ভর-শক্তি (Mass Energy)

ভর-শক্তি সম্পর্ক (Mass-energy relation)

আইনস্টাইন-এর ভর-শক্তি সম্পর্ক হলো পদার্থবিজ্ঞানের কালজয়ী সূত্র। আইনস্টাইন আপেক্ষিকতার সাহায্যে এই বিখ্যাত সম্পর্ক নির্ণয় করেন। এই সূত্রকে ভর-শক্তি রূপান্তরের সূত্রও বলে। নিউটনের দ্বিতীয় গতি সূত্র হতে আমরা জানি ভরবেগের পরিবর্তনের হারকে বল বলে। অতএব,  

\mathrm{F}=\frac{d}{d t}(\mathrm{~m} \vartheta)  …  …     [8.38] 

আপেক্ষিক তত্ত্ব হতে আমরা জানি ভর এবং বেগ উভয়ই পরিবর্তনশীল।

\begin{aligned} \therefore \mathrm{F} &=\frac{d}{d t}(\mathrm{~m} \vartheta) \\ &=\mathrm{m} \frac{d \vartheta}{d t}+\vartheta \frac{d m}{d t} \end{aligned}…      …           [8.39]

মনে করি বল F বস্তুর dx সরণ ঘটায়। অতএব কৃত কাজ = F.dx। এই কাজ বস্তুটির গতিশক্তি বৃদ্ধির সমান।

\therefore \mathrm{dE}_{\mathrm{k}}= F.dx

          \begin{array}{l} =\left(\mathrm{m} \frac{d \vartheta}{d t}+\vartheta \frac{d m}{d t}\right) \cdot \mathrm{dx} \\ =\mathrm{m} \cdot \frac{d \vartheta}{d t} \cdot \mathrm{dx}+\vartheta \cdot \frac{d m}{d t} \cdot \mathrm{dx} \\ =\mathrm{m} \vartheta \cdot \mathrm{d} \vartheta+\vartheta^{2} d m \end{array}…  …       [8.40]

                                                                                           \left[\because \frac{\mathrm{dx}}{d t}=\vartheta\right]  

এখন ভর ও বেগের সম্পর্ক হতে পাই,

\mathrm{m}=\frac{\mathrm{m}_{0}}{\sqrt{1-\vartheta^{2} / c^{2}}} …  …     [8.41]

উভয় পাশে বর্গ করে পাই,

\begin{array}{l} \mathrm{m}^{2}=\frac{\mathrm{m}_{0}^{2}}{1-\vartheta^{2} / c^{2}} \\ \text { বা, } \mathrm{m}^{2}=\frac{\mathrm{m}_{0}^{2} c^{2}}{c^{2}-\vartheta^{2}} \\ \text { বা, } \mathrm{m}^{2} c^{2}-\mathrm{m}^{2} \vartheta^{2}=\mathrm{m}_{0}^{2} c^{2} \\ \text { বা, } \mathrm{m}^{2} c^{2}=\mathrm{m}^{2} \vartheta^{2}+\mathrm{m}_{0}^{2} c^{2} \end{array} …  …     [8.42]

 

উভয় পার্শ্বকে অন্তরীকরণ বা অবকলন করে পাই,

2 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{dm} c^{2}=2 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{dm} \vartheta^{2}+2 \vartheta \cdot \mathrm{d} \vartheta \mathrm{m}^{2} \\

বা, \mathrm{dm} \cdot c^{2}=\left(\mathrm{m} \vartheta \cdot \mathrm{d} \vartheta+\vartheta^{2} \cdot \mathrm{dm}\right) …  …     [8.43]

এখন সমীকরণ (8.40) এবং (8.43) হতে পাই,

\begin{array}{l} \mathrm{dm} c^{2}=\mathrm{dE}_{\mathrm{k}} \\ \text { বা,} \mathrm{d} \mathrm{E}_{\mathrm{k}}=\mathrm{dm} c^{2} \end{array}

উক্ত সমীকরণ হতে প্রমাণিত হয় যে গতিশক্তির পরিবর্তন ভরের পরিবর্তনের সমানুপাতিক

অর্থাৎ \mathrm{dE}_{\mathrm{k}} \propto \mathrm{dm}

বস্তু যদি স্থির থাকে, তবে \vartheta=0 এবং, K.E. = 0

এমতাবস্থায় m = m_0। কিন্তু বস্তুর বেগ যখন হয়, তখন ভরের মান হয় m

অতএব সমীকরণ (8.44)-কে সমাকলন করে পাই

\begin{array}{l} \int_{0}^{\mathrm{E}_{\mathrm{k}}} \mathrm{dE}_{\mathrm{k}}=\int_{m_{0}}^{\mathrm{m}} \mathrm{dm} \times C^{2} \\ \text { বা, } E_{k}=\mathrm{c}^{2} \int_{m_{0}}^{\mathrm{m}} \mathrm{dm} \\ \text { বা,} E_{k}=\mathrm{c}^{2}\left[m-m_{0}\right] \\ \text { বা,} E_{k}=m \mathrm{c}^{2}-m_{0} \mathrm{c}^{2} \end{array}

এটিই হলো আপেক্ষিকতার গতিশক্তির সমীকরণ।

বস্তু যদি স্থিতিশীল অবস্থায় থাকে, হবে তার মধ্যে যে শক্তি সঞ্চিত থাকে, তাকে স্থির ভর শক্তি (Rest mass energy) বলে এবং এর পরিমাণ =\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}^{2}

∴ বস্তুর মোট শক্তি

     \mathrm{E}== গতিশক্তি + স্থির ভর শক্তি

বা, \mathrm{E}=\mathrm{E}_{\mathrm{k}}+m_{0} \mathrm{c}^{2}

বা, \mathrm{E}=m \mathrm{c}^{2}-m_{0} \mathrm{c}^{2}+m_{0} \mathrm{c}^{2}

বা, \mathrm{E}=m \mathrm{c}^{2}   

এটিই হলো বিজ্ঞানী আইনস্টাইন-এর ভর-শক্তি সমীকরণ।

স্থির ভর (Rest mass)

আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে বস্তুর ভর বেগের সাথে পরিবর্তিত হয়। গতিবেগ আলোর বেগের কাছাকাছি হলে ভর উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি পায়। এজন্যই বস্তুর নিজস্ব ধর্ম হিসেবে ভরের  উল্লেখ করতে হবে। স্থির অবস্থায় তার ভর নিতে হয়। একেই বস্তুর স্থির ভর বলা হয়। অর্থাৎ একটি বস্তুর অবস্থার ভরই হলো এর স্থির ভর।

পারমাণবিক ভর একক (Atomic mass unit or amu)

একটি পরমাণুর ভর খুবই নগণ্য। তাই পরমাণুর প্রকৃত ভর বিবেচনা করা হয় না। নিউক্লীয় পদার্থবিজ্ঞানে ভরের প্রচলিত একক হলো পারমাণবিক ভর একক (amu)। 1960 সাল থেকে { }_{6} \mathrm{C}^{12} মৌলকে প্রমাণ মৌল ধরে এর সাহায্যে অন্য সকল মৌলের ভর নির্ণয় করা হয়।

এক পারমাণবিক ভর (1 amu) বলতে { }_{6} \mathrm{C}^{12} পরমাণুর ভরের 1/12 অংশ বুঝায়।

1 amu = 1.66057 \times 10^{-27 \mathrm{~kg}}

নিউট্রন, প্রোটন প্রভৃতি কণার ভর amu এককে প্রকাশ করা যায়। এই এককে প্রোটন ও নিউট্রনের ভর যথাক্রমে 1.007277 amu ও 1.008665 amu

\begin{aligned} 1 \text { amu } \text { ভরের } \text { সমতুল্য শক্তি } &=\frac{1.66377 \times 10^{-{ }^{27}}\left(2.998 \times 10^{8}\right)^{2}}{1.6022 \times 10^{19}} \\ &=933.3 \times 10^{6} \mathrm{eV} \\ & \approx 933 \mathrm{MeV} \end{aligned}

• একটি ইলেকট্রনের নিশ্চল ভর 9.028 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}। এর শক্তি সমতুল নির্ণয় কর। ইলেকট্রন ভোল্ট (eV)-এ মান কত হবে?

এখানে,

\mathrm{m}_{0}=9.028 10^{-31}kg c = 3 \times 10^{8}  ms^{-1}

ধরি, সমতুল্য শক্তি = E

আমরা পাই,

\mathrm{E}=\mathrm{m}_{0} \mathrm{c}^{2}

∴ শক্তি সমতুল্য, \begin{aligned} \mathrm{E} &=9.028 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \times\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}\right)^{2} \\ &=8.125 \times 10^{-14} \mathrm{~J} \\ &=\frac{8.125 \times 10{ }^{-14}}{1.6 \times 10{ }^{19}} \mathrm{eV} \\ &=5.078 \times 10^{5} \mathrm{eV} \\ &=0.5078 \mathrm{MeV} \end{aligned}

• একটি ইলেকট্রন (নিশ্চল ভর \left.9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)) আলোর দ্রুতির 90% দ্রুতিতে চলছে। আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্ব অনুসারে ইলেকট্রনের গতিশক্তি নির্ণয় কর।

আমরা জানি,

\mathrm{m}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}

     =\frac{9.1 \times 10^{-{ }^{31}}}{\sqrt{1-\left(\frac{0.9 c}{c}\right)^{2}}}

     =2.09 \times 10^{-30} \mathrm{kg}

গতিশক্তি, \begin{aligned} \mathrm{E}_{\mathrm{k}}=&\left(\mathrm{m}-\mathrm{m}_{0}\right) \mathrm{c}^{2} \\ &=\left(2.09 \times 10^{-30}-9.1 \times 10^{-31}\right) \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2} \\ &=1.062 \times 10^{-13} \mathrm{~J} \end{aligned}

• (ক) 1.6 \times 10^6 eV গতিশক্তিসম্পন্ন ইলেকট্রনের ভর কত ?
• (খ) 12 a. m. u. ভরের সমতুল্য শক্তি (i) eV, (ii) MeV এককে প্রকাশ কর।

 

(ক) 

এখানে,

\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=1.6 \times 10^{6} \mathrm{eV}

     =1.6 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}

\mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1} \mathrm{~m}_{0}=9.1 \times 10^{-31}

আমরা জানি,

\mathrm{E}_{\mathrm{k}}=\left(\mathrm{m}-\mathrm{m}_{0}\right) \mathrm{c}^{2} \therefore 1.6 \times 10^{6} \times 1.6 \times 10^{-19}=\left(\mathrm{m}-9.1 \times 10^{-31}\right)\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}

বা, 37.54 \times 10^{-31}=\mathrm{m}

\therefore \mathrm{m}=37.54 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}

(খ) 

এখানে,

\mathrm{m}=12 \mathrm{a} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{u}

     \quad=12 \times 1.66057 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}

\mathrm{c}=3 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1} 1 \mathrm{eV}=1.6 \times 10^{-19} \mathrm{~J}

আমরা জানি,

(i)  \mathrm{E}=\mathrm{mc}^{2}

{=12 \times 1.66057 \times 10^{-27} \times\left(3 \times 10^{8}\right)^{2}} =179.34 \times 10^{-11} \mathrm{~J} {=17.934 \times 10^{-10} \mathrm{~J}} {=\frac{17.934 \times 10^{-10}}{1.6 \times 10^{-19}} \mathrm{eV}} {=11.2 \times 10^{-9} \mathrm{eV}}

(ii) 1 \mathrm{MeV}=10^{6} \mathrm{eV}

\therefore \mathrm{E}=\frac{11.2 \times 10^{9}}{10^{6}}=11.2 \times 10^{3} \mathrm{MeV}

• একটি বস্তুকণার মোট শক্তি এর স্থির অবস্থার শক্তির দ্বিগুণ। কণাটির দ্রুতি কত?

প্রশ্নানুসারে, \mathrm{mc}^{2}=2 \mathrm{~m}_{0} \mathrm{c}^{2}

বা, \frac{m}{m_{0}}=2

আবার, \mathrm{m}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}               বা, \frac{m}{m_{0}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

বা, 2=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}                       বা, 4=\frac{1}{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}

বা, 1-\frac{v 2}{c 2}=\frac{1}{4}

বা, \frac{v 2}{c 2}=1-\frac{1}{4}              বা, \frac{v 2}{c 2}=\frac{3}{4}           বা, \frac{v 2}{c 2}=0.75

 

\therefore \frac{v 2}{c 2}=0.866

বা, \mathrm{v}=0.0866 \times 3 \times 10^{8}=2.598 \times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}