তন বা উপাদানের ববের জন্য দোলকের দোলনকাল একই হয়।

টেন মিনিট স্কুলের “HSC 22 শেষ মুহূর্তের প্রস্তুতি” কোর্সে এনরোল করতে ক্লিক করো এই লিংকে!

এনরোল করো

L T^2 Graph

$L-T^2$ লেখচিত্র

সরল দোলকের দ্বিতীয় সূত্র থেকে আমরা পাই,

T \propto \sqrt{L}

বা, $T^{2} \propto L$

বা, $T^2=$ ধ্রুব $\times L$

একটি ছক কাগজের $X$ -অক্ষের দিকে $L$ এর বিভিন্ন মান এবং $Y$ -অক্ষের দিকে $T^2$ এর আনুষঙ্গিক মান স্থাপন করে একটি লেখচিত্র অঙ্কন করলে লেখচিত্রটি একটি মূলবিন্দুগামী সরলরেখা হবে। কেননা, $T^2=y,L=x$ এবং ধ্রুবক $=m$ ধরা হলে উপরিউক্ত সমীকরণ দাঁড়ায় $y=mx$ । এটি মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখার সমীকরণ।

g T^2 Graph

$g-T^2$ লেখচিত্র

সরল দোলকের তৃতীয় সূত্র থেকে আমরা পাই,

T\propto \frac{1}{\sqrt{g}}

বা, $T^{2} \propto \frac{1}{g}$

বা, $T^{2}= ধ্রুব \times \frac{1}{g}$

একটি ছক কাগজে X-অক্ষের দিকে বিভিন্ন স্থানে $g$ -এর মান এবং $Y$ -অক্ষের দিকে $T^2$ -এর আনুষঙ্গিক মান স্থাপন করে লেখচিত্র আঁকলে আয়তাকার অধিবৃত্ত (Rectangular hyperbola) পাওয়া যাবে (চিত্র)।

g^ 1 T^2 Graph

আবার x-অক্ষের দিকে $\frac{1}{g}$ এবং Y-অক্ষের দিকে আনুষঙ্গিক T2 এর মান নিয়ে লেখচিত্র আঁকলে (৮.১০) চিত্রের ন্যায় মূল বিন্দুগামী সরল রেখা পাওয়া যাবে।

অল্প বিস্তারে দোলায়মান সরল দোলকের গতিপথ সরলরৈখিক তথা অনুভূমিক। এখন একটি দোলায়মান সরল দোলকের সুতা হঠাৎ করে ছিঁড়ে গেলে অর্থাৎ সুতার টান শূন্য হয়ে যাওয়ায় ববটি অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত প্রাসের ন্যায় চলে ভূমিতে পতিত হবে।

ঘূর্ণায়মান কৃত্রিম উপগ্রহে একটি সরল দোলকের দোলনকাল অসীম হবে। কারণ কৃত্রিম উপগ্রহ একটি অজড় কাঠামো হওয়ায় পৃথিবীর কেন্দ্রের দিকে নিট ত্বরণ শূন্য হবে, ফলে দোলকটি দুলবে না।

সরল দোলকের ব্যবহার (Application of Simple Pendulum) :

সরল দোলকের গতি সরল দোলন গতি। তাই সরল দোলন গতি তথা সরল দোলকের সাহায্যে আমরা,

১. কোনো স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g$ , নির্ণয় করতে পারি।

২. পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করতে পারি

৩. সময় পরিমাপ করতে পারি।

১. সরল দোলকের সাহায্যে g-এর মান নির্ণয়

সূত্র : অভিকর্ষ বলের প্রভাবে ভূপৃষ্ঠে মুক্তভাবে পড়ন্ত কোনো বস্তুর বেগ বৃদ্ধির হারকে অভিকর্ষজ ত্বরণ বলে। সরল দোলকের দোলনকালের সমীকরণ থেকে আমরা জানি,

T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

বা, $T^{2}=4 \pi^{2} \frac{L}{g}$

বা, $g=4 \pi^{2} \frac{L}{T^{2}}$

এই সমীকরণ থেকে কোনো স্থানে L কার্যকরী দৈর্ঘ্যের সরল দোলকের দোলনকাল T নির্ণয় করে ঐ স্থানের অভিকর্ষজ ত্বরণ g নির্ণয় করা যায়।

সরল দোলক তৈরি : স্ট্যান্ডের সাহায্যে একটি হুক থেকে কোনো শক্ত সুতা দ্বারা একটি ক্ষুদ্র ভারী গোলক ঝুলিয়ে সরল দোলক তৈরি করা হয়। এ গোলককে বব বলে।

$L$ নির্ণয় : দোলকের ঝুলন বিন্দু থেকে ববের ভারকেন্দ্র পর্যন্ত দৈর্ঘ্যকে সরল দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$ বলে। প্রথমে একটি মিটার স্কেলের সাহায্যে সুতার ঝুলন বিন্দু অর্থাৎ হুক থেকে ববের উপরিপৃষ্ঠ পর্যন্ত দূরত্ব $l$ মেপে নেয়া হয়। এরপর একটি স্লাইড ক্যালিপার্সের সাহায্যে ববের ব্যাস নির্ণয় করে ব্যাসার্ধ $r$ বের করা হয়। তাহলে দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য হয় $L=l+r$ .

$T$ নির্ণয় : সরল দোলকের একটি পূর্ণ দোলনের যে সময় লাগে তাকে দোলনকাল বলে। দোলকটিকে সাম্যাবস্থা থেকে এক পাশে এমনভাবে একটু টেনে ছেড়ে দেয়া হয় যাতে এটি দুলতে থাকে এবং কৌণিক বিস্তার 4°-এর বেশি না হয়। একটি স্টপওয়াচের সাহায্যে কয়েকটি দোলনের যেমন 20 বা, 25 দোলনের সময় নির্ণয় করে ঐ সময়কে দোলন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে একটি দোলনের সময় অর্থাৎ দোলনকাল $T$ বের করা হয়।

গড় $\frac{L}{T^2}$ নির্ণয় : সুতার দৈর্ঘ্য পরিবর্তন করে দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য L পরিবর্তন করা হয় এবং বিভিন্ন কার্যকরী দৈর্ঘ্যের জন্য দোলনকাল $T$ নির্ণয় করে প্রতি ক্ষেত্রে $\frac{L}{T^2}$ বের করে গড় নির্ণয় করা হয়। এ গড় মান সমীকরণে বসিয়ে $g$ -এর মান হিসাব করা হয়।

লেখ থেকে $L$ ও $T^2$ নির্ণয়

লেখ থেকে L ও T2 নির্ণয়

একটি ছক কাগজের $X$ -অক্ষের দিকে $L$ -এর বিভিন্ন মান এবং $Y$ -অক্ষের দিকে আনুষঙ্গিক $T^2$ -এর মান স্থাপন করে লেখ অঙ্কন করা হয়। লেখটি মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা হয়। এ সরলরেখার ওপর যেকোনো একটি বিন্দু $P$ নিয়ে $P$ থেকে $X$ -অক্ষের ওপর $PM$ এবং $Y$ -অক্ষের ওপর $PN$ লম্ব টানা হয় (চিত্র)। তাহলে যেকোনো দৈর্ঘ্য $L = OM$ –এর জন্য দোলনকালের বর্গ $T^2=0N$ পাওয়া যায়।

ফলাফল : লেখ থেকে প্রাপ্ত এই L ও T2 এর মান সমীকরণে বসিয়ে g – এর মান হিসাব করা হয়।

\begin{aligned} g &=4 \pi^{2} \frac{L}{T^{2}} \\ &=4 \pi^{2} \frac{O M}{O N} \end{aligned}

সতর্কতা : ১. দোলকের বিস্তার যাতে 4° এর বেশি না হয় সে দিকে লক্ষ্য রাখা প্রয়োজন।

২. দোলনের সংখ্যা সঠিকভাবে গণনা করা হয় অন্যথায় T এর মানে ভুল থেকে যায়। g – এর মানের নির্ভুলতা T এর মানের ওপর অনেকাংশে নির্ভরশীল।

৩. L এর মান যথাসম্ভব বেশি হওয়া বাঞ্ছনীয়।

৪. দোলার সময় সুতা যাতে পাক না খায় এবং বব যাতে একই উলম্ব তলে দোলে সে দিকে লক্ষ্য রাখা হয়।

২. সরল দোলকের সাহায্যে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়

সরল দোলকের সাহায্যে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয়

ধরা যাক পাহাড়ের পাদদেশে অভিকর্ষজ ত্বরণ $=g$

পাহাড়ের চূড়ায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $={g}'$

পৃথিবীর ভর $=M$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ $=R$

পাহাড়ের উচ্চতা $=h$

নিউটনের মহাকর্ষীয় সূত্রানুসারে,

g=\frac{GM}{R^2}

{g}'=\frac{GM}{(R+h)^2}

প্রথম সমীকরণকে দ্বিতীয় সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,

\frac{g}{g^{\prime}}=\frac{(R+h)^{2}}{R^{2}}=\left(\frac{R+h}{R}\right)^{2}=\left(1+\frac{h}{R}\right)^{2}

বা, $1+\frac{h}{R}=\left(\frac{g}{g^{\prime}}\right)^{\frac{1}{2}}$

বা, $h=\left[\left(\frac{g}{g^{\prime}}\right)^{\frac{1}{2}}-1\right] R$

এ সমীকরণ আবার পাহাড়ের পাদদেশে দোলকের দোলনকাল T এবং পাহাড়ের শীর্ষে দোলনকাল T’ এবং দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য L হলে, সময়ের সমীকরণের সাহায্যে পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।

$T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \quad$

বা, $\quad T^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

\therefore \frac{T^{\prime}}{T}=\sqrt{\frac{g}{g}}

সমীকরণে বসিয়ে আমরা পাই,

h=\left[\frac{T^{\prime}}{T}-1\right] R

$T$ ও ${T}'$ এর মান নির্ণয় করে এ সমীকরণের সাহায্যেও পাহাড়ের উচ্চতা নির্ণয় করা যায়।

৩. সরল দোলকের সাহায্যে সময় নির্ণয়

দোলকের সাহায্যে এক প্রকার ঘড়ি তৈরি করে সময় নির্ণয় করা হয়। এ সকল ঘড়িকে দোলক ঘড়ি বলে। দোলক ঘড়ি এক প্রকার সেকেন্ড দোলক অর্থাৎ দোলনকাল 2 সেকেন্ড। অর্ধদোলনকাল 1 সেকেন্ড বা প্রতি অর্ধদোলনে একটি টিক বা 1 টি ‘বিট’ দেয়। এ সকল দোলক সাধারণত ধাতব পদার্থ দ্বারা নির্মিত হয়। তাপমাত্রার পরিবর্তনের সাথে সাথে দোলকের দৈর্ঘ্যের পরিবর্তন ঘটে। ফলে দোলনকালেরও পরিবর্তন ঘটে। এ জন্য দোলক ধীরে বা দ্রুত চলে। দোলকপিণ্ডের নিচে স্ক্রুর সাহায্যে দোলকের কার্যকর দৈর্ঘ্য নিয়ন্ত্রণ করে দোলনকাল ঠিক করা হয়।

যেহেতু, 1 দিন =86400 সেকেন্ড

সুতয়াং সঠিক সময় নির্দেশকারী একটি দোলক ঘড়ি দিনে 86400টি অর্ধদোলন দেয়।

দোলক ঘড়ি দ্রুত বা ধীরে চললে নিচের পদ্ধতিতে দোলনকাল নির্ণয় করা যায়:

ধরা যাক একটি দোলক ঘড়ি দিনে n সেকেন্ড ধীরে চলে।

∴ দোলকটি (86400-n) টি অর্ধদোলন দেয় 86400 সেকেন্ডে

দোলকটি 1টি অর্ধদোলন দেয় 8640086400-n সেকেন্ডে

দোলকটি 2টি অর্ধদোলন দেয় 28640086400-n সেকেন্ডে

∴ দিনে n সেকেন্ড ধীরে চললে দোলনকাল হবে 28640086400-n সেকেন্ড।

আবার দোলক ঘড়ি দিনে n সেকেন্ড দ্রুত চললে

∴ দোলকটি (86400+n)টি অর্ধদোলন দেয় 86400 সেকেন্ডে

দোলকটি 1টি অর্ধদোলন দেয় 8640086400+n সেকেন্ডে

দোলকটি 2টি অর্ধদোলন দেয় 28640086400+n সেকেন্ডে

∴ দিনে n সেকেন্ড দ্রুত চললে দোলনকাল হবে 28640086400+n সেকেন্ড।

সরল দোলক (Simple Pendulum)