কয়েকটি বিশেষ ক্ষেত্রে জড়তার ভ্রামক ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ নির্ণয়। Determination of moment of inertia and radius of gyration for some special cases

(১) সরু ও সুষম দণ্ডের মধ্যবিন্দু দিয়ে ও তার দৈর্ঘ্যের অভিলম্বভাবে অতিক্রান্ত অক্ষের সাপেক্ষে ঘূর্ণায়মান ঐ দণ্ডের জড়তার ভ্রামক (Moment of Inertia)

ধরি 𝑙 দৈর্ঘ্য ও 𝑀 ভরবিশিষ্ট একটি সুষম সরু দণ্ড 𝐴𝐵-এর দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দু 𝑂 দিয়ে ও দৈর্ঘ্যের লম্বভাবে অতিক্রান্ত অক্ষ 𝐶𝐷-এর চতুর্দিকে ঘুরছে [চিত্র]। এই অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।

দণ্ডটি সুষম হেতু তার প্রতি একক দৈর্ঘ্যের ভর = $\frac{M}{l}$। কাজেই 𝐶𝐷 অক্ষ হতে 𝑥 দূরে অবস্থিত 𝑑𝑥 দৈর্ঘ্যের একটি ক্ষুদ্র অংশের ভর 𝑑𝑀 হলে $dM = \frac{M}{l}dx$। 𝑑𝑥 অংশটি ক্ষুদ্র হওয়ায় তার প্রতিটি কণা 𝐶𝐷 অক্ষ হতে x দূরে অবস্থিত গণ্য করা যায়। সুতরাং 𝐶𝐷 অক্ষের সাপেক্ষে 𝑑𝑥 অংশের জড়তার ভ্রামক =$dM\times x^2 = \frac{M}{l} \times dx \times x^2$ এবং একে $x = \frac{l}{2}$ এবং $x = -\frac{l}{2}$ সীমার মধ্যে সমাকলন করলে সমগ্র দণ্ডের জড়তা ভ্রামক পাওয়া যাবে।

∴𝐶𝐷 অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক,

$I = \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}(\frac{M}{l})\times dx \times x^2 = \frac{M}{l} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} x^2 dx = \frac{M}{l}[\frac{x^3}{3}]_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}$ $= \frac{M}{3l} [(\frac{l}{2})^3-(-\frac{l}{2})^3] = \frac{M}{3l} (\frac{l^3}{8}+\frac{l^3}{8})$ $I = \frac{M}{12}l^2$

ধরি চক্রগতির ব্যাসার্ধ 𝐾

$\therefore MK^2 = \frac{M}{12} l^2$ $\therefore K = \frac{1}{\sqrt{12}} = \frac{1}{2\sqrt3}$

ধরি একটি সুষম পাতলা আয়তাকার পাত 𝐴𝐵𝐶𝐷 [চিত্র]। এর ভর 𝑀, দৈর্ঘ্য 𝑙=𝐴𝐵=𝐶𝐷 ও প্রস্থ 𝑏=𝐴𝐷=𝐵𝐶। পাতটি তার কেন্দ্রবিন্দু বা ভার কেন্দ্র 𝑂 দিয়ে লম্বভাবে অতিক্রান্ত অক্ষ 𝑋𝑂𝑌 অক্ষের সাপেক্ষে ঘুরছে।

এখন 𝐸𝐹 অক্ষ 𝑂 বিন্দুগামী এবং 𝐴𝐵 বাহুর সমান্তরাল এবং 𝐺𝑋 অক্ষ 𝑂 বিন্দুগামী এবং 𝐴𝐷 বাহুর সমান্তরাল। 𝐸𝐹 এবং 𝐺𝐻 পরস্পর লম্ব। 𝑋𝑂𝑌 অক্ষ 𝐸𝐹 ও 𝐺𝐻 এর উপর লম্ব।

লম্ব-অক্ষ উপপাদ্য অনুসারে 𝑋𝑂𝑌 অক্ষের সাপেক্ষে ঐ পাতের জড়তার ভ্রামক,

$I = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Mb^2}{12}$

বা,$I = \frac{M}{12}(l^2+b^2)$

আবার,$I = MK^2$

বা, $MK^2 = I = \frac{M}{12}(l^2+b^2)$

বা, $k^2 = \frac{l^2+b^2}{12}$

বা, $K = \sqrt{\frac{l^2+b^2}{12}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{l^2+b^2}{3}}$

∴ চক্রগতির ব্যাসার্ধ, $K = \frac{1}{2}$ …………(4.41)

(২) নিজ অক্ষের চতুর্দিকে ঘূর্ণায়মান একটি নিরেট চোঙের জড়তার ভ্রামক বা চক্রগতির ব্যাসার্ধ(determination of moment of inertia and radius of gyration for solid cylinder rotational around own axis)

ধরি একটি সুষম নিরেট চোঙ 𝐶-এর ভর 𝑀, দৈর্ঘ্য 𝑙 ও ব্যাসার্ধ 𝑟 [চিত্র ৪.৩০]। এটি নিজ অক্ষ 𝑃𝑄-এর চতুর্দিকে ঘুরছে। 𝑃𝑄 সাপেক্ষে এর জড়তার ভ্রামক (moment of inertia)/ ও চক্রগতির ব্যাসার্ধ (radius of gyration) নির্ণয় করতে হবে। বর্ণনা অনুসারে চোঙটির আয়তন $\pi r^2 \times l$।

চোঙের উপাদানের ঘনত্ব = $\frac{ভর}{আয়তন} = \frac{M}{\pi r^2 l}$

PQ-এর চতুর্দিকে x ব্যাসার্ধ ও dx বিস্তারবিশিষ্ট একটি ফাঁপা সমাক্ষীয় পাতলা চোঙ বিবেচনা করি।

এই পাতলা চোঙের প্রস্থচ্ছেদ $= 2 \pi x dx$, আয়তন $= 2 \pi x \times dx \times l$

ভর = আয়তন × ঘনত্ব

= $2\pi x \times dx \times l \times \frac{M}{\pi r^2 l}$

= $\frac{2Mxdx}{r^2}$

dx বিস্তারের এই চোঙটি পাতলা হেতু তার প্রতিটি কণা PQ হতে x দূরে বিবেচনা করা যায়। কাজেই PQ হতে x দূরে বিবেচনা করা যায়। কাজেই PQ এর সাপেক্ষে এই পাতলা চোঙের জড়তার ভ্রামক

$\frac{2Mxdx}{r^2} \times x^2 = \frac{2M}{r^2} x^3 dx$

সমগ্র চোঙটিকে সমাক্ষীয় অনুরূপ অনেকগুলো পাতলা ফাঁপা চোঙের সমন্ব্যে গঠিত বিবেচনা করা যায়।

কাজেই x=0 ও x=r এই সীমার মধ্যে উপরোক্ত ফাঁপা চোঙের জড়তার ভ্রামককে সমাকলন করলে নিজ অক্ষ PQ-এর সাপেক্ষে সমগ্র চোঙটির জড়তার ভ্রামক I পাওয়া যাবে।

$\therefore I = \int_0^r \frac{2M}{r^2}x^3 dx = \frac{2M}{r^2} \int_0^r x^3 dx = \frac{2M}{r^2} [\frac{x^4}{4}]_0^r\\ = \frac{2M}{4r^2}[r^4-0]\\ \therefore I = \frac{1}{2}M$

এক্ষেত্রে চক্রগতির ব্যাসার্ধ K হলে,

$MK^2 = \frac{1}{2}Mr^2$ $\therefore K = \frac{r}{\sqrt 2}$