লগারিদম (Logarithms)

• ax=N  a>0. a≠1 হলে, x=logaN কে N এর a ভিত্তিক লগ বলা হয়।
• লগারিদমকে সংক্ষেপে লগ (log) লেখা হয়।

লগ লেখার নিয়ম-

• সূচকীয় এর বিপরীত হলো লগারিদম (Logarithms)
• লগের বিপরীত হলো সূচকীয়

• y=ax জায়গা পরিবর্তন করলে →x=logay
•  logaMNP…= logaM+logaN+logaP+… 

কিন্তু, logM±NlogaM±logaN

• MN=M-N  

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রূপ (Scientific F0rms of Numbers)

হিসেবের সুবিধার্থে অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে a×10n আকারে প্রকাশ করা হয়। যেখানে 1≤a<10 এবং n∈Z । কোন সংখ্যার a×10n রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ।

Note:-

 logab→a>0;a≠1;b>0;b≠1

 =logx

 =log এর ক্ষেত্রে x এর মান (0, ∞ )

log ফাংশনের ডোমেন , x=(0, ∞)

∴ বৈজ্ঞানিক রূপ : a×10n (1≤a<10  এবং n∈Z)

log এর ক্ষেত্রে x এর মান 0 থেকে বড়। এক্ষেত্রে (0, ∞ ) যেখানে x এর ডোমেন 0 থেকে বড়।

 

সূচক হতে লগের কিছু মাধ্যম নির্ণয়

সূচকের মাধ্যমে	লগের মাধ্যমে	সূচকের মাধ্যমে	লগের মাধ্যমে
102=100	log10100=2	100=1	logr1=0
3-2=19	log319 =-2	e0=1	loge1=0
212=2	log22=12	a0=1	loga1=0
2–12=12	log212=-12	101=10	log1010=1

 

ক্যালকুলেটরের সাহায্যে বৈজ্ঞানিক রূপ (Scientific form of Logarithm Using Calculator)-

Digit = →ENG

অনেক বড় বা ছোট সংখ্যাকে a×10n আকারে প্রকাশ করা হয়। এখানে 1≤a<10 এবং n∈Z । কোন সংখ্যার a×10n রূপকে বলা হয় ঐ সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক রূপ।

লগারিদমের ভিত্তি উল্লেখ না থাকলে রাশির বীজগাণিতীয় ক্ষেত্রে e কে এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে একককে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়। লগ সারণিতে ভিত্তি 10 ধরতে হয়।

x এর মান কোন ঋণাত্মক সংখ্যা নয়, এর মান 0 থেকে বড়।

লগারিদম পদ্ধতি (Logarithmic Method)

লগ প্রধানত দুই প্রকার। যথা:-

1. i) স্বাভাবিক লগারিদম (ln)
2. ii) সাধারণ লগারিদম (log)

স্বাভাবিক লগারিদম (Natural Logarithm) :

Calculator এ ACln 

স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার (1550-1617) ১৬১৪ সালে e কে ভিত্তি ধরে প্রথম লগারিদম সম্পর্কিত বই প্রকাশ করেন। e একটি অমূলদ সংখ্যা, e=2.71828… । একে তত্ত্বীয় লগারিদম → নেপলিয়ন লগারিদম → e ভিত্তিক লগারিদম বলা হয়। logex কে lnx আকারেও লেখা হয়।

সাধারণ লগারিদম (Common Logarithm) :

ইংল্যান্ডের গণিতবিদ হেনরি ব্রিগস (1561-1630) ১৬২৪ সালে 10 কে ভিত্তি ধরে লগারিদমের টেবিল তৈরী করেন। একে ব্রিগস টেবিল বলে। এই লগারিদমকে log10x আকারে লেখা যায়।

বি.দ্র.: log এ ভিত্তির কথা উল্লেখ না থাকলে রাশির বীজগণিতীয় ক্ষেত্রে e কে এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে 10 কে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়। log সারণিতে ভিত্তি 10 ধরতে হয়। 

সাধারণ লগের পূর্ণক (Characteristics of Common Log)

একটি সংখ্যা N কে বৈজ্ঞানিক আকারে প্রকাশ করে পাই,

N=a×10n যেখানে N>0, 1≤a<10 এবং n∈Z ।

উভয় পক্ষে 10 ভিত্তিক লগ নিয়ে পাই, 

log10N=n+log10a

• n কে বলা হয় logN এর পূর্ণক।

N	N এর বৈজ্ঞানিক রূপ	সূচক	দশমিক বিন্দুর বামের অংশের অঙ্কসংখ্যা 1 ও 2। দশমিক বিন্দু ও এর পরবর্তী সার্থক অঙ্কের মাঝে 0 এর সংখ্যা	পূর্ণক
6237	6.237×103	3	4	4-1=3
623.7	6.237×102	2	3	3-1=2
0.6237	6.237×10-1	–1	0	-(0+1)=-1=1
0.06237	6.237×10-2	–2	1	–1+1=-2=2

সাধারণ লগের অংশক (Mantissa of Common Log)

কোন সংখ্যার সাধারণ লগের অংশক, 1 অপেক্ষা ছোট একটি অঋণাত্মক সংখ্যা। এটি মূলত অমূলদ সংখ্যা। তবে একটি নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত অংশকের মান বের করা হয়। কোন সংখ্যার লগের অংশক লগ তালিকা থেকে বের করা যায়। আবার তা ক্যালকুলেটরের সাহায্যেও বের করা যায়।

অংশক ও পূর্ণকের উদাহরণ: 

0.0000836=8.36100000 

=8.36×10-5 

এখানে পূর্ণক -5 বা একে 5 (5 বার /Bar) দ্বারাও প্রকাশ করা হয়। 

log8.36=0.92221 

এই 0.92221 ই হলো অংশক।

সতর্কতা (Cautions) : 

অংশক বা পূর্ণকের ক্ষেত্রে 1≤a<10  এই নিয়মটি মেনে চলা আবশ্যক।

logex বা  lnx আকারে স্বাভাবিক লগারিদম এবং log10x কে সাধারণ লগারিদম বলা হয়।

লগারিদমের ভিত্তি উল্লেখ না থাকলে বীজগাণিতীয় রাশির ক্ষেত্রে e এবং সংখ্যার ক্ষেত্রে 10 কে ভিত্তি হিসেবে ধরা হয়।

মনে রাখার সহজ কৌশল (Easy techniques to remember)

প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশে যতগুলো অংক থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে সেই অঙ্কসংখ্যার চেয়ে 1 কম এবং তা হবে ধনাত্মক।  অর্থাৎ উল্লেখিত অঙ্কসংখ্যা m হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে m-1।

প্রদত্ত সংখ্যার পূর্ণ অংশ না থাকলে দশমিক বিন্দু ও এর পরের প্রথম সার্থক অঙ্কের মাঝে যতগুলো 0 থাকবে, সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে 0 সংখ্যার চেয়ে 1 বেশি এবং তা হবে ঋণাত্মক। অর্থাৎ উল্লিখিত 0 সংখ্যা k হলে সংখ্যাটির লগারিদমের পূর্ণক হবে {-(k+1)}।

পূর্ণক ঋণাত্মক হলে পূর্ণকটির বামে (-) চিহ্ন না দিয়ে উপরে বার (k) হিসেবে লিখা যায়। 

সংখ্যার বৈজ্ঞানিক রূপ : a×10n (1≤a<10, n∈Z)

স্বাভাবিক লগারিদম e ভিত্তিক এবং সাধারণ লগারিদম 10 ভিত্তিক।

• loga0→ অসংজ্ঞায়িত
• loga(-1)→ অসংজ্ঞায়িত
• loga1→ এর মান 0
• log1→0 
• logee→1
• log100.000000001=-9

আলোর বেগ =3×108 ms-1   

 =3×100000000 ms-1

 =300000000