মাত্রা সমীকরণের ব্যবহার | Use of dimension equations

ভৌত রাশির মান এক একক পদ্ধতি হতে অন্য একক পদ্ধতিতে রূপান্তর (Conversion of the value of a physical quantity from one unit to another unit) :

যদি কোনো ভৌত রাশির মান একটি একক পদ্ধতিতে জানা থাকে তবে সমমাত্রিক নীতি প্রয়োগ করে ও মাত্রা বিশ্লেষণের মাধ্যমে অন্য একটি একক পদ্ধতিতে রাশিটির মান নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ : SI এবং CGSপদ্ধতিতে বলের একক হলাে যথাক্রমে Newton এবং dyne। 1Newton বল কত dyne বলের সমান তা এখানে নির্ণয় করা হলো।

আমরা জানি, বলের মাত্রা সমীকরণ = $[MLT^{-2}]$
ধরা যাক, CGS পদ্ধতিতে ভর, দৈর্ঘ্য এবং সময়ের একক যথাক্রমে $m_1, L_1, ও/; T_1$ এবং SI পদ্ধতিতে ভর, দৈর্ঘ্য ও সময়ের একক যথাক্রমে $m_1, L_2 ও T_2$.

ধরা যাক, 1 Newton = n dyne
অতএব, বলের মাত্রা অনুযায়ী লেখা যায়,

অর্থাৎ নিউটন একক প্রকাশিত কোনো মানকে dyne এককে পরিবর্তন করার রূপান্তর গুণক (conversation factor) হচ্ছে $\frac{10^{5} \text { dyne }}{1 \mathrm{~N}}$

মাত্রা বিশ্লেষণ (Dimensional analysis) :

কোনো প্রাকৃতিক রাশির মাত্রাকে প্রাথমিক রাশিগুলির মাত্রায় প্রকাশ করাকে মাত্রা বিশ্লেষণ বলে।

উদাহরণ : পারদের ঘনত্ব $13.6 g~cm^{-3}$। যদি ভর kg-তে এবং দৈর্ঘ্য m-এ পরিমাপ করা হয়, তবে নতুন এককপদ্ধতিতে পারদের ঘনত্ব কত ?

এখন, ঘনত্বের একক$\mathrm{g} \mathrm{cm}^{-3}$; সুতরাং এর মাত্রা হচ্ছে $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$।
ধরা যাক, $M_1$,$M_1$, এবং $M_2$, $L_2$, যথাক্রমে g, cm এবং kg, m-কে প্রকাশ করে। অতএব, ওই দুই একক পদ্ধতিতে ঘনত্বের মাত্রা হবে $\left[M_{1}, L_{2}^{-3}\right]$ এবং $\left[M_{2}, L_{2}{ }^{-3}\right]$। যদি ঘনত্বের সাংখ্যমান ওই দুই পদ্ধতিতে যথাক্রম $n_1$ ও $n_2$
হয়, তবে লেখা যায়—

$\begin{array}{l} n_{1}\left[M_{1} L_{1}{ }^{-3}\right]=n_{2}\left[M_{2} L_{2}{ }^{-3}\right] \\ \therefore n_{2}=\frac{n_{1}\left[M_{1} L_{1}{ }^{-3}\right]}{\left[M_{2} L_{2}{ }^{-3}\right]}=n_{1} \times\left[\frac{M_{1}}{M_{2}}\right] \times\left[\frac{L_{1}}{L_{2}}\right]^{-3} \end{array}$

এখানে $n_{1}=13.6$

$\therefore n_{2}=13.6 \times\left[\frac{1 \mathrm{~g}}{1000 \mathrm{~g}}\right] \times\left[\frac{1 \mathrm{~cm}}{100 \mathrm{~cm}}\right]^{-3}$ $=13.6 \times \frac{1}{1000} \times 1000000$ $=13.6 \times 10^{3} \mathrm{kgm}^{-3}$

সমীকরণের নির্ভুলতা যাচাই (Verification of accuracy of an equation) :

সমমাত্রিক নীতির সাহায্যে কোনো সমীকরণের উভয় দিকের মাত্রা বিশ্লেষণ করে আমরা একটি সমীকরণের মাত্রাগত নির্ভুলতা যাচাই করতে পারি।

উদাহরণ : একটি বস্তুর অতিক্রান্ত দূরত্ব,$s=ut+ \frac{1}{2} a t^2$ সমীকরণটি মাত্রাগতভাবে নির্ভুল কিনা যাচাই করা হোক।

এখন, s এর মাত্রা = L, u এর মাত্রা = $LT^1$, সময় t-এর মাত্রা = T এবং n-এর মাত্রা = $LT^{-2}$।
অতএব, বামদিকের মাত্রা = L এবং ডানদিকের দুটি রাশি মাত্রা ut এবং $<strong> \frac{1}{2} a t^2</strong>$

Ut এর মাত্রা $=L T^{-1} \times T=L$এবং

$\frac{1}{2} a t^{2}$ এর মাত্রা $=1 \times L T^{-2} \times T^{2}=L$

সুতরাং সমীকরণটির ডানদিকের মাত্রা =L

অতএব, বামদিকের মাত্রা = ডানদিকের মাত্রা

অর্থাৎ সমীকরণটি মাত্রাতভাবে নির্ভুল।

বিভিন্ন প্রাকৃতিক রাশির মধ্যে সম্পর্কযুক্ত যথাযথ সমীকরণ গঠন
(Formation of appropriate equation using relation of different physical quantities) :

সমমাত্রিক নীতির সাহায্যে বিভিন্ন প্রাকৃতিক রাশির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করা যায়। কোনো ভৌত রাশিকে যে সকল বিষয়ের ওপর নির্ভরশীল তা জানা থাকলে ওই রাশিকে ওই সমস্ত বিষয়গুলোর সাথে সম্পর্কযুক্ত একটি সমীকরণ প্রকাশ করা যায়। তবে খেয়াল রাখতে হবে যেন সমীকরণের উভয় পার্শ্বের মাত্রা অবশ্যই সমান হয়।

মাত্রা সমীকরণের সীমাবদ্ধতা
(Limitations of dimensional equation) :

মাত্রা সমীকরণের বহুল প্রয়োগ থাকলেও এর কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে, যেমন—
কোনো সম্পর্ক বা সমীকরণে উপস্থিত ধুবকের মান নির্ণয় করা সম্ভব নয়। যেমন, সরল দোলনকাল $T=2 \pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ সম্পর্কটির ধুবক 2π মাত্রা বিশ্লেষণের সাহায্যে নির্ণয় করা সম্ভব নয়।