সরল দোলন গতি সংক্রান্ত বিভিন্ন রাশি । Some terms related to simple oscillation motion

সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণের একটি সমাধান তথা সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার গতির সমীকরণ হচ্ছে, 

x=A \sin (\omega t+\delta)

পর্যায়কাল, T (Time period) 

সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন হতে যে সময় লাগে তাকে তার পর্যায়কাল T বলে।

সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার গতির সমীকরণে সময় t কে \frac{2\pi}{\omega} পরিমাণ বৃদ্ধি করা হলে সরণ হয়

x^{\prime}=A \sin \left[\omega\left(t+\frac{2 \pi}{\omega}\right)+\delta\right] \\ \quad=A \sin (\omega t+2 \pi+\delta)=A \sin (\omega t+\delta) \\ \therefore x^{\prime}=x

দেখা যাচ্ছে যে, \frac{2 \pi}{\omega} সময় পর সরণের মান একই হচ্ছে অর্থাৎ \frac{2 \pi}{\omega} সময় পর পর রাশিটির পুনরাবৃত্তি ঘটছে। সুতরাং \frac{2 \pi}{\omega} হচ্ছে সরল দোলন গতির পর্যায়কাল T।

\therefore T=\frac{2 \pi}{\omega}

পর্যায়কাল ও বল ধ্রুবকের সম্পর্ক (The relation of  time period and force constant)

আমরা জানি, \omega^{2}=\frac{k}{m}। সুতরাং T=\frac{2 \pi}{\omega} সমীকরণে দাঁড়ায়,

\therefore T=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{k}}

এ সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, সরল দোলন গতির পর্যায়কাল স্পন্দনশীল কণাটির ভর m এবং বল ধ্রুবক k এর সাথে সম্পর্কিত। যেহেতু কোনো কণার ভর m নির্দিষ্ট,

\therefore T \propto \frac{1}{\sqrt{k}}

অর্থাৎ সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার পর্যায়কাল বল ধ্রুবকের বর্গমূলের ব্যাস্তানুপাতিক।

কম্পাঙ্ক, f (Frequency)

কোনো সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণা একক সময়ে যে কয়টি পূর্ণ দোলন বা কম্পন সম্পন্ন করে তাকে তার কম্পাঙ্ক f বলে।

\therefore f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

কৌণিক কম্পাঙ্ক, (Angular Frequency)

সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোনো কণা একক সময়ে যে কৌণিক দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে কৌণিক কম্পাঙ্ক বলে।

পর্যায়কাল এবং কম্পাঙ্ক যথাক্রমে T এবং f হলে,

\omega=\frac{2 \pi}{T}=2 \pi f=\sqrt{\frac{k}{m}}

কৌণিক কম্পাঙ্ক \omega এর মাত্রা হচ্ছে T^{-1} এবং একক রেডিয়ান/সেকেন্ড \left(\mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}\right)

বিস্তার, A (Expansion) 

x=A \sin (\omega t+\delta) সমীকরণের ধ্রুবক A এর একটি সরল ভৌত তাৎপর্য আছে। আমরা জানি, sine অপেক্ষকের মান -1 থেকে +1 পর্যন্ত হতে পারে। কাজেই মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থান (x=0) থেকে সরণ x এর সর্বোচ্চ মান হতে পারে A। যেহেতু কোনো কণা সাম্যাবস্থান থেকে যেকোনো এক দিকে যে সর্বোচ্চ দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে বিস্তার A বলে, সুতরাং A হচ্ছে সরল দোলন গতির বিস্তার।

দশা, (Phase) (\omega t+\delta)

সরল দোলন গতিসম্পন্ন কোনো কণার দশা বলতে ঐ কণার যেকোনো মুহূর্তে গতির সম্যক অবস্থা বোঝায়। কোনো একটি মুহূর্তে গতির সম্যক অবস্থা বলতে ঐ বিশেষ মুহূর্তে বস্তু কণাটির সরণ, বেগ, ত্বরণ, বল ইত্যাদি বোঝায়। সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার গতির সমীকরণের (\omega t+\delta) রাশিটি হচ্ছে গতির দশা (Phase)। ধ্রুবক হলো দশা ধ্রুবক। একই বিস্তার এবং কম্পাঙ্কের কিন্তু ভিন্ন দশার একাধিক গতি হতে পারে।

যেমন, \delta=0^{\circ} হলে

x=A \sin (\omega t+\delta)=A \sin \left(\omega t+0^{\circ}\right)

বা, x=A \sin \omega t

এখন, t=0 হলে সরণ x=0। অর্থাৎ এক্ষেত্রে কণাটির গতি শুরু হয় তার সাম্যাবস্থান থেকে।

আবার, \delta=\pi / 2 হলে

x=A \sin (\omega t+\delta)=A \sin (\omega t+\pi / 2)

সুতরাং t=0 সময়ে x=A অর্থাৎ সরণ x হচ্ছে সর্বোচ্চ। এক্ষেত্রে কণাটির গতি শুরু হয় এক প্রান্ত থেকে। অন্য দশা ধ্রুবকের জন্য অন্য আদি সরণ পাওয়া যায়।

কণাটির আদি অবস্থান এবং দ্রুতি দ্বারা সরল দোলন গতির বিস্তার A এবং দশা ধ্রুবক নির্ণীত হয়। এ দুই আদি শর্ত দ্বারা সঠিকভাবে A এবং এর মান নির্ধারিত হয়। একবার গতি শুরু হলে অবশ্য একটি নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের স্পন্দনশীল কণার বিস্তার ও দশা ধ্রুবক ধ্রুব থাকে, যদি না অন্যান্য বল ক্রিয়া করে।

বেগ, v (Velocity)

x=A \sin (\omega t+\delta) সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার বেগ v পাওয়া যায়।

v=\frac{d x}{d t}=\omega A \cos (\omega t+\delta)

সরল দোলন গতির সমীকরণ x=B \cos (\omega t+\delta) ধরা হলে,

বেগ v হয়, v=\frac{d x}{d t}=-\omega \mathrm{B} \sin (\omega t+\delta)

বেগ ও সরণের সম্পর্ক (The relation between velocity and displacement)

বেগ v=\frac{d x}{d t}=-\omega \mathrm{B} \sin (\omega t+\delta)

v=\omega A \sqrt{1-\sin ^{2}(\omega t+\delta)} =\omega A \sqrt{1-\frac{x^{2}}{A^{2}}} =\omega A \sqrt{\frac{A^{2}-x^{2}}{A^{2}}}

বা, v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}}

এ সমীকরণ থেকে দেখা যায় যে, সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার বেগ v তার সরণ x এর উপর নির্ভরশীল। যখন x=0, অর্থাৎ কণাটি যখন মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থান অতিক্রম করে, তখন v=\omega \sqrt{A^{2}-0}=\omega A হয় এবং এটিই বেগের সর্বনিম্ন মান।

\therefore v_{\max }=\omega A

সুতরাং মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থানে সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার বেগ সর্বোচ্চ।

যখন x=A, অর্থাৎ কণাটি যখন বিস্তারের প্রান্তে উপস্থিত হয়, তখন v=\omega \sqrt{A^{2}-A^{2}}=0 এবং এটিই বেগের সর্বনিম্ন মান।

\therefore v_{\min }=0

সুতরাং বিস্তারের প্রান্তে মুহুর্তের জন্য কণাটির বেগ শূন্য হয় এবং গতির দিক পাল্টায়।

অতএব, সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার বেগ মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থানে সর্বোচ্চ হয় এবং সরণ বৃদ্ধির সাথে সাথে বেগ হ্রাস পেতে থাকে এবং বিস্তারের প্রান্তে বেগ শূন্য হয়।

ত্বরণ, a (Acceleration)

v=-\omega \mathrm{B} \sin (\omega t+\delta) সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে আমরা ত্বরণ a পাই,

a=\frac{d v}{d t}=-\omega^{2} \mathrm{~A} \sin (\omega t+\delta)

সরল দোলন গতির সমীকরণ x=\mathrm{B} \cos (\omega t+\delta) ধরা হলে, ত্বরণ, a=\frac{d v}{d t}=-\omega^{2} B \cos (\omega t+\delta)

ত্বরণ ও সরণের সম্পর্ক (The relation between Acceleration and Displacement )

ত্বরণ, a=\frac{d v}{d t}=-\omega^{2} B \cos (\omega t+\delta) থেকে লেখা যায়, a=-\omega^{2} x

এ সমীকরণ থেকেও দেখা যায়, সরল দোলন গতি সম্পন্ন কোনো কণার ত্বরণ a তার সরণ x এর উপর নির্ভরশীল।

যখন x=0, অর্থাৎ কণাটি যখন মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থান অতিক্রম করে, তখন a=0, এবং এটিই ত্বরণের সর্বনিম্ন মান।

\therefore a_{\min }=0

আবার, যখন x=A, অর্থাৎ কণাটি যখন বিস্তারের প্রান্তে উপস্থিত হয়, তখন a=-\omega^{2} A এবং এটি ত্বরণের সর্বোচ্চ মান। ঋণাত্মক চিহ্ন বোঝায় ত্বরণ সরণের বিপরীতমুখী।

\therefore a_{\max }=\omega^{2} A

অতএব, সরল দোলন গতি সম্পন্ন কণার ত্বরণ মধ্যবর্তী সাম্যাবস্থানে শূন্য হয় এবং সরণ বৃদ্ধির সাথে সাথে ত্বরণ বৃদ্ধি পেতে থাকে এবং বিস্তারের প্রান্তে ত্বরণ সর্বোচ্চ হয়।

সর্বোচ্চ সরণ, দ্রুতি এবং ত্বরণ(Maximum Displacement, Speed and Acceleration)

সমীকরণগুলো পর্যালোচনা করলে দেখা যায়, সর্বোচ্চ সরণ হচ্ছে A, সর্বোচ্চ দ্রুতি \omega A এবং সর্বোচ্চ ত্বরণ \omega^2 A।

সুতরাং, \left.\begin{array}{l} x_{\max }=A \\ v_{\max }=\omega A \\ a_{\max }=\omega^{2} A \end{array}\right\}

সরল দোলনগতি সম্পন্ন কণার যেকোনো এক দিকে যখন সরণ সর্বোচ্চ হয় তখন তার বেগ শূন্য হয়, কেননা তখন বেগের অভিমুখ পরিবর্তিত হয়। এ মুহূর্তে ত্বরণের মান সর্বোচ্চ হয় কিন্তু এর দিক হয় সরণের বিপরীত দিকে। যখন সরণ শূন্য তখন দ্রুতি সর্বোচ্চ এবং ত্বরণ শূন্য হয়। যখন কোনো কণা সাম্যাবস্থানের দিকে এগুতে থাকে তখন তার দ্রুতি বাড়তে থাকে এবং কণাটি যখন সর্বোচ্চ সরণের দিকে যেতে থাকে তখন দ্রুতি কমতে থাকে।