সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio Of Connected Angles)

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মৌলিক কিছু বিষয়

অনুশীলনী – 7(A)

→ বিভিন্ন কোণের জন্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Trigonometric Ratio) বিভিন্ন চতুর্ভাগে পরিবর্তন ।

→ ধনাত্মক কোণ, ঋনাত্মক কোণ, $(A \pm \theta)$ প্রভৃতির জন্য অনুপাতের প্রকৃতি ।

অনুশীলনী – 7(B)

→ $(A \pm B)$ সূক্ষ্ম কোণের জন্য $\sin , \cos , \tan , \cot$ সূত্র ।

→ সূত্র সমূহের গ্রাফিক্যাল পরিবর্তন ।

অনুশীলনী – 7(C)

→ দুটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফলকে অপর দুটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের যোগফল/বিয়োগফলে প্রকাশ।

অনুশীলনী – 7(D)

→ গুণিতক কোণের অনুপাত প্রমাণ (পুর্ববর্তী সূত্রে ব্যবহার করে)

অনুশীলনী – 7(E)

→ টপগুণিতক কোণের সূত্র

→ বিভিন্ন উপগুণিতক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ণয় $\left(\frac{25^{\circ}}{2}, 18^{\circ}, 36^{\circ}, 15^{\circ}\right)$

অনুশীলনী – 7(F)

→ ত্রিকোণমিতিক অভেদ

অনুশীলনী – 7(G)

→ প্রতীকের ব্যবহার

→ অন্তঃস্থ ত্রিভুজের বিভিন্ন ধর্মাবলি

→ অন্তঃস্থ ত্রিভুজের সাইন সূত্র

→ ত্রিভুজের cosine সূত্র

→ ক্ষেত্রফল সংক্রান্ত সূত্র

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের প্রধান বিষয়গুলো

ধরি, $0<\theta<90^{\circ}$ অর্থাৎ $\theta$ , সূক্ষ্মকোণ

(i) কোণ যদি ধনাত্বক হয় তবে কোণ উৎপন্নকারী ঘূর্ণায়মান রেখা ৪র্থ চতুর্ভাগে অবস্থান করবে।

(ii) যদি $\pi / 2$ বা $90^{\circ}$ – এর সাথে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা গুন হিসেবে থাকে তবে অনুপাত পরিবর্তনের ধারা $\sin \theta \rightleftharpoons \cos \theta , \tan \theta \rightleftharpoons \cot \theta , \operatorname{cosec} \theta \rightleftharpoons \sec \theta$

(iii) যদি $\frac{\pi}{2}$ বা $90^{\circ}$ – এর সাথে জোড় পূর্ণসংখ্যা গুন হিসেবে থাকে তবে অনুপাত অপরিবর্তিত থাকবে।

(iv) যদি $\pi$ বা $180^{\circ}$ – এর সাথে জোড় পূর্ণসংখ্যা গুন হিসেবে থাকে তবে বাদ দেওয়া যায়।

(v) কোণ যদি $2 \pi$ বা $360^{\circ}$ – এর অধিক হয় তবে $2 \pi$ বা $360^{\circ}$ দ্বারা ভাগ করতে হবে।

সংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনও (trigonometric function) বলা হয়। সাইন এবং কোসাইনকে পরস্পরের সহ-ফাংশন বলে। অনুরূপভাবে, সেকেন্ট এবং কোসেকেন্টকেও পরস্পরের সহ-ফাংশন বলা হয়। তদ্রুপ, টেনজেন্ট ও কোটেনজেন্ট হল পরস্পরের সহ-ফাংশন। যদি দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তবে একটিকে অপরটির পরিপূরক বলা হয়। তাহলে, $30^{\circ}$ এবং $60^{\circ}$ কোণদ্বয়ের একটি অপরটির পরিপূরক।

সুতরাং, একটি কোণের ত্রিকোণমিতিক ফাংশন = এর পরিপূরকের সহ-ফাংশন।

উদাহরণস্বরূপ $\sin \left(3 \times 90^{\circ}+\theta\right)=-\cos \theta$ , কারণ এক্ষেত্রে $\left(3 \times 90^{\circ}+\theta\right)$ কোণটিতে $90^{\circ}$ এর বিজোড় গুণিতক রয়েছে তাই sine পরিবর্তিত হয়ে cosine হয়েছে এবং $\left(3 \times 90^{\circ}+\theta\right)$ কোণটি ৪র্থ চতুর্ভাগে (Quadrant) অবস্থিত বলে (-) ঋণাত্মক চিহ্ন বসেছে [যেহেতু ৪র্থ চতুর্ভাগে sine ঋণাত্মক]। আর cosecant, secant এবং cotangent এর ক্ষেত্রে অতিরিক্ত ভাবার প্রয়োজন নেই, কারণ এই ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলো যথাক্রমে sine, cosine এবং tangent দ্বারা নির্ণয় করা যায়।

$(X) \tan (A+B) \tan (A-B)=\frac{\tan ^{2} A-\tan ^{2} B}{1-\tan ^{2} A \tan ^{2} B}, \cot (A+B) \cot (A-B)=\frac{\cot ^{2} A \cot ^{2} B-1}{\cot ^{2} B-\cot ^{2} A}$

প্রমান : $\tan (A+B) \tan (A-B)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \times \frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A \tan B}=\frac{\tan ^{2} A-\tan ^{2} B}{1-\tan ^{2} A \tan ^{2} B}$

$\cot (A+B) \cot (A-B)=\frac{\cot A \cot B-1}{\cot B+\cot A} \times \frac{\cot A \cot B+1}{\cot B-\cot A}=\frac{\cot ^{2} A \cot ^{2} B-1}{\cot ^{2} B-\cot ^{2} A}$

(i) ও (ii) দুইটি কোণের যোগফল ও বিয়োগফল কী সূত্র নামে পরিচিত?

নিম্নবর্ণিত সূত্রসমূহ শিক্ষার্থীরা বিনা প্রমাণে ব্যবহার করতে পারবে।

(i) $\sin (A+B) \sin (A-B)=\sin ^{2} A-\sin ^{2} B=\cos ^{2} B-\cos ^{2} A$

(ii) $\cos (A+B) \cos (A-B)=\cos ^{2} A-\sin ^{2} B=\cos ^{2} B-\sin ^{2} A$

(iii) $\sin (A+B+C)=\cos A \cos B \cos C(\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C)$

(iv) $\cos (A+B+C)=\cos A \cos B \cos C(1-\tan B \tan C-\tan C \tan A-\tan A \tan B)$

(v) $\tan (A+B+C)=\frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C}{1-\tan B \tan C-\tan C \tan A-\tan A \tan B}$

প্রমাণ :

(i) $\sin (A+B) \sin (A-B)=(\sin A \cos B+\cos A \sin B)(\sin A \cos B-\cos A \sin B)$

$=\sin ^{2} A \cos ^{2} B-\cos ^{2} A \sin ^{2} B=\sin ^{2} A\left(1-\sin ^{2} A\right)=\sin ^{2} A-\sin ^{2} B$

$=1-\cos ^{2} A-1+\cos ^{2} B=\cos ^{2} B-\cos ^{2} A$

(ii) $\cos (A+B) \cos (A-B)=(\cos A \cos B-\sin A \sin B)(\cos A \cos B+\sin A \sin B)$

$=\cos ^{2} A \cos ^{2} B-\sin ^{2} A \sin ^{2} B=\cos ^{2} A\left(1-\sin ^{2} B\right)-\sin ^{2} B\left(1-\cos ^{2} A\right) \cos ^{2} A-\sin ^{2} B$

$=1-\sin ^{2} A-1+\cos ^{2} B=\cos ^{2} B-\sin ^{2} A$

(iii) $\sin (A+B+C)=\sin \{A+B+C\}=\sin (A+B) \cos C+\cos (A+B) \sin C$

$=(\sin A \cos B+\cos A \sin B) \cos C+(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \sin C$

$=\sin A \cos B \cos C+\cos A \sin B \cos C+\cos A \cos B \sin C-\sin A \sin B \sin C$

\begin{array}{l} =\cos A \cos B \cos C\left(\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}-\frac{\sin A \sin B \sin C}{\cos A \cos B \cos C}\right) \\ =\cos A \cos B \cos C(\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C) \end{array}

(iv) $\cos (A+B+C)=\cos \{(A+B)+C\}=\cos (A+B) \cos C-\sin (A+B) \sin C$

$=(\cos A \cos B-\sin A \sin B) \cos C-(\sin A \cos B+\cos A \sin B) \sin C$

$=\cos A \cos B \cos C-\sin A \sin B \sin C-\sin A \sin B \sin C-\cos A \sin B \sin C$

$=\cos A \cos B \cos C\left(1-\frac{\sin A}{\cos A} \frac{\sin B}{\cos B}-\frac{\sin C}{\cos C} \frac{\sin A}{\cos A}-\frac{\sin B}{\cos B} \frac{\sin C}{\cos C}\right)$

$=\cos A \cos B \cos C(1-\tan A \tan B-\tan C \tan A-\tan B \tan C)$

$=\cos A \cos B \cos C(1-\tan B \tan C-\tan C \tan A-\tan A \tan B)$

(v) $\tan (A+B+C)=\tan \{(A+B)+C\}=\frac{\tan (A+B)+\tan C}{1-\tan (A+B) \tan C}=\frac{\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B}+\tan C}{1-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \tan B} \tan C}$

$=\frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C}{1-\tan A \tan B-\tan C \tan A-\tan B \tan C}=\frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A \tan B \tan C}{1-\tan B \tan C-\tan C \tan A-\tan A \tan B}$

দ্রষ্টব্য: $A+B, A-B, A+B+C, A+B-C$ ইত্যাদি কোণগুলি যৌগিক কোণ নামে পরিচিত।

$\therefore \cot 3 A=\frac{3 \cot A -\cot ^{3} A}{1-3 \cot ^{2} A}\{\tan (3 A)$ এর সূত্রে $\tan$ এর জায়গায় $\cot$ ব্যাবহার করলেই হয়। }

উপ–গুণিতক কোণের সূত্রসমূহ :

(i) $\sin \theta=2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$

(ii) $\cos \theta=\cos ^{2} \frac{\theta}{2}-\sin ^{2} \frac{\theta}{2}=2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-1=1-2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}$

(iii) $1+\cos \theta=2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}$

(iv) $1-\cos \theta=2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}$

(v) $\sin \theta=\frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}$

(vi) $\cos \theta=\frac{1-\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}{1+\tan 2 \frac{\theta}{2}}$

(vii) $\tan \theta=\frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{\theta}{2}}$

দ্রষ্টব্য: গুণিতক কোণের সূত্রসমূহে $A=\frac{\theta}{2}$ বসিয়ে সূত্রগুলি সহজেই প্রমাণ করা যায়।

অনুসিধান্ত : উপর্যুক্ত সম্পর্ক হতে পাই, $a=2 R \sin A, b=2 R \sin B, c=2 R \sin C$

$\sin A=\frac{a}{2 R}, \sin B=\frac{b}{2 R}, \sin C=\frac{c}{2 R}$

এ sine ও cosine সূত্র দু’টি ত্রিভুজের প্রায় সকল গুণাবলি ব্যাখ্যা করে।

এখন একনির্দিষ্ট (অনন্য) হবে যদি নিচের যেকোনো একটি সত্য হয়:

(i) দু’টি বাহু এবং তাদের অন্তর্ভুক্ত কোণ নির্দিষ্ট হয়।
(ii) দু’টি কোণ এবং একটি বাহু নির্দিষ্ট হয়।
(iii) তিনটি বাহু নির্দিষ্ট হয়।
(iv) সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে শুধুমাত্র যেকোনো দু’টি বাহু নির্দিষ্ট হয়।

এ ব্যাপারটি sine ও cosine সূত্র থেকেও বোঝা যায়। যেমন:

(i) উক্তিটি সত্য হলে, cosine সূত্র থেকে কোণের বিপরীত বাহু পাওয়া সম্ভব। ফলে তিনটি বাহু পাওয়া যায় যা আবার (i) উক্তিটি সমর্থন করে। আবার তিনটি বাহু পাওয়া গেলে পুনরায় cosine সূত্র এবং $A+B+C=\pi=180^{\circ}$ প্রয়োগ করে বাকি কোণগুলো পাওয়া যায়। আবার (i) উক্তিটি সত্য হলে, sine সূত্র থেকে সহজে সমাধান করা যায়। আর (iv) এর ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের সূত্র প্রয়োগ করে তৃতীয় বাহুটি (মোট তিনটি বাহু) পাওয়া যায় যা আবার (iii) কে সমর্থন করে।

আর যদি দু’টি বাহু এবং অন্তর্ভুক্ত কোণ ব্যতীত অন্য একটি কোণ দেওয়া থাকে সেক্ষেত্রে সাধারণভাবে দু’টি ত্রিভুজ (যদি প্রদত্ত কোণটি সমকোণ না হয়) পাওয়া সম্ভব। এক্ষেত্রে sine সূত্র প্রয়োগ করলে সহজে সমাধান পাওয়া যাবে।

এইচএসসি ও এডমিশন পরীক্ষার্থীদের জন্য আমাদের কোর্সসমূহঃ

আমাদের স্কিল ডেভেলপমেন্ট কোর্সসমূহঃ

১০ মিনিট স্কুলের ক্লাসগুলো অনুসরণ করতে ভিজিট: www.10minuteschool.com

Other Topics