রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনে চাপ, তাপমাত্রা ও আয়তনের সম্পর্ক

রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনে চাপ ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক (Relation Between Pressure And Volume During An Adiabatic Change)

মনে করি একটি পাত্রে এক মোল আদর্শ গ্যাস আছে। এই গ্যাসে dQ পরিমাণ তাপ প্রয়োগ করি। এতে গ্যাসের তাপমাত্রা বৃদ্ধি পাবে এবং সেই সঙ্গে গ্যাস কিছু কাজ করবে অর্থাৎ প্রদত্ত তাপ দুইভাবে ব্যয়িত হবে।

ধরি আয়তনের পরিবর্তন dV এবং তাপমাত্রার পরিবর্তন dT.

∴ তাপগতিবিদ্যার প্রথম সূত্র হতে পাই,

dQ=C_vdT+PdV ———————- (1.5)

এখানে, C_v= স্থির আয়তনে গ্যাসের আপেক্ষিক তাপ এবং PdV= নির্দিষ্ট চাপে গ্যাসের প্রসারণের জন্য কৃত কাজের পরিমাণ। আমরা জানি, রুদ্ধতাপ প্রক্রিয়ায় বাইরের সাথে গ্যাসের তাপের কোনো আদান-প্রদান ঘটে না। অতএব, dQ=0

∴ সমীকরণ 1.5 হতে পাই, C_vdT+PdV=0

আবার, আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে, PV=RT, এখানে R মোলের গ্যাস ধ্রুবক।

উক্ত সমীকরণকে ব্যবকলন করে পাই,

PdV+VdP=RdT

বা, dT=\frac{PdV+VdP}{R}

∴ সমীকরণ 1.5 হতে পাই,

C_v \big(\frac{PdV+VdP}{R})+PdV=0

বা, C_vPdV+C_vVdP+RPdV=0

বা, C_vPdV+C_vVdP+(C_p-C_v)PdV=0     [\because R=C_p-C_v]

বা, C_vPdV+C_vVdP+C_pPdV-C_vPdV=0

বা, C_vVdP+C_pPdV=0

বা, VdP+\frac{C_p}{C_v}PdV=0 [C_v দ্বারা ভাগ করে]

বা, VdP+\gamma PdV=0         \Big[\because \frac{C_p}{C_v}=\gamma \Big]

বা, \frac{dP}{P}+\gamma \frac{dV}{V}=0 [PV দ্বারা ভাগ করে]

এখন সমাকলন করে পাই,

\log_{e}P+\gamma \log_{e}V=ধ্রুবক=\log_{e}K ,এখানে K=ধ্রুবক

বা, \log_{e}P+\log_{e}V^{\gamma}=\log_{e}K

বা, \log_{e}PV^{\gamma}=\log_{e}K

\therefore PV^{\gamma} = K=ধ্রুবক

এটিই হলো চাপ ও আয়তনের মধ্যে সম্পর্ক।

যদি আদি চাপ ও আয়তন যথাক্রমে P_1 ও V_1 এবং চূড়ান্ত চাপ ও আয়তন যথাক্রমে P_2 ও V_2 হয়, তাহলে P_1V_1^{\gamma}=P_2V_2^{\gamma}= ধ্রুবক

রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনে আয়তন ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্ক (Relation between volume and temperature in Adiabatic Change)

আমরা জানি, আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে, PV=RT

\therefore P=\frac{RT}{V}

পুনঃ, আমরা পাই, PV^{\gamma}= ধ্রুবক।

উক্ত সমীকরণে P- এর মান বসিয়ে পাই,

\frac{RT}{V} \times V^{\gamma}= ধ্রুবক বা, RTV^{\gamma-1}= ধ্রুবক

বা, T\times V^{\gamma-1}= ধ্রুবক         [∵R= ধ্রুবক]

এটিই হলো রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আয়তন ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্ক।

রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনে আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে চাপ ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্ক (Pressure-temperature relationship for an ideal gas in Adiabatic Change)

আদর্শ গ্যাসের ক্ষেত্রে এক মোল গ্যাসের জন্য আমরা জানি, PV=RT

বা, V=\frac{RT}{P}

রুদ্ধতাপীয় পরিবর্তনের ক্ষেত্রে PV^{\gamma}= ধ্রুবক।

V-এর মান বসিয়ে পাই,

P\Big(\frac{RT}{P}\Big)^{\gamma}=ধ্রুবক

বা,P\times R^{\gamma} \times T^{\gamma} \times P^{-\gamma}=ধ্রুবক

বা,P^{1-\gamma} \times T^{\gamma}=\frac{ধ্রুবক}{R^{\gamma}}

বা,T^{\gamma}P^{1-\gamma}=ধ্রুবক

এই সমীকরণের উভয় পাশে \gamma  মূল দিয়ে ভাগ করে পাই,

\therefore TP^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=ধ্রুবক

ইহাই রুদ্ধতাপীয় প্রক্রিয়ায় আদর্শ গ্যাসের ক্ষত্রে চাপ ও তাপমাত্রার মধ্যে সম্পর্ক।