টর্ক, জড়তার ভ্রামক ও কৌণিক ত্বরণ |Torque, moment of inertia and angular acceleration

টর্ক (Torque) কি?

আমরা জানি সরলরেখায় চলমান কোনো বস্তুতে ত্বরণ সৃষ্টির জন্য বল প্রয়োগের প্রয়োজন। তেমনি নির্দিষ্ট অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোনো বস্তুতে ত্বরণ সৃষ্টির জন্যে একটি দ্বন্দ্বের প্রয়োজন হয়। এই দ্বন্দ্বের ভ্রামককে টর্ক (Torque) বলে।

ধরি একটি বস্তু একটি নির্দিষ্ট অক্ষ 𝑋𝑌-এর চারদিকে 𝜔 সমকৌণিক বেগে ঘুরছে [চিত্র]। এখন তার উপর একটি যুগল (couple) প্রয়োগ করায় তার কৌণিক বেগ বৃদ্ধি পাবে অর্থাৎ বস্তুতে কৌণিক ত্বরণ (angular acceleration) সৃষ্টি হবে। বস্তুতে সৃষ্ট এই কৌণিক ত্বরণ তার প্রত্যেকটি কণার কৌণিক ত্বরণের সমান। কিন্তু ঘূর্ণাক্ষ হতে কণাগুলো বিভিন্ন দূরত্বে অবস্থান করে বিভিন্ন রৈখিক ত্বরণ লাভ করবে। ঘূর্ণাক্ষ হতে কণার দূরত্ব যত বেশি হবে রৈখিক ত্বরণের মানও তত বেশি হবে।

ধরি বস্তুটি m_1, m_2, m_3ইত্যাদি ভরের কতকগুলো কণার সমন্বয়ে গঠিত এবং ঘূর্ণাক্ষ হতে কণাগুলোর দূরত্ব যথাক্রমেr_1, r_2, r_3 ইত্যাদি।

বর্ণনা অনুসারে, বস্তুটির প্রত্যেকটি কণার কৌণিক ত্বরণ, \alpha = \frac{d\omega}{dt}

তা হলে m_1 ভরের বস্তু কণাটির রৈখিক ত্বরণ = r_1 \frac{d\omega}{dt}

∴ ঐ কণার উপর প্রযুক্ত বল = ভর ×রৈখিক ত্বরণ= m_1 r_1 \frac{d\omega}{dt}

∴ঘূর্ণাক্ষের সাপেক্ষে কণাটির উপর ক্রিয়ারত বলের ভ্রামক=বল ×ঘূর্ণাক্ষ হতে বস্তুকণার দূরত্ব= m_1 r_1 \frac{d\omega}{dt} \times r_1 = m_1 r_1^2 \frac{d\omega}{dt}

অনুরূপভাবে লেখা যায় m_2, m_3, m_4 \cdot \cdot \cdot ইত্যাদি ভরের বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত বলের ভ্রামক যথাক্রমে  m_2 r_2^2 \frac{d\omega}{dt}, m_3 r_3^2 \frac{d\omega}{dt}, m_4 r_4^2 \frac{d\omega}{dt} ইত্যাদি।

তা হলে উপরিউক্ত ভ্রামকগুলোর সমষ্টিই উক্ত বস্তুর উপর ক্রিয়ারত দ্বন্দ্বের ভ্রামক বা টর্ক(torque),

\tau = m_1 r_1^2 \frac{d\omega}{dt} + m_2 r_2^2 \frac{d\omega}{dt} + m_3 r_3^2 \frac{d\omega}{dt} + m_4 r_4^2 \frac{d\omega}{dt} + \cdot \cdot \cdot (m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + m_3 r_3^2 + m_4 r_4^2 + \cdot \cdot \cdot) \frac{d\omega}{dt} = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha \therefore \tau = I \frac{d\omega}{dt} = I \alpha

বা, টর্ক(torque) = জড়তার ভ্রামক(moment of inertia) × কৌণিক ত্বরণ(angular acceleration)। কৌণিক ত্বরণের আবর্তনরত বস্তুকণার উপর ক্রিয়ারত দ্বন্দ্বের টর্ক হবে ঘূর্ণাক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক ও কৌণিক ত্বরণের গুণফলের সমান।

আবার, \frac{d\omega}{dt}=1 হলে, \tau=I

∴ কোনো অক্ষের চারদিকে ঘূর্ণায়মান কোনো দৃঢ় বস্তুর উপর যে টর্ক ক্রিয়া করলে তাতে একক কৌণিক ত্বরণের সৃষ্টি হয় তাকে ঐ অক্ষের সাপেক্ষে তার জড়তার ভ্রামক বলে।