Math Basic| লসাগু-গসাগু

ল.সা.গু (LCM) এর পূর্ণরূপ– লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক।

গ.সা.গু(HCF) এর পূর্ণরূপ– গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক ।

গ.সা.গু. ও ল.সা.গু. এর মধ্যে সম্পর্ক (Relation between LCM & HCF): সংখ্যা দুটির গুণফল= সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. X সংখ্যা দুটির ল.সা.গু.।

ল.সা.গু. = সংখ্যা দুটির গুণফল /  গ.সা.গু. । 

একটি সংখ্যাকে অন্য একটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে, যদি ভাগশেষ না থাকে অর্থাৎ যদি সংখাটি সম্পূর্ণরূপে বিভাজ্য হয়, তাহলে দ্বিতীয় সংখ্যাটিকে প্রথম সংখ্যার গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলে এবং প্রথম সংখ্যাটিকে দ্বিতীয় সংখ্যার গুণিতক বলে। যেমন- (১০ / ৫) = ২। এখানে ১০ সংখাটির গুণনীয়ক ৫। আবার ৫ এর গুণিতক হল ১০।

প্রদত্ত সংখ্যাগুলোর সাধারণ গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় গুণনীয়ককে ওই সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. বলা হয়।

দুই বা ততোধিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে তাদের লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক বা ল.সা.গু. বলে। 

ল. সা. গু এবং গ. সা. গু. নির্ণয়ের জন্য প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।

বীজগণিতের ক্ষেত্রে প্রায় অনুরূপ নিয়মে গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক অর্থাৎ গ .সা .গু নির্ণয় করা হয়। 

সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক (Common Factor):- দুই বা ততোধিক বীজগাণিতিক রাশি অপর কোনো রাশি দ্বারা সম্পূর্ণ বিভাজিত হলে শেষোক্ত রাশিটিকে ওই দুই বা ততোধিক বীজগণিতীয় রাশির সাধারণ গুণনীয়ক বা সাধারণ উৎপাদক বলে। 

গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. (Highest Common Factor or H.C.F):- দুই বা ততোধিক রাশির মধ্যে যতগুলি সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক থাকে, তাদের গুণফলকে পূর্বোক্ত রাশিগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু. (Highest Common Factor or H.C.F) বলে। 

গ. সা. গু. নির্ণয় পদ্ধতি (Determination of HCF)

রাশিগুলিকে প্রথমত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। 

সাধারণ মৌলিক গুণনীয়কগুলোর যে সর্বোচ্চ মান রাশিগুলিকে নিঃশেষে ভাগ করে, তাদের গুণফলই গ. সা. গু. হবে। 

রাশিগুলোর সংখ্যা সহগের গ.সা.গু.ই নির্ণেয় গ .সা .গুর সংখ্যা সহগ হবে।

ল .সা .গু নির্ণয় পদ্ধতি (Determination of LCM)

প্রত্যেক রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে, উক্ত উৎপাদকগুলোর প্রত্যেকটির যে মাত্রা রাশিগুলোর মধ্যে সর্বোচ্চ, তাদের গুণফলই রাশিগুলোর ল. সা. গু. হবে। রাশিগুলোর সংখ্যা সহগগুলোর ল.সা.গু.ই নির্ণেয় ল .সা .গু.-র সংখ্যা সহগ হবে।

উদাহরণ

• দুটি সংখ্যার গুণফল ৩৩৮০ এবং গ, সা. গু ১৩. সংখ্যা দুটির ল.সা.গু কত?

সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু.= সংখ্যা দুইটির গুণফল/ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু.= ৩৩৮০/১৩= ২৬০ 

• (4x^2-16)\; এবং\; 6x^2 + 24x + 24\; এর\; গসাগু\; কত?

সমাধান: 

(4x^2-16) = (2x + 4) (2x-4) = 2×2(x+2)(x-2)\\6x^2 + 24x + 24 = x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2x + 2x +4 = x(x+2) +2 (x+2) = (x+2) (x+2) 

গ.সা.গু.=2(x+2)

• 9x^2-9x-4 এর উৎপাদক কোনটি?

9x^2-9x-4 = 9x^2 + 3x - 12x - 4 = 3x( 3x +1) - 4(3x +1) = (3x+1) (3x-4) 

• দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. ও গ.সা.গু. যথাক্রমে ৬০ ও ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৬০০ 

একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, বড় সংখ্যাটি ক ধরে ছোট সংখ্যাটি \frac{২ক}{৩}।

তাহলে, ক\times \frac{২ক}{৩}=\frac{২ক^২}{৩};

প্রশ্নমতে, \frac{২ক^২}{৩}=৬০০

বা,২ক^২ = ১৮০০

ক^২= ৯০০

\therefore ক = ৩০ 

বড় সংখ্যাটি ৩০ হলে ছোট সংখ্যাটি ২০ 

• কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে ৫ বিয়ােগ করলে বিয়ােগফল ৬ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: ৬ ও ১০ এর লসাগু= ৩০ 

তাহলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা থেকে ৫ বিয়োগ করলে ৬ ও ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য = ৩০+৫=৩৫ 

• a + b, a^2-b^2 \;এবং\; a^3 + b^3 \;এর\; গ.সা.গু.\; কত?

সমাধান:

a^2-b^2 = (a+b) (a-b) \\ a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab +b^2) 

সুতরাং গ.সা.গু: (a+b)